2025届云南省宾川县第四高级中学高一下数学期末联考模拟试题含解析.doc

2025届云南省宾川县第四高级中学高一下数学期末联考模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知关于的不等式的解集是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则（ ）
A． B． C．2 D．
3．设，是定义在上的两个周期函数，的周期为，的周期为，且是奇函数．当时，，，其中．若在区间上，函数有个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知实数满足，则的最大值为（ ）
A．8 B．2 C．4 D．6
5．已知点，则向量（ ）
A． B． C． D．
6．设向量满足，且，则向量在向量方向上的投影为
A．1 B． C． D．
7．已知向量是单位向量，＝(3，4)，且在方向上的投影为，則
A．36 B．21 C．9 D．6
8．函数的部分图象如图所示，则的单调递减区间为

A．
B．
C．
D．
9．如果直线a平行于平面，则（ ）
A．平面内有且只有一直线与a平行
B．平面内有无数条直线与a平行
C．平面内不存在与a平行的直线
D．平面内的任意直线与直线a都平行
10．数列1，，，…，的前n项和为
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数，，的图象如下图所示，则，，的大小关系为__________．（用“”号连接）

12．等差数列的前项和为，，，等比数列满足，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前15项和.
13．底面边长为，高为的直三棱柱形容器内放置一气球，使气球充气且尽可能的膨胀（保持球的形状），则气球表面积的最大值为_______．
14．在△中，三个内角、、的对边分别为、、，若，，，则________
15．已知是内的一点，，，则 _______；若，则_______.
16．若直线与圆相交于，两点，且（其中为原点），则的值为________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．
18．已知函数.求：
（1）函数的最大值、最小值及最小正周期；
（2）函数的单调递增区间.
19．对于函数和实数，若存在，使成立，则称为函数关于的一个“生长点”.若为函数关于的一个“生长点”，则______.
20．已知数列的前项和为，且，.
（1）试写出数列的任意前后两项（即、）构成的等式；
（2）用数学归纳法证明：.
21．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点为中点，且.

(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
先利用韦达定理得到关于a,b的方程组，解方程组即得a,b的值，即得解.
【详解】
由题得，
所以a+b=7.
故选：A
本题主要考查一元二次不等式的解集，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
2、D
【解析】
将转化为，结合二倍角的正切公式即可求出.
【详解】

故选D
本题主要考查了二倍角的正切公式，关键是将转化为，利用二倍角的正切公式求出，属于基础题.
3、B
【解析】
根据题意可知，函数和在上的图象有个不同的交点，作出两函数图象，即可数形结合求出．
【详解】
作出两函数的图象，如图所示：

由图可知，函数和在上的图象有个不同的交点，
故函数和在上的图象有个不同的交点，才可以满足题意．所以，圆心到直线的距离为，解得，因为两点连线斜率为，所以，．
故选：B．
本题主要考查了分段函数的图象应用，函数性质的应用，函数的零点个数与两函数图象之间的交点个数关系的应用，意在考查学生的转化能力和数形结合能力，属于中档题．
4、D
【解析】
设点，根据条件知点均在单位圆上，由向量数量积或斜率知识，可发现，对目标式子进行变形，发现其几何意义为两点到直线的距离之和有关.
【详解】
设，，
均在圆上，且，设的中点为，则点到原点的距离为，
点在圆上，设到直线的距离分别为，
，
，.

利用数形结合思想，发现代数式的几何意义，即构造系数，才能看出目标式子的几何意义为两点到直线距离之和的倍.
5、D
【解析】
利用终点的坐标减去起点的坐标，即可得到向量的坐标．
【详解】
∵点，，
∴向量，，.
故选：D．
本题考查向量的坐标表示，考查运算求解能力，属于基础题.
6、D
【解析】
先由题中条件，求出向量的数量积，再由向量数量积的几何意义，即可求出投影.
【详解】
因为，，所以，
所以，
故向量在向量方向上的投影为.
故选D
本题主要考查平面向量的数量积，熟记平面向量数量积的几何意义即可，属于常考题型.
7、D
【解析】
根据公式把模转化为数量积，展开后再根据和已知条件计算.
【详解】
因为在方向上的投影为，
所以，

.
故选D.
本题主要考查向量模有关的计算，常用公式有，.
8、D
【解析】
根据图象可得最小正周期，求得；利用零点和的符号可确定的取值；令，解不等式即可求得单调递减区间.
【详解】
由图象可知：
又 ， ，

由图象可知 的一个可能的取值为
令，，解得：，
即的单调递减区间为：，
本题正确选项：
本题考查利用图象求解余弦型函数的解析式、余弦型函数单调区间的求解问题；关键是能够灵活应用整体对应的方式来求解解析式和单调区间，属于常考题型.
9、B
【解析】
根据线面平行的性质解答本题．
【详解】
根据线面平行的性质定理，已知直线平面.
对于A，根据线面平行的性质定理，只要过直线a的平面与平面相交得到的交线，都与直线a平行；所以平面内有无数条直线与a平行；故A错误；
对于B，只要过直线a的平面与平面相交得到的交线，都与直线a平行；所以平面内有无数条直线与a平行；故B正确；
对于C，根据线面平行的性质，过直线a的平面与平面相交得到的交线，则直线，所以C错误；
对于D，根据线面平行的性质，过直线a的平面与平面相交得到的交线，则直线，则在平面内与直线相交的直线与a不平行，所以D错误；
故选：B．
本题考查了线面平行的性质定理；如果直线与平面平行，那么过直线的平面与已知平面相交，直线与交线平行．
10、B
【解析】
数列为，则
所以前n项和为．故选B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
函数y=ax，y=xb，y=logcx的图象如图所示，

由指数函数y=ax，x=2时，y∈（1，2）；对数函数y=logcx，x=2，y∈（0，1）；幂函数y=xb，x=2，y∈（1，2）；
可得a∈（1，2），b∈（0，1），c∈（2，+∞）．
可得b＜a＜c
故答案为：b＜a＜c．
12、（1），；（2）125.
【解析】
（1）直接利用等差数列，等比数列的公式得到答案.
（2），前5项为正，后面为负，再计算数列的前15项和.
【详解】
解：（1）联立，
解得，，故，
，联立，
解得，故.
（2）

.
本题考查了等差数列，等比数列，绝对值和，判断数列的正负分界处是解题的关键.
13、
【解析】
由题意，气球充气且尽可能地膨胀时，气球的半径为底面三角形内切圆的半径
∵底面三角形的边长分别为，∴底面三角形的边长为直角三角形,利用等面积可求得∴气球表面积为4π.
14、
【解析】
利用正弦定理求解角,再利用面积公式求解即可.
【详解】
由,因为,故,
.故.
故答案为：
本题主要考查了解三角形的运用,根据题中所给的边角关系选择正弦定理与面积公式等.属于基础题型.
15、
【解析】
对式子两边平方，再利用向量的数量积运算即可；式子两边分别与向量，进行数量积运算，得到关于的方程组，解方程组即可得答案.
【详解】
∵，
∴；
∵，
∴
解得：，∴.
故答案为：；.
本题考查向量数量积的运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将向量等式转化为数量关系的方法.
16、
【解析】
首先根据题意画出图形，再根据求出直线的倾斜角，求斜率即可.
【详解】
如图所示

直线与圆恒过定点，不妨设，
因为，
所以，
两种情况讨论，
可得，.
所以斜率.
故答案为：
本题主要考查直线与圆的位置关系，同时考查了数形结合的思想，属于简单题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）；（Ⅱ） 或 .
【解析】
分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.
【详解】
详解：（Ⅰ）由角的终边过点得，
所以.
（Ⅱ）由角的终边过点得，
由得.
由得，
所以或.
点睛：三角函数求值的两种类型
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
18、（1）最大值，最小值为，最小正周期；（2）
【解析】
（1）根据即可求出最值，利用即可求出最小正周期；
（2）根据复合函数的单调性，令即可得解.
【详解】
（1），
函数的最大值为，最小值为；
函数的最小正周期为.
（2）令，得：，
故函数的增区间为.
本题考查了三角函数的性质以及单调区间的求解，属于基础题.
19、
【解析】
由为函数关于的一个“生长点”，得到
由诱导公式可得答案.
【详解】
解：为函数关于的一个“生长点”，

，
故答案为：.
本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，及函数的创新题型，属于中档题.
20、（1）；（2）证明见解析.
【解析】
（1）由，可得出，两式相减，化简即可得出结果；
（2）令代入求出的值，再由求出的值，可验证和时均满足，并假设当时等式成立，利用数学归纳法结合数列的递推公式推导出时等式也成立，综合可得出结论.
【详解】
（1）对任意的，由可得，
上述两式相减得，化简得；
（2）①当时，由可得，解得，满足；
②当时，由于，则，满足；
③假设当时，成立，则有，
由于，则.
这说明，当时，等式也成立.
综合①②③，.
本题考查数列递推公式的求解，同时也考查了利用数学归纳法证明数列的通项公式，考查计算能力与推理能力，属于中等题.
21、（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
(1) 连接交于点，连接，可证，从而可证平面.
(2) 可证平面，从而得到平面平面.
【详解】
(1) 连接交于点，连接，
因为底面为平行四边形，所以为中点.
在中,又为中点，所以.
又平面，平面，
所以平面.
(2) 因为底面为平行四边形，所以.
又即，所以.
又即.
又平面，平面，，
所以平面.
又平面，所以平面平面.

线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行. 线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.而面面垂直的证明可以通过线面垂直得到，也可以通过证明二面角是直二面角.