2025年河南省许昌市高级中学数学高一第二学期期末学业水平测试模拟试题含解析.doc

2025年河南省许昌市高级中学数学高一第二学期期末学业水平测试模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．圆与圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．相交 C．内切 D．外切
2．平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B的坐标分别为(1，1)，(-3，3).若动点P满足，其中λ，μ∈R，且λ+μ=1，则点P的轨迹方程为()
A． B． C． D．
3．已知直线与圆相切，则的值是( )
A．1 B． C． D．
4．已知等差数列中，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．一个钟表的分针长为 ，经过分钟，分针扫过图形的面积是( )
A． B． C． D．
6．已知是的共轭复数，若复数，则在复平面内对应的点是（ ）
A． B． C． D．
7．同时掷两个骰子，向上的点数之和是的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．长方体中，已知，，棱在平面内，则长方体在平面内的射影所构成的图形面积的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
9．设矩形的长为，宽为，其比满足∶＝，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形．黄金矩形常应用于工艺品设计中．下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：
甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639
乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620
根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是
A．甲批次的总体平均数与标准值更接近
B．乙批次的总体平均数与标准值更接近
C．两个批次总体平均数与标准值接近程度相同
D．两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定
10．在等比数列中，，，则数列的前六项和为（ ）
A．63 B．－63 C．－31 D．31
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知正数、满足，则的最大值为__________．
12．中医药是反映中华民族对生命、健康和疾病的认识，具有悠久历史传统和独特理论及技术方法的医药学体系，是中华文明的瑰宝.某科研机构研究发现，某品种中成药的药物成份的含量（单位：）与药物功效（单位：药物单位）之间具有关系：.检测这种药品一个批次的5个样本，得到成份的平均值为，标准差为，估计这批中成药的药物功效的平均值为__________药物单位．
13．如图，以为直径的圆中，，在圆上，，于，于，，记，，的面积和为，则的最大值为______.

14．若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为　_________　．
15．若满足约束条件，则的最小值为_________.
16．下图是2016年在巴西举行的奥运会上，七位评委为某体操运动员的单项比赛打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为__________．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知是圆的直径，垂直圆所在的平面,是圆上任一点．求证:平面⊥平面.

18．已知函数的最小正周期为.
（1）求的值和函数的值域；
（2）求函数的单调递增区间及其图像的对称轴方程.
19．如图，在处有一港口，两艘海轮同时从港口处出发向正北方向匀速航行，海轮的航行速度为20海里/小时，海轮的航行速度大于海轮．在港口北偏东60°方向上的处有一观测站，1小时后在处测得与海轮的距离为30海里，且处对两艘海轮，的视角为30°．

（1）求观测站到港口的距离；
（2）求海轮的航行速度．
20．如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形.

（1）求证：平面；
（2）若为的中点，，求证：平面平面.
21．有n名学生，在一次数学测试后，老师将他们的分数（得分取正整数，满分为100分），按照，，，，的分组作出频率分布直方图（如图1），并作出样本分数的茎叶图（如图2）（图中仅列出了得分在，的数据）.

（1）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；
（2）分数在的学生中，男生有2人，现从该组抽取三人“座谈”，求至少有两名女生的概率.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
根据圆的方程求得两圆的圆心和半径，根据圆心距和两圆半径的关系可确定位置关系.
【详解】
由圆的方程可知圆圆心为，半径；圆圆心为，半径
圆心距为：
两圆的位置关系为：外切
本题正确选项：
本题考查圆与圆的位置关系的判定，关键是能够通过圆的方程确定两圆的圆心和半径，从而根据圆心距和半径的关系确定位置关系.
2、C
【解析】
设点坐标，代入，得到即，再根据，即可求解.
【详解】
设点坐标，因为点的坐标分别为，
将各点坐标代入,可得，
即，解得，代入，
化简得，故选C.
本题主要考查了平面向量的坐标运算和点的轨迹的求解，其中解答中熟记向量的坐标运算，以及平面向量的基本定理是解答的关键，着重考查了推理运算能力，属于基础题.
3、D
【解析】
利用直线与圆相切的条件列方程求解.
【详解】
因为直线与圆相切，所以
，，，故选D.
本题考查直线与圆的位置关系，通常利用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系进行判断，考查运算能力，属于基本题.
4、A
【解析】
根据已知先求出数列的首项，公差d已知，可得。
【详解】
由题得，，解得，则.
故选：A
本题考查用数列的通项公式求某一项，是基础题。
5、B
【解析】
分析题意可知分针扫过图形是扇形，要求这个扇形的面积需要得到扇形的圆心角和半径，再代入扇形的面积公式计算即可．
【详解】
经过35分钟，分针走了7个大格，每个大格
则分钟走过的度数为
钟表的分针长为10
分针扫过图形的面积是
故选
本题主要考查了求扇形面积，结合公式需要求出扇形的圆心角和半径，较为基础
6、A
【解析】
由，得，所以在复平面内对应的点为，故选A.
7、C
【解析】
分别计算出所有可能的结果和点数之和为的所有结果，根据古典概型概率公式求得结果.
【详解】
同时掷两个骰子，共有种结果
其中点数之和是的共有：，共种结果
点数之和是的概率为：
本题正确选项：
本题考查古典概型问题中的概率的计算，关键是能够准确计算出总体基本事件个数和符合题意的基本事件个数，属于基础题.
8、A
【解析】
本题等价于求过BC直线的平面截长方体的面积的取值范围。
【详解】
长方体在平面内的射影所构成的图形面积的取值范围等价于，
求过BC直线的平面截长方体的面积的取值范围。
由图形知 , ，
故选A.
将问题等价转换为可视的问题。
9、A
【解析】
甲批次的平均数为0.617，乙批次的平均数为0.613
10、B
【解析】
利用等比数列通项公式求出公式，由此能求出数列的前六项和.
【详解】
在等比数列中，，，

解得
数列的前六项和为：.
故选：
本题考查等比数列通项公式求解基本量，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
直接利用均值不等式得到答案.
【详解】
，
当即时等号成立.
故答案为：
本题考查了均值不等式，意在考查学生的计算能力.
12、92
【解析】
由题可得，
进而可得，再计算出，从而得出答案．
【详解】
5个样本成份的平均值为，标准差为，所以，，
即，解得
因为，
所以
所以这批中成药的药物功效的平均值药物单位
本题考查求几个数的平均数，解题的关键是求出，属于一般题．
13、
【解析】
可设，表示出S关于的函数，从而转化为三角函数的最大值问题.
【详解】
设，则，
，
，
当时，.
本题主要考查函数的实际运用，三角函数最值问题，意在考查学生的划归能力，分析能力和数学建模能力.
14、
【解析】
记甲、乙两人相邻而站为事件A
甲、乙、丙三人随机地站成一排的所有排法有=6，
则甲、乙两人相邻而站的战法有=4种站法
∴=
15、3
【解析】
在平面直角坐标系内，画出可行解域，平行移动直线，在可行解域内，找到直线在纵轴上截距最小时所经过点的坐标，代入目标函数中，求出目标函数的最小值.
【详解】
在平面直角坐标系中，约束条件所表示的平面区域如下图所示：

当直线经过点时，直线纵轴上截距最小，解方程组
，因此点坐标为，所以的最小值为.
本题考查了线性目标函数最小值问题，正确画出可行解域是解题的关键.
16、
【解析】
由平均数公式可得，故所求数据的方差是，应填答案。

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、证明见解析
【解析】
先证直线平面，再证平面⊥平面.
【详解】
证明: ∵是圆的直径，是圆上任一点，，，
平面，平面，
，又，
平面，又平面，
平面⊥平面.
本题考查圆周角及线面垂直判定定理、面面垂直判定定理的应用，考查垂直关系的简单证明.
18、（1），值域为；（2）单调递增区间为，对称轴方程为.
【解析】
（1）利用二倍角公式降幂，然后化为的形式，由周期公式求出，同时求得值域；
（2）直接利用复合函数的单调性求得增区间，再由求得对称轴方程.
【详解】
（1）
，
由，得，
，
则函数的值域为；
（2）由，
解得，
函数的单调递增区间为，
令，解得，
函数的对称轴方程为.
本题考查了二倍角公式以及三角函数的图像与性质，掌握正弦函数的性质才是解题的关键，考查了基本知识，属于基础题.
19、（1）海里；（2）速度为海里/小时
【解析】
（1）由已知可知,所以在中，运用余弦定理易得OA的长．（2）因为C航行1小时到达C，所以知道OC的长即可，即求BC的长．在中，由正弦定理求得，在中，再由正弦定理即可求出BC．
【详解】
（1）因为海伦的速度为20海里/小时，所以1小时后，海里
又海里，，所以中，由余弦定理知：

即
即，解得：海里
（2）中，由正弦定理知：

解得：
中，，，所以
所以
在中，
由正弦定理知：
，解得：
所以
答：船的速度为海里/小时
三角形中一般已知三个条件可求其他条件，用到的工具一般是余弦定理或者正弦定理．
20、（1）证明见解析，（2）证明见解析
【解析】
（1）根据底面为菱形得到，根据线面垂直的性质得到，再根据线面垂直的判定即可得到平面.
（2）首先利用线面垂直的判定证明平面，再利用面面垂直的判定证明平面平面即可.
【详解】
（1）因为底面为菱形，所以.
平面，平面，
所以.
平面.
（2）因为底面为菱形，且
所以为等边三角形.
因为为的中点，所以.
又因为，所以.
平面，平面，
所以.
平面.
因为平面，所以平面平面.
本题第一问考查线面垂直的判定和性质，第二问考查面面垂直的判定，属于中档题.
21、（1），，；（2）
【解析】
（1）利用之间的人数和频率即可求出，进而可求出、；
（2）列出所有基本事件，再找到符合要求的基本事件即可得解.
【详解】
（1）由题意可知，样本容量，，
.
（2）由题意知，分数在的学生共有5人，其中男生2人，女生3人，分别设编号为，和，，，则从该组抽取三人“座谈”包含的基本事件：，，，，，，，，，，共计10个.记事件A“至少有两名女生”，则事件A包含的基本事件有：，，，，，，，共计7个.所以至少有两名女生的概率为.
本题考查了频率分布直方图和古典概型概率的求法，属于基础题.