2025届云南省马关县第二中学数学高一第二学期期末检测模拟试题含解析.doc

2025届云南省马关县第二中学数学高一第二学期期末检测模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在中，若，则的形状是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
2．在数列中，，且数列是等比数列，其公比，则数列的最大项等于（ ）
A． B． C．或 D．
3．设和分别表示函数的最大值和最小值，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．直线与直线垂直，则的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
5．已知.为等比数列的前项和，若，，则( )
A．31 B．32 C．63 D．64
6．不等式 的解集为( )
A．(-4，1) B．(-1，4)
C．(-∞，-4)∪(1，+∞) D．(-∞，-1)∪(4,+∞）
7．中,在上, ,是上的点, ,则m的值（ ）
A． B． C． D．
8．在中，，，，则=（ ）
A． B．
C． D．
9．已知网格纸的各个小格均是边长为一个单位的正方形，一个几何体的三视图如图中粗线所示，则该几何体的表面积为（ ）

A． B． C． D．
10．设，函数在区间上是增函数，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．某产品分为优质品、合格品、次品三个等级，生产中出现合格品的概率为0.25，出现次品的概率为0.03，在该产品中任抽一件，则抽到优质品的概率为__________．
12．已知三棱锥的底面是腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长都等于，则其外接球的体积为______.
13．实数2和8的等比中项是__________．
14．已知等边，为中点，若点是所在平面上一点，且满足，则__________.
15．若锐角满足则______.
16．当函数取得最大值时，=__________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件；若做广告宣传，广告费为n千元比广告费为千元时多卖出件。
（1）试写出销售量与n的函数关系式；
（2）当时，厂家应该生产多少件产品，做几千元的广告，才能获利最大？
18．已知向量，，且
（1）求·及；
（2）若，求的最小值
19．从全校参加科技知识竞赛初赛的学生试卷中，抽取一个样本，考察竞赛的成绩分布.将样本分成5组，绘成频率分布直方图（如图），图中从左到右各小组的小长方形的高之比是，最后一组的频数是6.请结合频率分布直方图提供的信息，解答下列问题：

（1）样本的容量是多少?
（2）求样本中成绩在分的学生人数；
（3）从样本中成绩在90.5分以上的同学中随机地抽取2人参加决赛，求最高分甲被抽到的概率.
20．已知函数，其中.
（1）若函数在区间内有一个零点，求的取值范围；
（2）若函数在区间上的最大值与最小值之差为2，且,求的取值范围.
21．已知数列满足，且（，且）.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式
（3）设数列的前项和，求证：.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
，两种情况对应求解.
【详解】

所以或
故答案选D
本题考查了诱导公式，漏解是容易发生的错误.
2、C
【解析】
在数列中，，，且数列是等比数列，其公比，利用等比数列的通项公式可得：．可得，利用二次函数的单调性即可得出．
【详解】
在数列中，，，且数列是等比数列，其公比，
．

，
．
由或8时，，
或9时，，
数列的最大项等于或．
故选：C.
本题考查等比数列的通项公式、累乘法、二次函数的单调性，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
3、C
【解析】
根据余弦函数的值域，确定出的最大值和最小值，即可计算出的值.
【详解】
因为的值域为，
所以的最大值，
所以的最小值，
所以.
故选：C.
本题考查余弦型函数的最值问题，难度较易.求解形如的函数的值域，注意借助余弦函数的有界性进行分析.
4、A
【解析】
根据两条直线垂直的条件列方程，解方程求得的值.
【详解】
由于直线与直线垂直，所以，解得.
故选：A
本小题主要考查两条直线垂直的条件，属于基础题.
5、C
【解析】
首先根据题意求出和的值，再计算即可.
【详解】
有题知：，解得，
.
故选：C
本题主要考查等比数列的性质以及前项和的求法，属于简单题.
6、A
【解析】
将原不等式化简并因式分解，由此求得不等式的解集.
【详解】
原不等式等价于，即，解得.
故选A.
本小题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
7、A
【解析】

由题意得：

则
故选
8、C
【解析】
根据正弦定理,代入即可求解.
【详解】
因为中,,,
由正弦定理可知
代入可得
故选:C
本题考查了正弦定理在解三角形中的应用,属于基础题.
9、B
【解析】
根据三视图还原几何体即可．
【详解】
由三视图可知，该几何体为一个圆柱内切了一个圆锥，圆锥侧面积为，圆柱上底面积为，圆柱侧面积为，．所以选择B
本题主要考查了三视图，根据三视图还原几何体常用的方法有：在正方体或者长方体中切割．属于中等题．
10、C
【解析】
首先比较自变量与的大小，然后利用单调性比较函数值与的大小.
【详解】
因为，
函数在区间上是增函数，
所以.故选C.
已知函数单调性比较函数值大小，可以借助自变量的大小来比较函数值的大小.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、0.72
【解析】
根据对立事件的概率公式即可求解.
【详解】
由题意，在该产品中任抽一件，“抽到优质品”与“抽到合格品或次品”是对立事件，
所以在该产品中任抽一件，则抽到优质品的概率为.
故答案为
本题主要考查对立事件的概率公式，熟记对立事件的概念及概率计算公式即可求解，属于基础题型.
12、
【解析】
先判断球心在上，再利用勾股定理得到半径，最后计算体积.
【详解】
三棱锥的底面是腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长都等于
为中点，为外心，连接，

平面
球心在上
设半径为
故答案为

本题考查了三棱锥外接球的体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
13、
【解析】
所求的等比中项为： .
14、0
【解析】
利用向量加、减法的几何意义可得，再利用向量数量积的定义即可求解.
【详解】
根据向量减法的几何意义可得：,
即,
所以
.
故答案为：0
本题考查了向量的加、减法的几何意义以及向量的数量积，属于基础题.
15、
【解析】
由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，利用两角差的余弦公式即可计算得解．
【详解】
、为锐角，，
，，
，，
．
故答案为：．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
16、
【解析】
利用辅助角将函数利用两角差的正弦公式进行化简，求得函数取得最大值时的与的关系，从而求得，，可得结果.
【详解】
因为函数，其中，，当时，函数取得最大值，此时，∴，，
∴
故答案为
本题考查了两角差的正弦公式的逆用，着重考查辅助角公式的应用与正弦函数的性质，属于中档题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)(2)
【解析】
试题分析：
(1)根据若做广告宣传，广告费为n千元比广告费为千元时多卖出件，可得，利用叠加法可求得.
(2)根据题意在时,利润,可利用求最值.
试题解析：
（1）设表示广告费为0元时的销售量，由题意知
，
由叠加法可得
即为所求。
（2）设当时，获利为元，
由题意知，，
欲使最大，则，易知，此时.
考点：叠加法求通项,求最值.
18、（1）见解析；
（2）.
【解析】
（1）运用向量数量积的坐标表示，求出·；
运用平面向量的坐标运算公式求出，然后求出模．
（2）根据上（1）求出函数的解析式，配方，利用二次函数的性质求出最小值．
【详解】
（1）

∵∴∴
（2）
∵∴∴
本题考查了平面向量数量积的坐标表示，以及平面向量的坐标加法运算公式．重点是二次函数求最小值问题．
19、（1）48；（2）30；（3）
【解析】
（1）设样本容量为，列方程求解即可；
（2）根据比例列式求解即可；
（3）根据比例得成绩在90.5分以上的同学有6人，抽取2人参加决赛，列举出总的基本事件个数，然后列举出最高分甲被抽到的基本事件个数，根据概率公式可得结果.
【详解】
解：（1）设样本容量为，则，
解得，
所以样本的容量是48；
（2）样本中成绩在分的学生人数为：人；
（3）样本中成绩在90.5分以上的同学有人，
设这6 名同学分别为，其中就是甲，
从这6 名同学中随机地抽取2人参加决赛有：
共15个基本事件，
其中最高分甲被抽到的有共5个基本事件，
则最高分甲被抽到的概率为.
本题考查频率，频数，样本容量间的关系，考查古典概型的概率公式，重点是列举出总的基本事件和满足题目要求的基本事件，是基础题.
20、（1）；（2）.
【解析】
（1）解方程的根，则根在区间内，即可求出的范围即可；
（2）根据函数的单调性求出最大，最小，作差得，从而得到关于的不等式，解出即可．
【详解】
（1）由，得，由得：，
所以的范围是.
（2）在递增，，
，
，
，
由，得，
，
解得：．
本题考查对数函数的性质、函数的单调性、最值等问题，考查转化与化归思想，求解过程中要会灵活运用换元法进行问题解决．
21、（1）详见解析；（2）；（3）详见解析.
【解析】
（1）用定义证明得到答案.
（2）推出
（3）利用错位相减法和分组求和法得到，再证明不等式.
【详解】
解：（1）由，得，即.
∴数列是以为首项，1为公差的等差数列.
（2）∵数列是以为首项，1为公差的等差数列，
∴，∴.
（3）

.
∴，
∴.
本题考查了等差数列的证明，分组求和法，错位相减法，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.