武昌实验中学2024-2025学年数学高一第二学期期末质量检测模拟试题含解析.doc

武昌实验中学2024-2025学年数学高一第二学期期末质量检测模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知数列满足，，则数列的前10项和为（ ）
A． B． C． D．
2．在等差数列中，已知，则数列的前9项之和等于（ ）
A．9 B．18 C．36 D．52
3．已知，是平面，m，n是直线，则下列命题不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．已知直线与互相垂直，垂足坐标为，且，则的最小值为（ ）
A．1 B．4 C．8 D．9
5．函数在上的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．若直线上存在点满足则实数的最大值为
A． B． C． D．
7．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,则( )
A． B． C． D．
8．已知向量，，若，，则的最大值为( )
A． B． C．4 D．5
9．已知a＞0，x，y满足约束条件,若z=2x+y的最小值为1，则a=
A． B． C．1 D．2
10．如图所示的阴影部分是由轴及曲线 围成，在矩形区域 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知角的终边经过点，则的值为__________．
12．已知，若直线与直线垂直，则的最小值为_____
13．对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是____．
14．若函数图象各点的横坐标缩短为原来的一半，再向左平移个单位，得到的函数图象离原点最近的的对称中心是______．
15．在中，，点在边上，若，的面积为，则___________
16．不等式的解集为________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设数列 满足 ， ；数列的前 项和为 ，且
（1）求数列和的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 ．
18．某企业生产一种产品，质量测试分为：指标不小于为一等品；指标不小于且小于为二等品；指标小于为三等品。其中每件一等品可盈利元，每件二等品可盈利元，每件三等品亏损元。现对学徒甲和正式工人乙生产的产品各件的检测结果统计如下：
测试指标

甲

乙

根据上表统计得到甲、乙生产产品等级的频率分别估计为他们生产产品等级的概率。求：
（1）乙生产一件产品，盈利不小于元的概率；
（2）若甲、乙一天生产产品分别为件和件，估计甲、乙两人一天共为企业创收多少元？
（3）从甲测试指标为与乙测试指标为共件产品中选取件，求两件产品的测试指标差的绝对值大于的概率.
19．如右图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：

(1)A处与D处的距离；
(2)灯塔C与D处的距离．
20．在中，角所对的边分别为，且.
（1）求边长；
（2）若的面积为，求边长.
21．设，若存在，使得，且对任意，均有（即是一个公差为的等差数列），则称数列是一个长度为的“弱等差数列”.
（1）判断下列数列是否为“弱等差数列”，并说明理由.
①1，3，5，7，9，11；
②2，，，，.
（2）证明：若，则数列为“弱等差数列”.
（3）对任意给定的正整数，若，是否总存在正整数，使得等比数列：是一个长度为的“弱等差数列”？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
由判断出数列是等比数列，再求出，利用等比数列前项和公式求解即可.
【详解】
由，得 ，
所以数列是以为公比的等比数列，
又，所以，
由等比数列前项和公式，.
故选：C
本题主要考查等比数列的定义和等比数列前项和公式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题.
2、B
【解析】
利用等差数列的下标性质，可得出，再由等差数列的前项和公式求出的值.
【详解】
在等差数列中，
故选：B
本题考查了等差数列的下标性质、以及等差数列的前项和公式，考查了数学运算能力.
3、D
【解析】
由题意找到反例即可确定错误的选项.
【详解】
如图所示，在正方体中，

取直线m为，平面为，满足，
取平面为平面，则的交线为，
很明显m和n为异面直线，不满足，选项D错误；
如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，所以A正确；如果两个平面与同一条直线垂直，则这两个平面平行，所以B正确；由A选项和面面垂直的判定定理可得C也正确.
本题答案为D.
本题主要考查线面关系有关命题真假的判断，意在考查学生的转化能力和逻辑推理能力，属基础题.
4、B
【解析】
代入垂足坐标，可得，然后根据基本不等式，可得结果.
【详解】
由两条直线的交点坐标为
所以代入
可得，即
又，
所以
即
当且仅当，即时，取等号
故选：B
本题主要考查基本不等式，属基础题.
5、A
【解析】
利用函数的奇偶性和函数图像上的特殊点，对选项进行排除，由此得出正确选项.
【详解】
由于，所以函数为奇函数，图像关于原点对称，排除C选项.由于，所以排除D选项.由于，所以排除B选项.
故选：A.
本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性、特殊点，属于基础题.
6、B
【解析】
首先画出可行域，然后结合交点坐标平移直线即可确定实数m的最大值.
【详解】
不等式组表示的平面区域如下图所示，
由，得：，
即C点坐标为（－1，－2），
平移直线x＝m，移到C点或C点的左边时，直线上存在点在平面区域内，
所以，m≤－1，
即实数的最大值为－1.

本题主要考查线性规划及其应用，属于中等题.
7、B
【解析】
利用正弦定理边化角，结合和差公式以及诱导公式，即可得到本题答案.
【详解】
因为，所以，
，，，
，.
故选：B.
本题主要考查利用正弦定理边角转化求角，考查计算能力，属于基础题.
8、A
【解析】
设，由可得点的轨迹方程，再对两边平方，利用一元二次函数的性质求出最大值，即可得答案.
【详解】
设，，
∵，∴，
整理得：.
∵，
∴，
当时，的最大值为，
∴的最大值为.
故选：A.
本题考查向量模的最值、模的坐标运算、一元二次函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意坐标法的运用.
9、B
【解析】
画出不等式组表示的平面区域如图所示：

当目标函数z=2x+y表示的直线经过点A时，取得最小值，而点A的坐标为（1，），所以
，解得，故选B.
【考点定位】
本小题考查线性规划的基础知识，难度不大，线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考.
10、A
【解析】
，所以，故选A。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
按三角函数的定义，有.
12、8
【解析】
两直线斜率存在且互相垂直，由斜率乘积为-1求得等式，把目标式子化成，运用基本不等式求得最小值.
【详解】
设直线的斜率为，，
直线的斜率为，，
两条直线垂直，，整理得：，
，
等号成立当且仅当，的最小值为.
利用“1”的代换，转化成可用基本不等式求最值，考查转化与化归的思想.
13、
【解析】
分别在和两种情况下进行讨论，当时，根据二次函数图像可得不等式组，从而求得结果.
【详解】
①当，即时，不等式为：，恒成立，则满足题意
②当，即时，不等式恒成立则需：
解得：
综上所述：
本题正确结果：
本题考查不等式恒成立问题的求解，易错点是忽略不等式是否为一元二次不等式，造成丢根；处理一元二次不等式恒成立问题的关键是结合二次函数图象来得到不等关系，属于常考题型.
14、
【解析】
由二倍角公式化简函数式，然后由三角函数图象变换得新解析式，结合正弦函数性质得对称中心．
【详解】
由题意，经过图象变换后新函数解析式为，由，，，绝对值最小的是，因此所求对称中心为．
故答案为：．
本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数的性质，考查二倍角公式，掌握正弦函数性质是解题关键．
15、
【解析】
由，的面积为可以求解出三角形，再通过，我们可以得出(两三角形等高)再利用正弦形式表示各自面积，即能得出的值.
【详解】

，的面积为，
所以为等边三角形，又所以（等高），
又

所以填写2
已知三角形面积及一边一角，我们能把形成该角的另外一边算出，从而把三角形所有量都能计算出来（如果需要），求两角正弦值的比值，我们更多联想到正弦定理的公式，或面积公式.
16、
【解析】
因为所以，
即不等式的解集为.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），；（2）
【解析】
（1）分别利用累加法、数列的递推公式得到数列和数列 的通项公式．
（2）利用数列求和的错位相减即可得到数列 的前 项和 ．
【详解】
（1）
，……， ，
以上 个式子相加得：

当 时，
=

当 时， ，符合上式，

（2）
①
②
①-②得

已知 求数列的通项公式时，可采用累加法得到通项公式，通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式（等差等比数列相乘）的前 项和采用错位相减法．
18、 (1) ；(2) 元；(3)
【解析】
（1）设事件表示“乙生产一件产品，盈利不小于25元”，即该产品的测试指标不小于80，由此能求出乙生产一件产品，盈利不小于25元的概率．
（2）由表格知甲生产的一等品、二等品、三等品比例为即，所以甲一天生产30件产品，其中一等品有3件，二等品有21件，三等品有6件；由表格知乙生产的一等品、二等品、三等品比例为，所以乙一天生产20件产品，其中一等品有6件，二等品有12件，三等品有2件，由此能求出甲、乙两人一天共为企业创收1195元．
（3）设甲测试指标为，的7件产品用，，，，，，表示，乙测试指标为，的7件产品用，表示，利用列举法能求出两件产品的测试指标差的绝对值大于10的概率．
【详解】
（1）设事件表示“乙生产一件产品，盈利不小于元”，即该产品的测试指标不小于，则；
（2）甲一天生产件产品，其中一等品有件；二等品有件；
三等品有件；
甲一天生产件产品，其中一等品有件；二等品有件；
三等品有
，即甲、乙两人一天共为企业创收元；
（3）设甲测试指标为的件产品用，，，,表示，乙测试指标为的件产品用，表示，用（，且）表示从件产品中选取件产品的一个结果.
不同结果为，，，，，，，，
，，，，，，，，，
，，，，，共有36个不同结果.
设事件表示“选取的两件产品的测试指标差的绝对值大于”，即从甲、乙生产的产品中各取件产品，不同的结果为，，，，，，，，，，，，，，共有个不同结果.
则.
本题主要考查古典概型概率的求法，即按照古典概型的概率计算公式分别求出基本事件总数以及有利事件数即可算出概率，以及列举法和随机抽样的应用．
19、（1）24；（2）8
【解析】
（1）利用已知条件，利用正弦定理求得AD的长．
（2）在△ADC中由余弦定理可求得CD，答案可得．
【详解】
(1) 在△ABD中，由已知得∠ADB=60°，B=45°
由正弦定理得

(2) 在△ADC中，由余弦定理得CD2=AD2+AC2﹣2AD•ACcos30°，解得CD=．
所以A处与D处之间的距离为24nmile，灯塔C与D处之间的距离为nmile．
点睛：解三角形应用题的一般步骤
(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
20、（1）；（2）.
【解析】
试题分析：本题主要考查正弦定理、余弦定理、特殊角的三角函数值、三角形面积公式等基础知识，同时考查考生的分析问题解决问题的能力和运算求解能力. 第一问，利用正弦定理将边换成角，消去，解出角C，再利用解出边b的长；第二问，利用三角形面积公式，可直接解出a边的值，再利用余弦定理解出边c的长.
试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得，
又，所以，．
因为，所以． …6分
（Ⅱ）因为，，所以．
据余弦定理可得，所以． …12分
考点：正弦定理、余弦定理、特殊角的三角函数值、三角形面积公式.
21、（1）①是，②不是,理由见解析
（2）证明见解析
（3）存在，证明见解析
【解析】
（1）①举出符合条件的具体例子即可；②反证法推出矛盾；
（2）根据题意找出符合条件的为等差数列即可；
（3）首先，根据，将公差表示出来，计算任意相邻两项的差值可以发现不大于．那么用裂项相消的方法表示出，结合相邻两项差值不大于可以得到，接下来，只需证明存在满足条件的即可．用和公差表示出，并展开可以发现多项式的最高次项为，而已知，因此在足够大时显然成立．结论得证.
【详解】
解：（1）数列①：1，3，5，7，9，11是“弱等差数列”
取分别为1，3，5，7，9，11，13即可；
数列②2，，，，不是“弱等差数列”
否则，若数列②为“弱等差数列”，则存在实数构成等差数列，设公差为，
，
，
又
与矛盾，
所以数列②2，，，，不是“弱等差数列”；
（2）证明：设，
令，取，则，
则，

，
，
就有，命题成立．
故数列为“弱等差数列”；
（3）若存在这样的正整数，使得
成立．
因为，，
则，其中待定．

从而，

又，
∴当时，总成立．
如果取适当的，使得，又有

所以，有
，
为使得，需要，
上式左侧展开为关于的多项式，最高次项为，其次数为，
故，对于任意给定正整数，当充分大时，上述不等式总成立，
即总存在满足条件的正整数，使得等比数列：是一个长度为的“弱等差数列”.
本题要求学生能够从已知分析出“弱等差数列”要想成立所应该具备的要求，进而进行推理，转化，最后进行验证，本题难度相当大.