2024-2025学年西藏山南市第二高级中学高一数学第二学期期末统考模拟试题含解析.doc

2024-2025学年西藏山南市第二高级中学高一数学第二学期期末统考模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为
A． B． C． D．
2．若直线与平面相交，则（ ）
A．平面内存在无数条直线与直线异面
B．平面内存在唯一的一条直线与直线平行
C．平面内存在唯一的一条直线与直线垂直
D．平面内的直线与直线都相交
3．已知圆，由直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为( )
A．1 B．2 C． D．
4．设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．以下给出了4个命题：
（1）两个长度相等的向量一定相等；
（2）相等的向量起点必相同；
（3）若，且，则；
（4）若向量的模小于的模，则．
其中正确命题的个数共有（ ）
A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0个
6．已知，则使得都成立的取值范围是( ).
A． B． C． D．
7．已知向量，满足，在上的投影（正射影的数量）为-2，则的最小值为（ ）
A． B．10 C． D．8
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A． B． C． D．
9．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的，，依次输入的为2，2，5，则输出的（ ）

A．7 B．12 C．17 D．34
10．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知圆的圆心在直线上，半径为，若圆上存在点，它到定点的距离与到原点的距离之比为，则圆心的纵坐标的取值范围是__________．
12．若数列满足，，则的最小值为__________________．
13．已知直线与轴、轴相交于两点，点在圆上移动，则面积的最大值和最小值之差为 ．
14．函数的定义域是_____.
15．将十进制数30化为二进制数为________．
16．若函数的图象与直线恰有两个不同交点，则m的取值范围是________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知向量，，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
18．如图，在正方体，中，，，，，分别是棱，，，，的中点.

（1）求证：平面平面；
（2）求平面将正方体分成的两部分体积之比.
19．在△ABC中，已知BC=7，AB=3，∠A=60°．
（1）求cos∠C的值；
（2）求△ABC的面积．
20．已知．
（1）求实数的值；
（2）若，求实数的值．
21．已知点，圆．
（1）求过点M的圆的切线方程；
（2）若直线与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为，求的值．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
利用正方体中，，将问题转化为求共面直线与所成角的正切值，在中进行计算即可.
【详解】
在正方体中，，所以异面直线与所成角为，
设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，
则.故选C.

求异面直线所成角主要有以下两种方法：
（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；
（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.
2、A
【解析】
根据空间中直线与平面的位置关系，逐项进行判定，即可求解.
【详解】
由题意，直线与平面相交，
对于A中，平面内与无交点的直线都与直线异面，所以有无数条，正确；
对于B中，平面内的直线与要么相交，要么异面，不可能平行，所以，错误；
对于C中，平面内有无数条平行直线与直线垂直，所以，错误；
对于D中，由A知，D错误.
故选A.
本题主要考查了直线与平面的位置关系的应用，其中解答中熟记直线与平面的位置关系，合理判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
3、A
【解析】
将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，利用切线的性质及勾股定理求处切线长的最小值，即可得到答案．
【详解】
将圆化为标准方程，得，
所以圆心坐标为，半径为，
则圆心到直线的距离为，
所以切线长的最小值为，故选A．
本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及数形结合思想的应用，属于基础题．
4、A
【解析】
试题分析：由面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一平面的一条垂线，则两面垂直，可得，
可得
考点：空间线面平行垂直的判定与性质
5、D
【解析】
利用向量的概念性质和向量的数量积对每一个命题逐一分析判断得解.
【详解】
（1）两个长度相等的向量不一定相等，因为它们可能方向不同，所以该命题是错误的；
（2）相等的向量起点不一定相同，只要它们方向相同长度相等就是相等向量，所以该命题是错误的；
（3）若，且，则是错误的，举一个反例，如，不一定相等，所以该命题是错误的；
（4）若向量的模小于的模，则，是错误的，因为向量不能比较大小，因为向量既有大小又有方向，故该命题不正确．
故选：D
本题主要考查向量的概念和数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6、B
【解析】
先解出不等式的解集，得到当时，不等式的解集，最后求出它们的交集即可.
【详解】
因为，所以，
因为，所以，要想使得都成立，所以取值范围是，故本题选B.
本题考查了一元二次不等式的解法，考查了不等式的性质应用，考查了数学运算能力.
7、D
【解析】
在上的投影（正射影的数量）为可知，可求出，求的最小值即可得出结果.
【详解】
因为在上的投影（正射影的数量）为，
所以，
即，而，
所以，
因为

所以，即，故选D.
本题主要考查了向量在向量上的正射影，向量的数量积，属于难题.
8、B
【解析】
该几何体由上下两部分组成的，上面是一个圆锥，下面是一个正方体，由体积公式直接求解.
【详解】
该几何体由上下两部分组成的，上面是一个圆锥，下面是一个正方体．
∴该几何体的体积V64．
故选：B．
本题考查了正方体与圆锥的组合体的三视图还原问题及体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
9、C
【解析】
第一次循环： ；第二次循环： ；第三次循环： ；结束循环，输出 ，选C.
点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.
10、C
【解析】
由放缩法可得出，再利用特殊值法以及不等式的基本性质可判断各选项中不等式的正误.
【详解】
，，可得.
取，，，则A、D选项中的不等式不成立；
取，，，则B选项中的不等式不成立；
且，由不等式的基本性质得，C选项中的不等式成立.
故选：C.
本题考查不等式正误的判断，一般利用不等式的性质或特殊值法进行判断，考查推理能力，属于中等题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
因为圆心在直线上，设圆心，
则圆的方程为，
设点，因为，所以，
化简得，即，
所以点在以为圆心，为半径的圆上，则，
即，整理得，
由，得，由，得，
所以圆心的纵坐标的取值范围是.
点睛：本题主要考查了圆的方程，动点的轨迹方程、两圆的位置关系、解不等式等知识的综合运用，着重考查了转化与化归思想和学生的运算求解能力，解答中根据题设条件得到动点的轨迹方程，利用两圆的位置关系，列出不等式上解答的关键.对于直线与圆的位置关系问题，要熟记有关圆的性质，同时注意数形结合思想的灵活运用.
12、
【解析】
由题又,故考虑用累加法求通项公式,再分析的最小值.
【详解】
,故,
当且仅当时成立.又为正整数,且,故考查当时.
当时,当时,因为,
故当时, 取最小值为.
故答案为：.
本题主要考查累加法,求最小值时先用基本不等式,发现不满足“三相等”,故考虑与相等时的取值最近的两个正整数.
13、15
【解析】
解：设作出与已知直线平行且与圆相切的直线，
切点分别为，如图所示

则动点C在圆上移动时，若C与点重合时，
△ABC面积达到最小值；而C与点重合时，△ABC面积达到最大值
∵直线3x＋4y−12＝0与x轴、y轴相交于A（4，0）、B（0，3）两点
可得
∴△ABC面积的最大值和最小值之差为
，
其中分别为点、点到直线AB的距离
∵是圆（x−5）2＋（y−6）2＝9的两条平行切线与圆的切点
∴点、点到直线AB的距离之差等于圆的直径，即
因此△ABC面积的最大值和最小值之差为

故答案为：15
14、.
【解析】
由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域.
【详解】
由已知得,
即
解得，
故函数的定义域为.
求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．
15、
【解析】
利用除取余法可将十进制数化为二进制数.
【详解】
利用除取余法得

因此，，故答案为.
本题考查将十进制数转化为二进制数，将十进制数转化为进制数，常用除取余法来求解，考查计算能力，属于基础题.
16、
【解析】
化简函数解析式为，做出函数的图象，数形结合可得的取值范围．
【详解】
解：因为
所以，，
由，可得，
则函数，的图象与直线恰有两个不同交点，即方程在上有两个不同的解，
画出的图象如下所示：

依题意可得时，函数的图象与直线恰有两个不同交点，
故答案为：
本题主要考查正弦函数的最大值和单调性，函数的图象变换规律，正弦函数的图象特征，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
（1）由向量垂直的坐标运算可得，再求解即可；
（2）利用三角函数诱导公式可得原式，再构造齐次式求解即可.
【详解】
解：（1）因为，所以，
因为，，所以，
即，故.
（2）

.
本题考查了向量垂直的坐标运算，重点考查了三角函数诱导公式及构造齐次式求值，属中档题.
18、（1）见解析（2）
【解析】
（1）先证明平面，再证明平面平面；（2）连接，，则截面右侧的几何体为四棱锥和三棱锥，再求出每一部分的体积得解.
【详解】
（1）证明：在正方体中，连接.
因为，分别是，的中点，所以.
因为平面，平面，所以.
因为，所以平面，平面，
所以，同理，
因为，所以平面，
因为平面，所以平面平面；

（2）连接，，则截面右侧的几何体为四棱锥和三棱锥，
设正方体棱长为1，
所以
，
所以平面将正方体分成的两部分体积之比为.
本题主要考查面面垂直关系的证明和几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.
19、（1）（2）
【解析】
（1）由已知及正弦定理可得sinC的值，利用大边对大角可求C为锐角，根据同角三角函数基本关系式可求cosC的值．
（2）利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sinB的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．
【详解】
（1）由题意，BC=7，AB=3，∠A=60°．
∴由正弦定理可得：sinC=
∵BC＞AB，∴C为锐角，∴cosC===，
（2）因为A+B+C=π，A=60°，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+=，
∴S△ABC=BC•AB•sinB=．
本题主要考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
20、（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）利用向量，建立关于的方程，即可求解的值；（2）写出向量的坐标，利用得出关于的方程，即可求解实数的值.
试题解析：（1）

（2）由（1）得

所以
考点：向量的坐标运算.
21、（1）或．（2）
【解析】
(1)分切线的斜率不存在与存在两种情况分析.当斜率存在时设方程为,再根据圆心到直线的距离等于半径求解即可.
(2)利用垂径定理根据圆心到直线的距离列出等式求解即可.
【详解】
解：（1）由题意知圆心的坐标为,半径,
当过点M的直线的斜率不存在时,方程为．
由圆心到直线的距离知,此时,直线与圆相切．
当过点M的直线的斜率存在时,设方程为,
即．由题意知,
解得,∴方程为．
故过点M的圆的切线方程为或．
（2）∵圆心到直线的距离为,
∴,解得．
本题主要考查了直线与圆相切与相交时的求解.注意直线过定点时分析斜率不存在与存在两种情况.直线与圆相切用圆心到直线的距离等于半径列式,直线与圆相交用垂径定理列式.属于中档题.