2025年湖南省衡阳县江山中英文学校高一数学第二学期期末统考模拟试题含解析.doc

2025年湖南省衡阳县江山中英文学校高一数学第二学期期末统考模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．直线xy+1=0的倾斜角是（　　）
A．30° B．60°
C．120° D．150°
2．某校统计了1000名学生的数学期末考试成绩，已知这1000名学生的成绩均在50分到150分之间，其频率分布直方图如图所示，则这1000名学生中成绩在130分以上的人数为（ ）

A．10 B．20 C．40 D．60
3．函数的部分图像如图所示，则的值为（ ）

A．1 B．4 C．6 D．7
4．定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为( )
A． B． C． D．
5．如图，在正方体中，，分别是，中点，则异面直线与所成的角是（ ）

A． B． C． D．
6．若，则的坐标是　( )
A． B． C． D．
7．函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
8．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的部分图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
9．若，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在等比数列中，，，则______________.
12．已知数列满足，，，则__________．
13．在等差数列中，，，则的值为_______.
14．如图，为内一点，且，延长交于点，若，则实数的值为_______.

15．计算：______．
16．把函数的图象向左平移个单位长度，所得图象正好关于原点对称，则的最小值为________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数
（1）求函数的反函数；
（2）解方程：.
18．记为等差数列的前项和，已知.
（1）求的通项公式
（2）求，并求的最小值
19．已知函数 .
（1）求的最小正周期及单调递增区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值．
20．如图，在斜三棱柱中，侧面是边长为的菱形，平面，，点在底面上的射影为棱的中点，点在平面内的射影为

证明：为的中点：
求三棱锥的体积
21．已知函数的定义域为R
（1）求的取值范围；
（2）若函数的最小值为，解关于的不等式。
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
首先求出直线的斜率，由倾斜角与斜率的关系即可求解.
【详解】
直线xy+1=0的斜率，
设其倾斜角为θ（0°≤θ<180°），
则tan，
∴θ=150°
故选：D
本题考查直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题.
2、C
【解析】
由频率分布直方图求出这1000名学生中成绩在130分以上的频率，由此能求出这1000名学生中成绩在130分以上的人数．
【详解】
由频率分布直方图得这1000名学生中成绩在130分以上的频率为：
，
则这1000名学生中成绩在130分以上的人数为人．
故选：．
本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3、C
【解析】
根据是零点以及的纵坐标值，求解出的坐标值，然后进行数量积计算.
【详解】
令，且是第一个零点，则；令，是轴右侧第一个周期内的点，所以，则；则，，则.选C.
本题考查正切型函数以及坐标形式下向量数量积的计算，难度较易. 当已知，则有.
4、B
【解析】
分析：要求，则必须用来求解，通过奇偶性和周期性，将变量转化到区间上，再应用其解析式求解
详解：的最小正周期是

是偶函数
，
当时，，
则
故选
点睛：本题是一道关于正弦函数的题目，掌握正弦函数的周期性是解题的关键，考查了函数的周期性和函数单调性的性质．
5、D
【解析】

如图，平移直线到，则直线与直线所成角，由于点都是中点，所以，则，而，所以，即，应选答案D．
6、C
【解析】
，
.
故选C.
7、C
【解析】
分别将选项中的区间端点值代回,利用零点存在性定理判断即可
【详解】
由题函数单调递增,,,则,
故选:C
本题考查利用零点存在性定理判断零点所在区间,属于基础题
8、D
【解析】
根据函数的性质以及特殊位置即可利用排除法选出正确答案．
【详解】
因为函数定义域为，关于原点对称，而，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A，C；又因为，故排除B．
故选：D．
本题主要考查函数图象的识别，涉及余弦函数性质的应用，属于基础题．
9、B
【解析】
根据题意，得出，利用基本不等式，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，因为，
则
当且仅当且即时取得最小值.
故选B．
本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中合理化简，熟练应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
10、A
【解析】
由题意可得该女子每天织布的尺数构成一个等比数列，且数列的公比为2，由题意求出数列的首项后可得第3天织布的尺数．
【详解】
由题意可得该女子每天织布的尺数构成一个等比数列，且数列的公比为2，前5项的和为5，
设首项为，前n项和为，
则由题意得，
∴，
∴，
即该女子第3天所织布的尺数为．
故选A．
本题以中国古文化为载体考查等比数列的基本运算，解题的关键是正确理解题意，将问题转化成等比数列的知识求解，考查阅读理解和转化、计算能力．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、1
【解析】
根据已知两项求出数列的公比，然后根据等比数列的通项公式进行求解即可．
【详解】
∵a1＝1，a5＝4
∴公比
∴
∴该等比数列的通项公式a3＝11＝1
故答案为：1．
本题主要考查了等比数列的通项公式，一般利用基本量的思想，属于基础题．
12、-2
【解析】
根据题干中所给的表达式得到数列的周期性，进而得到结果.
【详解】
根据题干表达式得到

可以得数列具有周期性，周期为3，故得到
故得到
故答案为：-2.
这个题目考查了求数列中的某些项，一般方法是求出数列通项，对于数列通项不容易求的题目，可以列出数列的一些项，得到数列的周期或者一些其它规律，进而得到数列中的项.
13、.
【解析】
设等差数列的公差为，根据题中条件建立、的方程组，求出、的值，即可求出的值.
【详解】
设等差数列的公差为，所以，解得，
因此，，故答案为：.
本题考查等差数列的项的计算，常利用首项和公差建立方程组，结合通项公式以及求和公式进行计算，考查方程思想，属于基础题.
14、
【解析】
由，得，可得出，再利用、、三点共线的向量结论得出，可解出实数的值.
【详解】
由，得，可得出，
由于、、三点共线，，解得，故答案为.
本题考查三点共线问题的处理，解题的关键就是利用三点共线的向量等价条件的应用，考查运算求解的能力，属于中等题.
15、
【解析】
在分式的分子和分母中同时除以，然后利用常见的数列极限可计算出所求极限值.
【详解】
.
故答案为：.
本题考查数列极限的计算，熟悉一些常见数列极限是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.
16、
【解析】
根据条件先求出平移后的函数表达式为，令即可得解.
【详解】
由题意可得平移后的函数表达式为，
图象正好关于原点对称，
即，
又 ，的最小值为.
故答案为：.
本题考查了函数图像的平移以及三角函数的图像与性质，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
（1）反解，然后交换的位置，写出原函数的值域即可得到结果；
（2）代入原函数与反函数的解析式，解方程即可得到答案.
【详解】
（1）由得，得，
因为，所以，
所以.
（2）由得2，
所以，即，解得，所以 ，
所以原方程的解集为.
本题考查了求反函数的解析式，考查了指数式与对数式的互化，属于中档题.
18、 (1) ；(2) ，最小值.
【解析】
（1）设等差数列的公差为，根据题意求出，进而可得出通项公式；
（2）根据等差数列的前项和公式先求出，再由得到范围，进而可得出结果.
【详解】
（1）因为数列为等差数列，设公差为，
由可得，即，
所以；
（2）因为为等差数列的前项和，
所以，
由得，
所以当时，取最小值，且最小值为.
本题主要考查等差数列，熟记通项公式以及前项和公式即可，属于常考题型.
19、（1）；单调递增区间为：；（2）最大值；最小值.
【解析】
（1）先将函数化简整理，得到，由得到最小正周期；根据正弦函数的对称轴，即可列式，求出对称轴；
（2）先由，得到，根据正弦函数的性质，即可得出结果.
【详解】
（1）因为
，
所以最小正周期为：；
由得，
即单调递增区间是：；
（2）因为，所以，
因此，
当即时，取最小值；
当即时，取最大值；
本题主要考查正弦型三角函数的周期、对称轴，以及给定区间的最值问题，熟记正弦函数的性质，以及辅助角公式即可，属于常考题型.
20、（1）详见解析（2）
【解析】
（1）先证平面平面，说明平面且，根据菱形的性质即可说明为的中点．
（2）根据，即求出即可．
【详解】
（1）证明：因为面，平面，

所以平面平面；交线为过作，则平面，又是菱形，，所以为的中点
（2）由题意平面

本题考查面面垂直的性质定理，利用等体积转换法求三棱锥的体积，属于基础题．
21、（1）；（2）
【解析】
（1）由的定义域为可知，，恒成立，即可求出的范围.
（2）结合的范围，运用配方法，即可求出的值，进而求解不等式.
【详解】
（1）由已知可得对，恒成立，
当时，恒成立。
当时，则有，解得，
综上可知，的取值范围是[0，1]
（2）
由（1）可知的取值范围是[0，1]
显然，当时，，不符合.
所以，，，
由题意得，，，
可化为，解得，
不等式的解集为。
主要考查了一元二次不等式在上恒成立求参数范围，配方法以及一元二次不等式求解问题，属于中档题.对任意实数恒成立的条件是；而任意实数恒成立的条件是.