2025年江西省横峰中学数学高一下期末统考试题含解析.doc

2025年江西省横峰中学数学高一下期末统考试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知角、是的内角，则“”是“”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．设变量、满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
3．已知数列满足递推关系，则（ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，过点的直线与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于两点，则的面积的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．己知中，角所对的边分別是.若，则=( )
A． B．1 C．2 D．
6．已知点，为坐标原点，分别在线段上运动，则的周长的最小值为( )
A． B． C． D．
7．从某健康体检中心抽取了8名成人的身高数据（单位：厘米），数据分别为172，170，172，166，168，168，172，175，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．171 172 B．170 172 C．168 172 D．170 175
8．数列{an}的通项公式an＝，若{an}前n项和为24，则n为( )．
A．25 B．576 C．624 D．625
9．已知向量，.且，则（ ）
A．2 B． C． D．
10．在钝角中，角的对边分别是，若，则的面积为
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知向量，且，则___________．
12．己知为数列的前项和，且，则_____．
13．数列的前项和为，已知，且对任意正整数，都有，若恒成立，则实数的最小值为________.
14．已知均为正数，则的最大值为______________.
15．如图，正方体的棱长为2，点在正方形的边界及其内部运动，平面区域由所有满足的点组成，则的面积是__________．

16．直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为 ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设函数
（1）若对于一切实数恒成立，求的取值范围；
（2）若对于恒成立，求的取值范围.
18．现有8名奥运会志愿者，其中志愿者通晓日语，通晓俄语，通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．
（1）求被选中的概率；
（2）求和不全被选中的概率．
19．直线的方程为.
(1)若在两坐标轴上的截距相等，求的值；
(2)若不经过第二象限，求实数的取值范围.
20．在中，求的值.
21．设函数和都是定义在集合上的函数，对于任意的，都有成立，称函数与在上互为“互换函数”．
（1）函数与在上互为“互换函数”，求集合；
（2）若函数 （且）与在集合上互为“互换函数”，求证：；
（3）函数与在集合且上互为“互换函数”，当时,，且在上是偶函数,求函数在集合上的解析式．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断
【详解】
在三角形中，根据大边对大角原则，若，则，由正弦定理得，充分条件成立；
若，由可得，根据大边对大角原则，则，必要条件成立；
故在三角形中，“”是“”的充要条件
故选：C
本题考查充分条件与必要条件的应用，利用正弦定理确定边角关系，三角形大边对大角原则应谨记，属于基础题
2、D
【解析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.
【详解】
画出满足约束条件的可行域，如图，

画出可行域，，，，
平移直线，
由图可知，直线经过时
目标函数有最大值，
的最大值为9.
故选D.
本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
3、B
【解析】
两边取倒数，可得新的等差数列，根据等差数列的通项公式，可得结果.
【详解】
由，所以
则，又，所以
所以数列是以2为首项，1为公比的等差数列
所以，则
所以
故选：B
本题主要考查由递推公式得到等差数列，难点在于取倒数，学会观察，属基础题.
4、B
【解析】
利用直线的方程过点分别与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于两点，
可得：，，结合基本不等式的性质即可得出.
【详解】
在平面直角坐标系中，过点的直线
与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于两点，且构成，
所以，直线斜率一定存在，
设，，
：，，
则有： ，，
解得，当且仅当：，即时，等号成立，
的面积为：.
故选：B
本题考查了直线的截距式方程、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.
5、B
【解析】
由正弦定理可得．
【详解】
∵，∴．
故选B．
本题考查正弦定理，解题时直接应用正弦定理可解题，本题属于基础题．
6、C
【解析】
分别求出设关于直线对称的点，关于对称的点，当共线时，的周长取得最小值，为，利用两点间的距离公式，求出答案.
【详解】
过两点的直线方程为
设关于直线对称的点，
则，解得
即，
同理可求关于对称的点，
当共线时的周长
取得最小值为.
故选C．
本题主要考查了点关于直线的对称性的简单应用，试题的技巧性较强，属于中档题.
7、A
【解析】
由中位数和众数的定义，即可得到本题答案.
【详解】
把这组数据从小到大排列为166，168，168，170，172，172，172，175，则中位数为，众数为172.
故选：A
本题主要考查中位数和众数的求法.
8、C
【解析】
an＝＝－()，前n项和Sn＝－[(1－)＋(－)]＋…＋()]＝－1＝24，故n＝624.故选C.
9、B
【解析】
通过得到，再利用和差公式得到答案.
【详解】
向量，.且

故答案为B
本题考查了向量平行，正切值的计算，意在考查学生的计算能力.
10、A
【解析】
根据已知求出b的值，再求三角形的面积.
【详解】
在中，，
由余弦定理得：，
即，
解得：或.
∵是钝角三角形，∴（此时为直角三角形舍去）.
∴的面积为.
故选A.
本题主要考查余弦定理解三角形和三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
把平方，将代入，化简即可得结果.
【详解】
因为，
所以，
，故答案为.
本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.
12、
【解析】
根据可知，得到数列为等差数列；利用等差数列前项和公式构造方程可求得；利用等差数列通项公式求得结果.
【详解】
由得：，即：
数列是公差为的等差数列
又 ，解得：

本题正确结果：
本题考查等差数列通项公式、前项和公式的应用，关键是能够利用判断出数列为等差数列，进而利用等差数列中的相关公式来进行求解.
13、
【解析】
令，可得是首项为，公比为的等比数列，所以，，实数的最小值为，故答案为.
14、
【解析】
根据分子和分母的特点把变形为，运用重要不等式，可以求出的最大值.
【详解】
（当且仅当
且时取等号）,
（当且仅当且时取等号），因此的最大值为.
本题考查了重要不等式，把变形为是解题的关键.
15、
【解析】
,所以点平面区域是底面内以为圆心，以1为半径的外面区域, 则的面积是
16、
【解析】
试题分析：画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值．
解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，
M，N分别是A1B1，A1C1的中点，
如图：BC的中点为O，连结ON，MN，OB，
∴MNOB，∴MN0B是平行四边形，∴BM与AN所成角就是∠ANO，
∵BC=CA=CC1，
设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，
MB==，
在△ANO中，由余弦定理得：cos∠ANO=
==．
故答案为．

考点：异面直线及其所成的角．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】
（1）由不等式恒成立，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解；
（2）要使对于恒成立，整理得只需恒成立，结合基本不等式求得最值，即可求解.
【详解】
（1）由题意，要使不等式恒成立，
①当时，显然成立，所以时，不等式恒成立；
②当时，只需，解得，
综上所述，实数的取值范围为.
（2）要使对于恒成立，
只需恒成立，
只需，
又因为，
只需，
令，则只需即可
因为，当且仅当，即时等式成立；
因为，所以，所以.
本题主要考查了含参数的不等式的恒成立问题的求解，其中解答中把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及转化思想的应用，属于基础题.
18、（1）;（2）.
【解析】
（1）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间
{，，
，，，
，，，
}
由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，
因此这些基本事件的发生是等可能的．用表示“恰被选中”这一事件，则
{，
}
事件由6个基本事件组成，因而．
（2）用表示“不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“全被选中”这一事件，
由于{}，事件有3个基本事件组成，
所以，由对立事件的概率公式得．
19、 (1) 0或2；(2) .
【解析】
（1）当过坐标原点时，可求得满足题意；当不过坐标原点时，可根据直线截距式，利用截距相等构造方程求得结果；（2）当时，可得直线不经过第二象限；当时，结合函数图象可知斜率为正，且在轴截距小于等于零，从而构造不等式组求得结果.
【详解】
（1）当过坐标原点时，，解得：，满足题意
当不过坐标原点时，即时
若，即时，，不符合题意
若，即时，方程可整理为：
，解得：
综上所述：或
（2）当，即时，，不经过第二象限，满足题意
当，即时，方程可整理为：
，解得：
综上所述：的取值范围为：
本题考查直线方程的应用，涉及到直线截距式方程、由图象确定参数范围等知识；易错点是在截距相等时，忽略经过坐标原点的情况，造成丢根.
20、
【解析】
由
即，
解得：（因为舍去）或.
21、（1）（2）见解析（3），
【解析】
（1）利用列方程，并用二倍角公式进行化简，求得或，进而求得集合.
（2）由，得（且），化简后根据的取值范围，求得的取值范围.
（3）首先根据为偶函数，求得当时，的解析式，从而求得当时，的解析式.依题意“当，恒成立”，化简得到，根据函数解析式的求法，求得时，以及，进而求得函数在集合上的解析式.
【详解】
（1）由得
化简得，，所以或．
由解得或，，
即或，．
又由解得 ，．
所以集合，或，
即集合．
（2）证明：由，得（且）．
变形得 ，所以．
因为，则 ，所以 ．
（3）因为函数在上是偶函数，则 ．当，则，所以．所以 ，
因此当时，．
由于与函数在集合上“互换函数”，
所以当，恒成立．
即对于任意的恒成立．
即．
于是有，
，．
上述等式相加得 ，即．
当（）时,，
所以 ．
而，，
所以当时，
，
本小题主要考查新定义函数的理解和运用，考查二倍角公式和特殊角的三角函数值，考查指数运算和指数函数的值域，考查根据函数的奇偶性求函数的解析式，考查化归与转化的数学思想方法，考查分析、思考与解决问题的能力，属于难题.