广东省兴宁市水口中学2024-2025学年高一数学第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

广东省兴宁市水口中学2024-2025学年高一数学第二学期期末学业质量监测模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知点均在球上，，若三棱锥体积的最大值为，则球的体积为
A． B． C．32 D．

2．下列表达式正确的是（ ）
①， ②若，则
③若，则 ④若，则
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
3．计算( )
A． B． C． D．
4．在中，，，成等差数列，，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
5．函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于两点，且在轴上，则下列说法中正确的是

A．函数的最小正周期是
B．函数的图象关于点成中心对称
C．函数在单调递增
D．函数的图象向右平移后关于原点成中心对称
6．直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知，所在平面内一点P满足，则（ ）
A． B． C． D．
8．直线在轴上的截距为（ ）
A．2 B．﹣3 C．﹣2 D．3
9．直线与圆交于不同的两点，则（ ）
A． B． C． D．
10．若变量满足约束条件则的最大值为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的单调增区间是_________
12．若为锐角，，则__________．
13．在平面直角坐标系xOy中，已知直角中，直角顶点A在直线上，顶点B，C在圆上，则点A横坐标的取值范围是__________.

14．已知等差数列的前项和为，若，则=_______
15．函数的值域是______．
16．在中，，，则的值为________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图所示，已知的斜边长，现以斜边横在直线为轴旋转一周，得到旋转体．
（1）当时，求此旋转体的体积；
（2）比较当，时，两个旋转体表面积的大小．

18．正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，为中点.

(1)求证：平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
19．在△ABC中，AC=6，cosB=，C=.
(1)求AB的长；
(2)求△ABC的面积.
20．某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在，，，，，（单位：克）中，经统计的频率分布直方图如图所示．

（1）估计这组数据的平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）；
（2）现按分层抽样从质量为[200，250)，[250，300)的芒果中随机抽取5个，再从这5个中随机抽取2个，求这2个芒果都来自同一个质量区间的概率；
（3）某经销商来收购芒果，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出以下两种收购方案：
方案①：所有芒果以9元/千克收购；
方案②：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，对质量高于或等于250克的芒果以3元/个收购．
通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多．
参考数据：．
21．已知.
（1）若对任意的，不等式上恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
设是的外心，则三棱锥体积最大时，平面，球心在上．由此可计算球半径．
【详解】
如图，设是的外心，则三棱锥体积最大时，平面，球心
在上．
∵，∴，即，
∴．
又，∴，．
∵平面，∴，设球半径为，
则由得，解得，
∴球体积为．
故选A．

本题考查球的体积，关键是确定球心位置求出球的半径．
2、D
【解析】
根据基本不等式、不等式的性质即可
【详解】
对于①，.当，即时取，而，.即①不成立。
对于②若，则，若，显然不成立。
对于③若，则，则正确。
对于④若，则，则，正确。
所以选择D
本题主要考查了基本不等式以及不等式的性质，基本不等式一定要满足一正二定三相等。属于中等题。
3、A
【解析】
根据对数运算,即可求得答案.
【详解】

故选:A.
本题主要考查了对数运算,解题关键是掌握对数运算基础知识,考查了计算能力,属于基础题.
4、B
【解析】
根据等差中项以及余弦定理即可．
【详解】
因为，，成等差数列，得
为直角三角形为等腰直角三角形，所以选择B
本题主要考查了等差中项和余弦定理，若为等差数列，则，属于基础题．
5、B
【解析】
根据函数的图象，求得函数，再根据正弦型函数的性质，即可求解，得到答案．
【详解】
根据给定函数的图象，可得点的横坐标为，所以，解得，
所以的最小正周期， 不妨令，，由周期，所以，
又，所以，所以，
令，解得，当时，，即函数的一个对称中心为，即函数的图象关于点成中心对称．故选B．
本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得三角函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题．
6、B
【解析】
令求，利用求．
【详解】
令，由得：，所以
令，由得：，所以，故选B．
本题考查了直线的截距问题，直线方程，令解出，得到直线的纵截距．令解出，得到直线的横截距．
7、D
【解析】
由平面向量基本定理及单位向量可得点在的外角平分线上，且点在的外角平分线上，，，在中，由正弦定理得得解．
【详解】
因为
所以，
因为方向为外角平分线方向，
所以点在的外角平分线上，
同理，点在的外角平分线上，
，，
在中，由正弦定理得，
故选：．
本题考查了平面向量基本定理及单位向量，考查向量的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
8、B
【解析】
令,求出值则是截距。
【详解】
直线方程化为斜截式为：
，时，，
所以，在轴上的截距为－3。
轴上的截距：即令,求出值；同理轴上的截距：即令,求出值
9、C
【解析】
先求出圆心到直线的距离，然后根据圆的弦长公式求解可得所求．
【详解】
由题意得，圆的圆心为，半径为．
圆心到直线的距离为，
∴．
故选C．
求圆的弦长有两种方法：一是求出直线和圆的交点坐标，然后利用两点间的距离公式求解；二是利用几何法求解，即求出圆心到直线的距离，在由半径、弦心距和半弦长构成的直角三角形中运用勾股定理求解，此时不要忘了求出的是半弦长．在具体的求解中一般利用几何法，以减少运算、增强解题的直观性．
10、B
【解析】
先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值.
【详解】

作出约束条件，所对应的可行域（如图阴影部分）变形目标函数可得，平移直线可知，当直线经过点时，直线的截距最小，代值计算可得取最大值
故选B.
【点晴】
本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、，
【解析】
令，即可求得结果.
【详解】
令 ，
解得： ，
所以单调递增区间是，
故填：，
本题考查了型如：单调区间的求法，属于基础题型.
12、
【解析】
因为为锐角，，所以，
.
13、
【解析】
由题意画出图形，写出以原点为圆心，以为半径的圆的方程，与直线方程联立求得值，则答案可求．
【详解】
如图所示，当点往直线两边运动时，不断变小，
当点为直线上的定点时，直线与圆相切时，最大，
∴当为正方形，则，
则以为圆心，以为半径的圆的方程为．
联立，得．
解得或．
点横坐标的取值范围是．
故答案为：．

本题考查直线与圆位置关系的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意坐标法的应用.
14、
【解析】
利用等差数列前项和，可得；利用等差数列的性质可得，然后求解三角函数值即可．
【详解】
等差数列的前项和为，因为，所以；
又，所以．
故答案为：．
本题考查等差数列的前项和公式和等差数列的性质的应用，熟练掌握和若，则是解题的关键．
15、
【解析】
将函数化为 的形式，再计算值域。
【详解】
因为
所以
本题考查三角函数的值域，属于基础题。
16、
【解析】
由，得到，由三角形的内角和，求出，再由正弦定理求出的值.
【详解】
因为，，
所以，
所以，
在中，由正弦定理得
，
所以
.
本题考查正弦定理解三角形，属于简单题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）； （2）见解析.
【解析】
（1）根据旋转体的形状，可利用两个圆锥的体积和得到所求（2）分别计算两个圆锥的侧面积求和即可.
【详解】
沿斜边所在直线旋转一周即得到如图所示的旋转体．

∵，，∴，，，
∴．
（2）当，其表面积；
当，其表面积．通过计算知，，∴．
本题主要考查了旋转体的形成，圆锥的体积、面积求法，属于中档题.
18、 (1)证明见解析；(2)
【解析】
(1)连接交于,连接,再证明即可.
(2)根据(1)中的可知异面直线与所成角的为,再计算的各边长分析出为直角三角形,继而求得即可.
【详解】
(1) 连接交于,连接.则为中点
因为分别为中点,故为中位线,故.
又面,面.
故平面.

(2)由(1)有异面直线与所成角即为与所成角即,
设正四棱锥的各边长均为2,则,,
.因为,故.
则.即异面直线与所成角的余弦值为
本题主要考查了线面平行的证明以及异面角的余弦求解,需要根据题意找到中位线证明线面平行,同时要将异面角利用平行转换为平面角,利用三角形中的关系求解.属于基础题.
19、（1）（2）21
【解析】
（1）由，求得，再由正弦定理，即可求解.
(2)由（1）和，求得，再由三角形的面积公式，即可求解.
【详解】
（1）由题意，因为，且为三角形的内角，所以，
由正弦定理，可得，即，解得.
(2)由（1）和，
则，
由三角形的面积公式，可得.
本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
20、（1）2552）；（3）选择方案②获利多
【解析】
1）由频率分布直方图能求出这组数据的平均数．（2）利用分层抽样从这两个范围内抽取5个芒果，则质量在[200，250）内的芒果有2个，记为a1，a2，质量在[250，300）内的芒果有3个，记为b1，b2，b3，从抽取的5个芒果中抽取2个，利用列举法能求出这2个芒果都来自同一个质量区间的概率．（3）方案①收入22950元，方案②：低于250克的芒果的收入为8400元，不低于250克的芒果的收入为17400元，由此能求出选择方案②获利多．
【详解】
（1）由频率分布直方图知，各区间频率为0.07，0.15，0.20，0.30，0.25，0.03
这组数据的平均数
．
（2）利用分层抽样从这两个范围内抽取5个芒果，则质量在[200，250)内的芒果有2个，记为，，质量在[250，300)内的芒果有3个，记为，， ；
从抽取的5个芒果中抽取2个共有10种不同情况：，，，，，，，，，．
记事件为“这2个芒果都来自同一个质量区间”，则有4种不同组合：
，，，
从而，故这2个芒果都来自同一个质量区间的概率为.
（3）方案①收入：（元）；
方案②：低于250克的芒果收入为（元）；
不低于250克的芒果收入为（元）；
故方案②的收入为（元）．
由于，所以选择方案②获利多．
本题考查平均数、概率的求法，考查频率分布直方图古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
21、（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）参变分离后可得在上恒成立，利用基本不等式可求的最小值，从而得到参数的取值范围.
（2）原不等式可化为，就对应方程的两根的大小关系分类讨论可得不等式的解集.
【详解】
（1）对任意的，恒成立即恒成立.
因为当时，（当且仅当时等号成立），
所以即.
（2）不等式，
即，
①当即时，；
②当即时，；
③当即时，.
综上：当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为.
含参数的一元二次不等式，其一般的解法是：先考虑对应的二次函数的开口方向，再考虑其判别式的符号，其次在判别式大于零的条件下比较两根的大小，最后根据不等号的方向和开口方向得到不等式的解．一元二次不等式的恒成立问题，参变分离后可以转化为函数的最值进行讨论，后者可利用基本不等式来求.