2025届江苏扬州中学高一下数学期末学业水平测试模拟试题含解析.doc

2025届江苏扬州中学高一下数学期末学业水平测试模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知两个等差数列，的前项和分别为，，若对任意的正整数，都有，则等于( )
A．1 B． C． D．
2．已知数列是公差不为零的等差数列，是等比数列，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．与的大小不确定
3．设，满足约束条件，则目标函数的最大值是（ ）
A．3 B． C．1 D．
4．若都是正数，则的最小值为( ).
A．5 B．7 C．9 D．13
5．设为等比数列，给出四个数列：①，②，③，④.其中一定为等比数列的是（ ）
A．①③ B．②④ C．②③ D．①②
6．在区间[–1，1]上任取两个数x和y，则x2+y2≥1的概率为（ ）
A． B．
C． D．
7．若实数满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．若长方体三个面的面积分别为2，3，6，则此长方体的外接球的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
9．函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于两点，且在轴上，则下列说法中正确的是

A．函数的最小正周期是
B．函数的图象关于点成中心对称
C．函数在单调递增
D．函数的图象向右平移后关于原点成中心对称
10．已知,当取得最小值时（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，，，则的最小值为__________.
12．已知直线l过定点,且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线l的方程为______.
13．设，，则______．
14．已知正三棱锥的底面边长为6，所在直线与底面所成角为60°，则该三棱锥的侧面积为_______．
15．对于任意实数x,不等式恒成立,则实数a的取值范围是______
16．已知数列的通项公式为，则该数列的前1025项的和___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知圆，直线平分圆.
（1）求直线的方程；
（2）设，圆的圆心是点，对圆上任意一点，在直线上是否存在与点不重合的点，使是常数，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.
18．已知向量，，函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）在中，内角、、所对边的长分别是、、，若，，，求的面积.
19．如图，四棱锥中，底面为矩形，面，为的中点．
（1）证明：平面;
（2）设，，三棱锥的体积 ，求A到平面PBC的距离．

20．中，D是边BC上的点，满足，，.
（1）求；
（2）若，求BD的长.
21．已知数列中，，前项的和为，且满足数列是公差为的等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若恒成立，求的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
利用等差数列的性质将化为同底的，再化简，将分子分母配凑成前n项和的形式，再利用题干条件，计算。
【详解】
∵等差数列，的前项和分别为，，对任意的正整数，都有，
∴．
故选B.
本题考查等差数列的性质的应用，属于中档题。
2、A
【解析】
设等比数列的公比为，结合题中条件得出且，将、、、用与表示，利用因式分解思想以及基本不等式可得出与的不等关系，并结合等差数列下标和性质可得出与的大小关系.
【详解】
设等比数列的公比为，由于等差数列是公差不为零，则，从而，
且，得，，
，即，
另一方面，由等差数列的性质可得，因此，，
故选：A.
本题考查等差数列和等比数列性质的应用，解题的关键在于将等比中的项利用首项和公比表示，并进行因式分解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
3、C
【解析】
作出不等式组对应的平面区域，结合图形找出最优解，从而求出目标函数的最大值．
【详解】
作出不等式组对应的平面区域，如阴影部分所示；

平移直线，由图像可知当直线经过点时，最大．
，解得，即，所以的最大值为1．
故答案为选C
本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最大值，着重考查二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划，也考查了数形结合的解题思想方法，属于基础题．
4、C
【解析】
把式子展开，合并同类项，运用基本不等式，可以求出
的最小值.
【详解】
因为都是正数，所以，（当且仅当时取等号），故本题选C.
本题考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.
5、D
【解析】
设，再利用等比数列的定义和性质逐一分析判断每一个选项得解.
【详解】
设，
①,,所以数列是等比数列；
②，，所以数列是等比数列；
③，不是一个常数，所以数列不是等比数列；
④，不是一个常数，所以数列不是等比数列.
故选D
本题主要考查等比数列的判定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
6、A
【解析】
由题意知，所有的基本事件构成的平面区域为，其面积为．设“在区间[-1,1]上任选两个数，则”为事件A，则事件A包含的基本事件构成的平面区域为，其面积为．
由几何概型概率公式可得所求概率为．选A．
7、A
【解析】
利用基本不等式得，然后解不等式可得，同时注意．
【详解】
∵，∴（时取等号），，∴，又，∴，
∴．
故选A．
本题考查基本不等式求最值问题，解题关键是掌握基本不等式的变形应用：．
8、C
【解析】
设长方体过一个顶点的三条棱长分别为，，，由已知面积求得，，的值，得到长方体对角线长，进一步得到外接球的半径，则答案可求．
【详解】
设长方体过一个顶点的三条棱长分别为，，，
则，解得，，．
长方体的对角线长为．
则长方体的外接球的半径为，
此长方体的外接球的表面积等于．
故选：C．
本题考查长方体外接球表面积的求法，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意长方体的对角线长为长方体外接球的直径.
9、B
【解析】
根据函数的图象，求得函数，再根据正弦型函数的性质，即可求解，得到答案．
【详解】
根据给定函数的图象，可得点的横坐标为，所以，解得，
所以的最小正周期， 不妨令，，由周期，所以，
又，所以，所以，
令，解得，当时，，即函数的一个对称中心为，即函数的图象关于点成中心对称．故选B．
本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得三角函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题．
10、D
【解析】
可用导函数解决最小值问题，即可得到答案.
【详解】
根据题意，令，则，而当时，，当时，，则在处取得极小值，故选D.
本题主要考查函数的最值问题，意在考查学生利用导数工具解决实际问题的能力，难度中等.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、25
【解析】
变形后，利用基本不等式可得.
【详解】

当且仅当，即， 时取等号.
故答案为：25
本题考查了利用基本不等式求最值，属于基础题.
12、或.
【解析】
设直线的方程为，利用已知列出方程，①和②，解方程即可求出直线方程
【详解】
设直线的方程为.
因为点在直线上，
所以①.
因为直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4,
所以②.
由①②可知或
解得或
故直线的方程为或，
即或.
本题考查截距式方程和直线与坐标轴形成的三角形面积问题，属于基础题
13、
【解析】
由，根据两角差的正切公式可解得．
【详解】
，故答案为
本题主要考查了两角差的正切公式的应用，属于基础知识的考查．
14、
【解析】
画出图形，过P做底面的垂线，垂足O落在底面正三角形中心，即，因为，即可求出,所以．
【详解】
作于，
因为为正三棱锥，所以，为中点，
连结，则，
过作⊥平面，则点为正三角形的中心，点在上，
所以，，
正三角形的边长为6，则,
，
，
斜高，
三棱锥的侧面积为：

此题考查正三棱锥，即底面为正三角形，侧面为等腰三角形的三棱锥，正四面体为四个面都是正三角形，画出图像，属于简单的立体几何题目．
15、
【解析】
对a分类讨论，利用判别式，即可得到结论．
【详解】
（1）a﹣2=0，即a=2时，﹣4＜0，恒成立；
（2）a﹣2≠0时，，解得﹣2＜a＜2，
∴﹣2＜a≤2
故答案为：．
对于二次函数的研究一般从以几个方面研究：
一是，开口；
二是，对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；
三是，判别式，决定于x轴的交点个数；
四是，区间端点值.
16、2039
【解析】
根据所给分段函数,依次列举出当时的值,即可求得的值.
【详解】
当时,,
当时, ,,共1个2.
当时, ,,共3个2.
当时, ,,共7个2.
当时, ,,共15个2.
当时, ,,共31个2.
当时, ,,共63个2.
当时, ,,共127个2.
当时, ,,共255个2.
当时, ,,共511个2.
当时, ,,共1个2.
所以由以上可知

故答案为:2039
本题考查了分段函数的应用,由所给式子列举出各个项,即可求和,属于中档题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）直线的方程为.（2）见解析
【解析】
(1)结合直线l平分圆，则可知该直线过圆心，代入圆心坐标，计算参数，即可．（2）结合A,M坐标，计算直线AM方程，采取假设法，假设存在该点，计算，对应项成比例，计算参数t，即可．
【详解】
（1）圆的标准方程为
因为直线平分圆，
所以，得，
从而可得直线的方程为.
（2）点，，直线方程为，
假设存在点 ，满足条件，设，则有
，

当是常数时，是常数，
∴，∴，∵，∴.
∴存在满足条件.
本题考查了直线与圆的综合问题，第一问代入圆心坐标，即可，同时采取假设法，计算,利用对应项系数成比例，建立等式，即可．
18、（1）的增区间是，（2）
【解析】
（1）利用平面向量数量积的坐标表示公式、二倍角的正弦公式、余弦二倍角的降幂公式、以及辅助角公式可以函数的解析式化为正弦型函数解析式的形式，最后利用正弦型函数的单调性求出函数的单调递增区间；
（2）根据（1）所得的结论和，可以求出角的值，利用三角形内角和定理可以求出角的值，再运用正弦定理可得出的值，最后利用三角形面积公式可以求出的面积..
【详解】
（1）

令，
解得
∴的增区间是，
（2）
∵
∴解得
又∵∴中，
由正弦定理得
∴
本题考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了二倍角的正弦公式、余弦二倍角的降幂公式、以及辅助角公式，考查了正弦定理和三角形面积公式，考查了数学运算能力.
19、（1）证明见解析 （2） 到平面的距离为
【解析】
试题分析：（1）连结BD、AC相交于O，连结OE，则PB∥OE，由此能证明PB∥平面ACE．（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A到平面PBD的距离
试题解析：(1）设BD交AC于点O，连结EO．
因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．
又E为PD的中点，所以EO∥PB
又EO平面AEC，PB平面AEC
所以PB∥平面AEC．
（2）
由，可得.
作交于．
由题设易知，所以
故，
又所以到平面的距离为
法2：等体积法

由，可得.
由题设易知,得BC
假设到平面的距离为d，
又因为PB=
所以
又因为(或)，
，
所以
考点：线面平行的判定及点到面的距离
20、（1）（2）
【解析】
（1）由中，D是边BC上的点，根据面积关系求得，再结合正弦定理，即可求解.
（2）由，化简得到，再结合，解得，进而利用勾股定理求得的长.
【详解】
（1）由题意，在中，D是边BC上的点，
可得，所以
又由正弦定理，可得.
（2）由，
可得，
所以，即，
由（1）知，解得，
又由，所以.
本题主要考查了三角形的正弦定理和三角形的面积公式的应用，其中解答中熟记解三角形的正弦定理，以及熟练应用三角的面积关系，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
21、（1）；（2）.
【解析】
（1）根据题意求出数列的通项公式，可解出，从而得出数列的通项公式；
（2）将数列的通项公式裂项，利用裂项法求出，由得出，然后利用定义法判断出数列的单调性，求出数列的最小项，从而得出实数的取值范围.
【详解】
（1）因为，所以，又因为数列是公差为的等差数列，
所以，即；
（2）因为，
所以.
于是，即为，
整理可得.
设，则.
令，解得，，
所以，，
故数列的最大项的值为，故，
因此，实数的取值范围是.
本题考查数列通项公式的求解，同时也考查了裂项求和法以及数列不等式恒成立求参数，解题时利用参变量分离法转化为新数列的最值问题求解，同时也考查利用定义法判断数列的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.