2025年福建省泉州第十六中学数学高一下期末质量跟踪监视试题含解析.doc

2025年福建省泉州第十六中学数学高一下期末质量跟踪监视试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在三棱锥中，平面，，，点M为内切圆的圆心，若，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．若三棱锥的四个面都为直角三角形,平面,,,则三棱锥中最长的棱长为( )
A． B． C． D．
3．同时抛掷两枚骰子，朝上的点数之和为奇数的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．若数列前12项的值各异，且对任意的都成立，则下列数列中可取遍前12项值的数列为（ ）
A． B． C． D．
5．已知直线l1：ax＋2y＋8＝0与l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，则实数a的取值是（ ）
A．－1或2 B．－1 C．0或1 D．2
6．已知平面向量，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（ ）

A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
8．已知数列的前项和，那么（ ）
A．此数列一定是等差数列 B．此数列一定是等比数列
C．此数列不是等差数列，就是等比数列 D．以上说法都不正确
9．设满足约束条件，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．10
10．设是异面直线，则以下四个命题：①存在分别经过直线和的两个互相垂直的平面；②存在分别经过直线和的两个平行平面；③经过直线有且只有一个平面垂直于直线；④经过直线有且只有一个平面平行于直线，其中正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若向量，则与夹角的余弦值等于_____
12．如果数据的平均数是，则的平均数是________.
13．的内角的对边分别为，，，若的面积为，则角_______.
14．若无穷数列的所有项都是正数，且满足，则______．
15．已知，则的最小值是__________．
16．若存在实数，使不等式成立，则的取值范围是_______________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知直线：及圆心为的圆：．
（1）当时，求直线与圆相交所得弦长；
（2）若直线与圆相切，求实数的值．
18．已知直线，.
（1）证明:直线过定点；
（2）已知直线//，为坐标原点，为直线上的两个动点，，若的面积为，求.
19．已知椭圆（常数），点是上的动点，是右顶点，定点的坐标为．
⑴若与重合，求的焦点坐标；
⑵若，求的最大值与最小值；
⑶若的最小值为，求的取值范围．
20．在一次人才招聘会上，有、两家公司分别开出了他们的工资标准：公司允诺第一个月工资为8000元，以后每年月工资比上一年月工资增加500元；公司允诺第一年月工资也为8000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增，设某人年初被、两家公司同时录取，试问：
（1）若该人分别在公司或公司连续工作年，则他在第年的月工资分别是多少；
（2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其他因素），该人应该选择哪家公司，为什么？
21．已知，
（1）求；
（2）若，求.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
求三棱锥的外接球的表面积即求球的半径，则球心到底面的距离为，根据正切和MA的长求PA，再和MA的长即可通过勾股定理求出球半径R，则表面积.
【详解】
取BC的中点E，连接AE（图略）.因为，所以点M在AE上，因为，，所以，则的面积为，解得，所以.因为，所以.设的外接圆的半径为r，则，解得.因为平面ABC，所以三棱锥的外接球的半径为，故三棱锥P-ABC的外接球的表面积为.
此题关键点通过题干信息画出图像，平面ABC和底面的内切圆圆心确定球心的位置，根据几何关系求解即可，属于三棱锥求外接球半径基础题目．
2、B
【解析】
根据题意，画出满足题意的三棱锥，求解棱长即可.
【详解】
因为平面，故，且，
则为直角三角形，由以及勾股定理得：
；
同理，因为则为直角三角形，由，以及勾股定理得：
；
在保证和均为直角三角形的情况下，
①若，则在中，由勾股定理得：
，
此时在中，由，及，
不满足勾股定理
故当时，无法保证为直角三角形.
不满足题意.
②若，则，
又因为面ABC，面ABC，则，
故面PAB，又面PAB，故，
则此时可以保证也为直角三角形.满足题意.
③若，在直角三角形BCA中，
斜边AB=2，小于直角边AC=，显然不成立.
综上所述：当且仅当时，可以保证四棱锥
的四个面均为直角三角形，故作图如下：

由已知和勾股定理可得：

，
显然，最长的棱为.
故选：B.
本题表面考查几何体的性质，以及棱长的计算，涉及线面垂直问题，需灵活应用.
3、A
【解析】
分别求出基本事件的总数和点数之和为奇数的事件总数,再由古典概型的概率计算公式求解.
【详解】
同时抛掷两枚骰子,总共有种情况,
朝上的点数之和为奇数的情况有种,
则所求概率为.
故选:A.
本题考查古典概型概率的求法,属于基础题.
4、C
【解析】
根据题意可知利用除以12所得的余数分析即可.
【详解】
由题知若要取遍前12项值的数列,则需要数列的下标能够取得除以12后所有的余数.
因为12的因数包括3,4,6,故不能除以12后取所有的余数.如除以12的余数只能取1,4,7,10的循环余数.又5不能整除12 ,故能够取得除以12后取所有的余数.
故选：C
本题主要考查了数列下标整除与余数的问题,属于中等题型.
5、A
【解析】

【详解】
，选A.
本题考查由两直线平行求参数.
6、B
【解析】
试题分析：因为，，且，所以，，故选B.
考点：1、平面向量坐标运算；2、平行向量的性质.
7、A
【解析】
观察折线图可知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，且折线图呈现增长趋势，高峰都出现在7、8月份，1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月波动性更小.
【详解】
对于选项A，由图易知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，故A错；
对于选项B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确；
对于选项C，D，由图可知显然正确.故选A.
本题考查折线图，考查考生的识图能力，属于基础题.
8、D
【解析】
利用即可求得：，当时， 或，
对赋值2,3，选择不同的递推关系可得数列：1，3,-3，…，问题得解.
【详解】
因为 ，
当时， ，解得，
当时， ，整理有，
，所以 或
若时，满足，
时，满足，
可得数列：1，3,-3，…
此数列既不是等差数列，也不是等比数列
故选D
本题主要考查利用与的关系求，以及等差等比数列的判定．
9、B
【解析】
结合题意画出可行域，然后运用线性规划知识来求解
【详解】

如图由题意得到可行域，改写目标函数得，当取到点时得到最小值，即故选
本题考查了运用线性规划求解最值问题，一般步骤：画出可行域，改写目标函数，求出最值，需要掌握解题方法
10、C
【解析】
对于①：可以在两个互相垂直的平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断①正确
对于②：可在两个平行平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断②正确
对于③：当这两条直线不是异面垂直时，不存在这样的平面满足题意，可判断③错误
对于④：假设过直线a有两个平面α、β与直线b平行，则面α、β相交于直线a，过直线b做一平面γ与面α、β相交于两条直线m、n，则直线m、n相交于一点，且都与直线b平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，所以假设不成立，所以④正确
故选：C．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
利用坐标运算求得；根据平面向量夹角公式可求得结果.
【详解】

本题正确结果：
本题考查向量夹角的求解，明确向量夹角的余弦值等于向量的数量积除以两向量模长的乘积.
12、5
【解析】
根据平均数的定义计算．
【详解】
由题意，
故答案为：5.
本题考查求新数据的均值．掌握均值定义是解题关键．实际上如果数据的平均数是，则新数据的平均数是．
13、
【解析】
根据三角形面积公式和余弦定理可得，从而求得；由角的范围可确定角的取值.
【详解】

故答案为：
本题考查余弦定理和三角形面积公式的应用问题，关键是能够配凑出符合余弦定理的形式，进而得到所求角的三角函数值.
14、
【解析】
先由作差法求出数列的通项公式为，即可计算出，然后利用常用数列的极限即可计算出的值.
【详解】
当时，，可得；
当时，由，
可得，
上式下式得，得，
也适合，则，.
所以，.
因此，.
故答案为：.
本题考查利用作差法求数列通项，同时也考查了数列极限的计算，考查计算能力，属于中等题.
15、
【解析】
分析：利用题设中的等式，把的表达式转化成，展开后，利用基本不等式求得y的最小值.
详解：因为，所以，所以（当且仅当时等号成立），则的最小值是，总上所述，答案为.
点睛：该题考查的是有关两个正数的整式形式和为定值的情况下求其分式形式和的最值的问题，在求解的过程中，注意相乘，之后应用基本不等式求最值即可，在做乘积运算的时候要注意乘1是不变的，如果不是1，要做除法运算.
16、；
【解析】
不等式转化为，由于存在，使不等式成立，因此只要求得的最小值即可．
【详解】
由题意存在，使得不等式成立，
当时，，其最小值为，
∴．
故答案为．
本题考查不等式能成立问题，解题关键是把问题转化为求函数的最值．不等式能成立与不等式恒成立问题的转化区别：
在定义域上，不等式恒成立，则，不等式能成立，则，不等式恒成立，则，不等式能成立，则．转化时要注意是求最大值还是求最小值．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) 弦长为4；(1) 0
【解析】
（1）由得到直线过圆的圆心，可求得弦长即为圆的直径4；
（1）由点到直线的距离等于半径1，得到关于的方程，并求出.
【详解】
（1）当时，直线：，圆：．
圆心坐标为，半径为1．
圆心在直线上，则直线与圆相交所得弦长为4.
（1）由直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，
所以，
解得：．
本题考查直线与圆相交、相切两种位置关系，求解时注意点到直线距离公式的应用，考查基本运算求解能力.
18、（1）见详解；（2）
【解析】
（1）将直线变形，然后令前系数为0，可得结果.
（2）根据直线//，可得，然后计算点到直线距离，根据面积公式，可得结果.
【详解】
（1）由
则直线，
令且
所以对任意的，直线必过定点
（2）由直线//，所以可知直线，
则直线，
点到直线距离为
又，所以
本题主要考查直线过定点问题以及平面中线线平行关系，属基础题.
19、（1）
（2）
（3）
【解析】
解：⑴，椭圆方程为，
∴ 左、右焦点坐标为．
⑵，椭圆方程为，设，则

∴时；时．
⑶设动点，则

∵ 当时，取最小值，且，∴且
解得．
20、（1）公司：；公司：；（2）公司十年月工资总和为，公司十年月工资总和为，选公司；
【解析】
(1)易得在两家公司每年的工资分别成等差和等比数列再求解即可.
(2)根据(1)中的通项公式求解前10年的工资和比较大小即可.
【详解】
(1)易得在公司的工资成公差为500,首项为8000的等差数列,
故在公司第年的月工资为.
在公司的工资成公比为,首项为8000的等比数列.
故在公司第年的月工资为.
(2)由(1)得, 在公司十年月工资总和

在公司十年月工资总和
.
因为.故选公司.
本题主要考查了等差等比数列的实际应用题,需要根据题意找出首项公比公差再求和等.属于基础题型.
21、（1）（2）
【解析】
（1）两边平方可得，根据同角公式可得，；
（2）根据两角和的正切公式，计算可得结果.
【详解】
（1）因为，
所以，即.
因为，所以，所以，
故.
（2）因为，所以，
所以.
本题考查了两角同角公式，二倍角正弦公式，两角和的正切公式，属于基础题.