山东省泰安第一中学2025年高一数学第二学期期末监测模拟试题含解析.doc

山东省泰安第一中学2025年高一数学第二学期期末监测模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（ ）

A． B． C． D．
2．已知为等差数列，其前项和为，若，，则公差等于（　　）
A． B． C． D．
3．下列函数，是偶函数的为（ ）
A． B． C． D．
4．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（　　）
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球” B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” D．“至少有一个黑球”与“都是红球”
5．在中，已知角的对边分别为，若，，，，且，则的最小角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
6．正方体中，的中点为，的中点为，则异面直线与所成的角是( )
A． B． C． D．
7．已知，所在平面内一点P满足，则（ ）
A． B． C． D．
8．直线经过点和，则直线的倾斜角为（　）
A． B． C． D．
9．已知函数，若方程在上有且只有三个实数根，则实数的取值范围为( )
A． B． C． D．
10．已知x，y∈R，且x>y>0，则（ ）
A． B．
C． D．lnx+lny>0
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．如图所示，已知，用表示.

12．已知圆锥的高为，体积为，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是，则该圆台的高为_______.
13．已知点和在直线的两侧，则a的取值范围是__________.
14．已知球的表面积为4，则该球的体积为________．
15．过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，若的最大值为，则实数__________．
16．已知直线和，若，则a等于________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．甲乙两地生产某种产品，他们可以调出的数量分别为300吨、750吨.A，B，C三地需要该产品数量分别为200吨，450吨，400吨，甲地运往A，B，C三地的费用分别为6元/吨、3元/吨，5元/吨，乙地运往A，B，C三地的费用分别为5元/吨，9元/吨，6元/吨，问怎样调运，才能使总运费最小？
18．已知幂函数的图像过点.
（1）求函数的解析式；
（2）设函数在是单调函数，求实数的取值范围.
19．已知公差的等差数列的前项和为，且满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：是数列中的项；
（3）若正整数满足如下条件：存在正整数，使得数列，，为递增的等比数列，求的值所构成的集合.
20．已知数列满足，.
（1）证明：数列为等差数列；
（2）求数列的前项和.
21．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
求A；
已知，的面积为的周长．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
模拟程序运行后,可得到输出结果,利用裂项相消法即可求出答案.
【详解】
模拟程序运行过程如下:
0),判断为否,进入循环结构,
1),判断为否,进入循环结构,
2),判断为否,进入循环结构,
3),判断为否,进入循环结构,
……
9),判断为否,进入循环结构,
10),判断为是,
故输出,
故选:B.
本题主要考查程序框图,考查裂项相消法,难度不大.一般遇见程序框图求输出结果时,常模拟程序运行以得到结论.
2、C
【解析】
由题意可得，又，
所以,故选C.
本题考查两个常见变形公式和.
3、B
【解析】
逐项判断各项的定义域是否关于原点对称，再判断是否满足即可得解.
【详解】
易知各选项的定义域均关于原点对称.
，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误.
故选：B.
本题考查了诱导公式的应用和函数奇偶性的判断，属于基础题.
4、C
【解析】
分析：利用对立事件、互斥事件的定义求解．
详解：从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，
在A中，“至少有一个黑球”与“都是黑球”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；
在B中，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”能同时发生，不是互斥事件，故B错误；
在C中，“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，
但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故C正确；
在D中，“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件，故D错误．
故答案为：C
点睛：（1）本题主要考查互斥事件和对立事件的定义，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2)互斥事件指的是在一次试验中，不可能同时发生的两个事件，对立事件指的是在一次试验中，不可能同时发生的两个事件，且在一次试验中，必有一个发生的两个事件.注意理解它们的区别和联系.
5、D
【解析】
根据大角对大边判断最小角为，利用正弦定理得到，代入余弦定理计算得到，最后得到.
【详解】
根据大角对大边判断最小角为
根据正弦定理知：
根据余弦定理：
化简得：

故答案选D
本题考查了正弦定理，余弦定理，意在考查学生的计算能力.
6、D
【解析】
首先根据得到异面直线与所成的角就是直线与所成角，再根据即可求出答案.
【详解】

由图知：取的中点，连接.
因为，所以异面直线与所成的角就是直线与所成角.
因为，
所以，.
因为，
所以，.
所以异面直线与所成的角为.
故选：D
本题主要考查异面直线所成角，平移找角为解题的关键，属于简单题.
7、D
【解析】
由平面向量基本定理及单位向量可得点在的外角平分线上，且点在的外角平分线上，，，在中，由正弦定理得得解．
【详解】
因为
所以，
因为方向为外角平分线方向，
所以点在的外角平分线上，
同理，点在的外角平分线上，
，，
在中，由正弦定理得，
故选：．
本题考查了平面向量基本定理及单位向量，考查向量的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
8、D
【解析】
算出直线的斜率后可得其倾斜角.
【详解】
设直线的斜率为，且倾斜角为，则，
根据，而，故，故选D.
本题考查直线倾斜角的计算，属于基础题.
9、A
【解析】
先辅助角公式化简,先求解方程的根的表达式,再根据在上有且只有三个实数根列出对应的不等式求解即可.
【详解】
.又在上有且只有三个实数根,
故,解得或,
即或,.
设直线与在上从做到右的第三个交点为,第四个交点为.
则,.故.
故实数的取值范围为.
故选：A
本题主要考查了根据三角函数的根求解参数范围的问题,需要根据题意先求解根的解析式,进而根据区间中的零点个数列出区间端点满足的关系式求解即可.属于中档题.
10、A
【解析】
结合选项逐个分析，可选出答案.
【详解】
结合x，y∈R，且x>y>0，对选项逐个分析：
对于选项A，，，故A正确；
对于选项B，取，，则，故B不正确；
对于选项C，，故C错误；
对于选项D，，当时，，故D不正确.
故选A.
本题考查了不等式的性质，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
可采用向量加法和减法公式的线性运算进行求解
【详解】
由，整理得
本题考查向量的线性运算，解题关键在于将所有向量通过向量的加法和减法公式转化成基底向量，属于中档题
12、
【解析】
设该圆台的高为，由题意，得用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的小圆锥体积是，则，解得，即该圆台的高为3.
点睛：本题考查圆锥的结构特征；在处理圆锥的结构特征时可记住常见结论，如本题中用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面的面积之比是两个圆锥高的比值的平方，所得两个圆锥的体积之比是两个圆锥高的比值的立方．
13、
【解析】
试题分析：若点A（3，1）和点B（4，6）分别在直线3x-2y+a=0两侧，则将点代入直线中是异号，则[3×3-2×1+a]×[3×4-2×6+a]＜0，即（a+7）a＜0，解得-7＜a＜0，故填写-7<a<0
考点：本试题主要考查了二元一次不等式与平面区域的运用．
点评：解决该试题的关键是根据A、B在直线两侧，则A、B坐标代入直线方程所得符号相反构造不等式．
14、
【解析】
先根据球的表面积公式求出半径，再根据体积公式求解.
【详解】
设球半径为，则，解得，所以
本题考查球的面积、体积计算，属于基础题.
15、1或；
【解析】
要使最大，则最小．
【详解】
圆的标准方程为，圆心为，半径为．
∵若的最大值为，
∴，解得或．
故答案为1或．
本题考查直线与圆的位置关系，解题思路是平面上对圆的张角问题，显然在点固定时，圆外的点作圆的两条切线，这两条切线间的夹角是最大角，而当点离圆越近时，这个又越大．
16、
【解析】
根据两直线互相垂直的性质可得，从而可求出的值.
【详解】
直线和垂直，
.
解得.
故答案为：
本题考查了直线的一般式，根据两直线的位置关系求参数的值，熟记两直线垂直系数满足：是关键，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、甲到B调运300吨，从乙到A调运200吨，从乙到B调运150吨，从乙到C调运400吨，总运费最小
【解析】
设从甲到A调运吨，从甲到B调运吨，则由题设可得 ，总的费用为，利用线性规划可求目标函数的最小值.
【详解】
设从甲到A调运吨，从甲到B调运吨，从甲到C调运吨，则从乙到A调运吨，从乙到B调运吨，从乙到C调运吨，
设调运的总费用为元，则

.
由已知得约束条件为，可行域如图所示，

平移直线可得最优解为.
甲到B调运300吨，从乙到A调运200吨，从乙到B调运150吨，从乙到C调运400吨，总运费最小.
本题考查线性规划在实际问题中的应用，属于基础题.
18、（1）；（2）.
【解析】
（1）利用幂函数过点即可求出函数的解析式；
（2）利用二次函数对称轴与区间的位置，即可求出实数的取值范围.
【详解】
（1）因为的图像过点，
所以，则，
所以函数的解析式为：；
（2）由（1）得，
所以函数的对称轴为，
若函数在是单调函数，
则或，
即或，
所以实数的取值范围为.
本题考查了幂函数解析式的求解，二次函数单调区间与对称轴的位置关系，属于一般题.
19、 (1) ；(2)证明见解析；(3) 见解析
【解析】
(1)根据等差数列性质,结合求得等再求的通项公式.
(2)先求出,再证明满足的通项公式.
(3)由数列,,为递增的等比数列可得,从而根据的通项公式求的值所构成的集合.
【详解】
(1)因为为等差数列,故,故
或,又公差,所以,故,故.
(2)由可得,
故,
若是数列中的项,则
即,
即,故是数列中的项；
(3)由数列，，为递增的等比数列,则
即.由题意存在正整数使得等式成立,
因为,故能被5整除,设,
则,又为整数,故为整数设,即，故,解得,又,故,
不妨设,则.
即
又当时,由得
满足条件.
综上所述,.
(1)本题考查等差数列性质：若是等差数列，且，则
(2)证明数列中是否满足某项或者存在正整数使得某三项为等比数列时,均先根据条件列出对应的表达式,再利用正整数的性质进行判断,有一定的难度.
20、 (1)证明见解析；(2)
【解析】
（1）将已知条件凑配成，由此证得数列为等差数列.（2）由（1）求得数列的通项公式，进而求得的表达式，利用分组求和法求得.
【详解】
（1）证明：∵
∴
又∵∴
所以数列是首项为1，公差为2的等差数列；
（2）由（1）知，，所以.
所以
本小题主要考查根据递推关系式证明等差数列，考查分组求和法，属于中档题.
21、（1）；（2）
【解析】
（1）在中，由正弦定理及题设条件，化简得，即可求解．
（2）由题意，根据题设条件，列出方程，求的，得到，即可求解周长．
【详解】
（1）在中，由正弦定理及已知得，
化简得，
，所以.
（2）因为，所以，
又的面积为，则，
则，所以的周长为.
在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．