上海市高东中学2025届数学高一第二学期期末学业质量监测试题含解析.doc

上海市高东中学2025届数学高一第二学期期末学业质量监测试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知在三角形中，，点都在同一个球面上，此球面球心到平面的距离为，点是线段的中点，则点到平面的距离是（ ）
A． B． C． D．1
2．在数列中，，且数列是等比数列，其公比，则数列的最大项等于（ ）
A． B． C．或 D．
3．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．在中，（，，分别为角、、的对边），则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
5．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
6．若实数满足,则的大小关系是：
A． B． C． D．
7．甲、乙两人在相同的条件下各打靶6次，每次打靶的情况如图所示（虚线为甲的折线图），则以下说法错误的是（ ）

A．甲、乙两人打靶的平均环数相等
B．甲的环数的中位数比乙的大
C．甲的环数的众数比乙的大
D．甲打靶的成绩比乙的更稳定
8．为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
9．执行如图所示的程序框图,若输入的，则输出

A． B． C． D．
10．若角的终边过点，则( )
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．下列五个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点M，N，P分别为其所在棱的中点，求能得出⊥面MNP的图形的序号(写出所有符合要求的图形序号)______

12．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地．”则该人第一天走的路程为__________里．
13．若直线平分圆，则的值为________.
14．在平行六面体中，为与的交点，若存在实数，使向量，则__________．
15．如图是一个算法流程图.若输出的值为4，则输入的值为______________.

16．一个等腰三角形的顶点，一底角顶点，另一顶点的轨迹方程是___
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列中，．.
（1）写出、、；
（2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明．
18．已知.
（1）若对任意的，不等式上恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式.
19．如图，在中，点在边上，，，.

（1）求边的长；
（2）若的面积是，求的值.
20．已知函数，
(1)求的值；
(2)求的单调递增区间.
21．数列满足，.
（1）试求出，，；
（2）猜想数列的通项公式并用数学归纳法证明.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
利用数形结合，计算球的半径，可得半径为2，进一步可得该几何体为正四面体，可得结果.
【详解】
如图

据题意可知：点都在同一个球面上
可知为的外心，故球心必在过
且垂直平面的垂线上
因为，
所以
球心到平面的距离为
即，又
所以
同理可知：
所以该几何体为正四面体，
由点是线段的中点
所以，
且平面，故平面
所以点到平面的距离是
故选：D
本题考查空间几何体的应用，以及点到面的距离，本题难点在于得到该几何体为正四面体，属中档题.
2、C
【解析】
在数列中，，，且数列是等比数列，其公比，利用等比数列的通项公式可得：．可得，利用二次函数的单调性即可得出．
【详解】
在数列中，，，且数列是等比数列，其公比，
．

，
．
由或8时，，
或9时，，
数列的最大项等于或．
故选：C.
本题考查等比数列的通项公式、累乘法、二次函数的单调性，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
3、B
【解析】
试题分析：因为红灯持续时间为40秒,所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为，故选B.
【考点】几何概型
【名师点睛】对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．
4、B
【解析】
利用二倍角公式，正弦定理，结合和差公式化简等式得到，得到答案.
【详解】

故答案选B
本题考查了正弦定理，和差公式，意在考查学生的综合应用能力.
5、B
【解析】
先由角的终边过点，求出，再由二倍角公式，即可得出结果.
【详解】
因为角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，
所以，
因此.
故选B
本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公式即可，属于常考题型.
6、D
【解析】
分析：先解不等式,再根据不等式性质确定的大小关系.
详解：因为,所以 ,
所以
选D.
点睛：本题考查一元二次不等式解法以及不等式性质，考查基本求解能力与运用性质解决问题能力.
7、C
【解析】
甲：8,6,8,6,9,8，平均数为7.5，中位数为8，众数为8；
乙：4,6,8,7,10,10，平均数为7.5，中位数7.5，众数为10；
所以可知错误的是C。故选C。
8、A
【解析】
根据,因此只需把函数的图象向左平移个单位长度．
【详解】
因为，所以只需把函数的图象向左平移个单位长度即可得，选A.
本题主要考查就三角函数的变换，左加右减只针对，属于基础题．
9、B
【解析】
首先确定流程图所实现的功能，然后利用裂项求和的方法即可确定输出的数值.
【详解】
由流程图可知，程序输出的值为：，
即.
故选B.
本题主要考查流程图功能的识别，裂项求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10、D
【解析】
解法一：利用三角函数的定义求出、的值，再利用二倍角公式可得出的值；
解法二：利用三角函数的定义求出，再利用二倍角公式以及弦化切的思想求出的值．
【详解】
解法一：由三角函数的定义可得，，
，故选D．
解法二：由三角函数定义可得，
所以，
，故选D．
本题考查三角函数的定义与二倍角公式，考查同角三角函数的定义，利用三角函数的定义求值是解本题的关键，同时考查了同角三角函数基本思想的应用，考查计算能力，属于基础题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、①④⑤
【解析】
为了得到本题答案，必须对5个图形逐一进行判别．对于给定的正方体，l位置固定，截面MNP变动，l与面MNP是否垂直，可从正、反两方面进行判断．在MN、NP、MP三条线中，若有一条不垂直l，则可断定l与面MNP不垂直；若有两条与l都垂直，则可断定l⊥面MNP；若有l的垂面∥面MNP，也可得l⊥面MNP．
解法1 作正方体ABCD－A1B1C1D1如附图，与题设图形对比讨论．在附图中，三个截面BA1D、EFGHKR和CB1D1都是对角线l (即 AC1)的垂面．
对比图①，由MN∥BA l，MP∥BD，知面MNP∥面BAlD，故得l⊥面MNP．
对比图②，由MN与面CB1D1相交，而过交点且与l垂直的直线都应在面CBlDl内，所以MN不垂直于l，从而l不垂直于面MNP．
对比图③，由MP与面BA l D相交，知l不垂直于MN，故l不垂直于面MNP．
对比图④，由MN∥BD，MP∥BA．知面 MNP∥面BA1 D，故l⊥面MNP．
对比图⑤，面MNP与面EFGHKR重合，故l⊥面MNP．
综合得本题的答案为①④⑤．

解法2 如果记正方体对角线l所在的对角截面为．各图可讨论如下：
在图①中，MN,NP在平面上的射影为同一直线，且与l垂直，故 l⊥面MNP．事实上，还可这样考虑：l在上底面的射影是MP的垂线，故l⊥MP；l在左侧面的射影是MN的垂线，故l⊥MN，从而l⊥面 MNP．
在图②中，由MP⊥面，可证明MN在平面上的射影不是l的垂线，故l不垂直于MN．从而l不垂直于面MNP．
在图③中，点M在上的射影是l的中点，点P在上的射影是上底面的内点，知MP在上的射影不是l的垂线，得l不垂直于面 MNP．
在图④中，平面垂直平分线段MN，故l⊥MN．又l在左侧面的射影(即侧面正方形的一条对角线)与MP垂直，从而l⊥MP，故l⊥面 MNP．
在图⑤中，点N在平面上的射影是对角线l的中点，点M、P在平面上的射影分别是上、下底面对角线的4分点，三个射影同在一条直线上，且l与这一直线垂直．从而l⊥面MNP．
至此，得①④⑤为本题答案．
12、192
【解析】
设每天走的路程里数为
由题意知是公比为的等比数列
∵
∴
∴
故答案为
13、1
【解析】
把圆的一般式方程化为标准方程得到圆心，根据直线过圆心，把圆心的坐标代入到直线的方程，得到关于的方程，解方程即可
【详解】
圆的标准方程为，
则圆心为
直线过圆心

解得
故答案为
本题考查的是直线与圆的位置关系，解题的关键是求出圆心的坐标，属于基础题
14、
【解析】
在平行六面体中把向量用用表示，再利用待定系数法，求得.再求解。
【详解】
如图所示：

因为，
又因为，
所以，
所以.
故答案为：
本题主要考查了空间向量的基本定理，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
15、-1
【解析】
对的范围分类，利用流程图列方程即可得解．
【详解】
当时，由流程图得：
令，解得：，满足题意．
当时，由流程图得：
令，解得：，不满足题意．
故输入的值为：
本题主要考查了流程图知识，考查分类思想及方程思想，属于基础题．
16、
【解析】
设出点C的坐标，利用|AB|＝|AC|，建立方程，根据A，B，C三点构成三角形，则三点不共线且B，C不重合，即可求得结论．
【详解】
设点的坐标为，
则由得
，
化简得.
∵A，B，C三点构成三角形
∴三点不共线且B，C不重合
因此顶点的轨迹方程为.
故答案为
本题考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于基础题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），，；（2）猜想，证明见解析.
【解析】
（1）利用递推公式可计算出、、的值；
（2）根据数列的前四项可猜想出，然后利用数学归纳法即可证明出猜想成立.
【详解】
（1），，则，
，；
（2）猜想，下面利用数学归纳法证明.
假设当时成立，即，
那么当时，，
这说明当时，猜想也成立.
由归纳原理可知，.
本题考查利用数列递推公式写出数列中的项，同时也考查了利用数学归纳法证明数列通项公式，考查计算能力与推理能力，属于中等题.
18、（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）参变分离后可得在上恒成立，利用基本不等式可求的最小值，从而得到参数的取值范围.
（2）原不等式可化为，就对应方程的两根的大小关系分类讨论可得不等式的解集.
【详解】
（1）对任意的，恒成立即恒成立.
因为当时，（当且仅当时等号成立），
所以即.
（2）不等式，
即，
①当即时，；
②当即时，；
③当即时，.
综上：当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为.
含参数的一元二次不等式，其一般的解法是：先考虑对应的二次函数的开口方向，再考虑其判别式的符号，其次在判别式大于零的条件下比较两根的大小，最后根据不等号的方向和开口方向得到不等式的解．一元二次不等式的恒成立问题，参变分离后可以转化为函数的最值进行讨论，后者可利用基本不等式来求.
19、 (1)2；(2)
【解析】
（1）设，利用余弦定理列方程可得：，解方程即可
（2）利用（1）中结果即可判断为等边三角形，即可求得中边上的高为，再利用的面积是即可求得：，结合余弦定理可得：，再利用正弦定理可得：，问题得解
【详解】
（1）在中，设，则，
由余弦定理得：
即：
解之得：，即边的长为2.
（2）由（1）得为等边三角形，作于，

则
∴，故
在中，由余弦定理得：
∴在中，由正弦定理得：，即：
∴
∴
本题主要考查了利用正、余弦定理解三角形，还考查了三角形面积公式的应用及计算能力，属于中档题
20、（1）（2）
【解析】
分析：利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，(1)将代入，利用特殊角的三角函数可得的值；(2)利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递增区间.
详解：（Ⅰ）
=
=
=

（Ⅱ）由题可得，

函数的单调递增区间是
点睛：本题主要考查三角函数的单调性、三角函数的恒等变换，属于中档题.
函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.
21、（1）,,
（2），证明见详解.
【解析】
（1）由题意得,在中分别令可求结果；
（2）由数列前四项可猜想,运用数学归纳法可证明.
【详解】
解：（1）,
当时,,,
当时,,,
当时,,,
所以,,
（2）猜想下面用数学归纳法证明：
假设时,有成立,
则当时,有,

故对成立.
该题考查由数列递推式求数列的项、通项公式,考查数学归纳法,考查学生的运算求解能力.