2025届江苏省扬州、泰州、淮安、南通、徐州、宿迁、连云港市数学高一第二学期期末达标测试试题含解析.doc

2025届江苏省扬州、泰州、淮安、南通、徐州、宿迁、连云港市数学高一第二学期期末达标测试试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知圆，圆，分别为圆上的点，为轴上的动点，则的最小值为( )
A． B． C． D．
2．将函数的图象向左平移个长度单位后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
3．如图是某地某月1日至15日的日平均温度变化的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是（　　）

A．这15天日平均温度的极差为
B．连续三天日平均温度的方差最大的是7日，8日，9日三天
C．由折线图能预测16日温度要低于
D．由折线图能预测本月温度小于的天数少于温度大于的天数
4．已知函数的最小正周期是，其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数.有下列结论：
①函数的图象关于点对称；②函数的图象关于直线对称；③函数在上是减函数；④函数在上的值域为.
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．设x、y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最大值为（　 　）
A．0 B．0.5 C．1 D．2
6．若点在圆外，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
7．如图，正方体中，异面直线与所成角的正弦值等于　　

A． B． C． D．1
8． (2015新课标全国I理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有

A．14斛 B．22斛
C．36斛 D．66斛
9．已知则的最小值是 (　 　)
A． B．4 C． D．5
10．已知,,则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知变量和线性相关，其一组观测数据为，由最小二乘法求得回归直线方程为.若已知，则______.
12．已知则sin2x的值为________.
13．已知，则______.
14．用秦九韶算法求多项式当时的值的过程中：，__．
15．若向量，，且，则实数______.
16．在直角坐标系中，直线与直线都经过点，若，则直线的一般方程是_____.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知集合.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若集合，写出集合的所有子集.
18．已知圆C的圆心为(1，1)，直线与圆C相切.
（1）求圆C的标准方程；
（2）若直线过点(2，3)，且被圆C所截得的弦长为2，求直线的方程.
19．已知等差数列满足，的前项和为.
（1）求及；
（2）记，求
20．已知点，，曲线任意一点满足.
(1)求曲线的方程；
(2)设点，问是否存在过定点的直线与曲线相交于不同两点，无论直线如何运动，轴都平分，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由.
21．（
已知函数.
（I）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
（II）若,求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
求出圆关于轴的对称圆的圆心坐标A，以及半径，然后求解圆A与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即可求得的最小值，得到答案．
【详解】
如图所示，圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为1，
圆的圆心坐标为,，半径为3，
由图象可知，当三点共线时，取得最小值，
且的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径之和，
即，
故选D．

本题主要考查了圆的对称圆的方程的求解，以及两个圆的位置关系的应用，其中解答中合理利用两个圆的位置关系是解答本题的关键，着重考查了数形结合法，以及推理与运算能力，属于基础题．
2、B
【解析】
试题分析：由题意得，，令，可得函数的图象对称轴方程为，取是轴右侧且距离轴最近的对称轴，因为将函数的图象向左平移个长度单位后得到的图象关于轴对称，的最小值为，故选B．
考点：两角和与差的正弦函数及三角函数的图象与性质．
【方法点晴】
本题主要考查了两角和与差的正弦函数及三角函数的图象与性质，将三角函数图象向左平移个单位，所得图象关于轴对称，求的最小值，着重考查了三角函数的化简、三角函数图象的对称性等知识的灵活应用，本题的解答中利用辅助角公式，化简得到函数,可取出函数的对称轴，确定距离最近的点，即可得到结论．
3、B
【解析】
利用折线图的性质，结合各选项进行判断，即可得解．
【详解】
由某地某月1日至15日的日平均温度变化的折线图，得：
在中，这15天日平均温度的极差为：，故错误；
在中，连续三天日平均温度的方差最大的是7日，8日，9日三天，故正确；
在中，由折线图无法预测16日温度要是否低于，故错误；
在中，由折线图无法预测本月温度小于的天数是否少于温度大于的天数，故错误．
故选．
本题考查命题真假的判断，考查折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是基础题．
4、C
【解析】
根据函数最小正周期可求得,由函数图象平移后为奇函数,可求得,即可得函数的解析式.再根据正弦函数的对称性判断①②,利用函数的单调区间判断③,由正弦函数的图象与性质判断④即可.
【详解】
函数的最小正周期是
则,即
向右平移个单位可得
由为奇函数,可知
解得
因为
所以当时,
则
对于①,当时,代入解析式可得,即点不为对称中心,所以①错误;
对于②,当时带入的解析式可得,所以函数的图象关于直线对称,所以②正确;
对于③, 的单调递减区间为
解得
当时,单调递减区间为,
而,所以函数在上是减函数,故③正确;
对于④,当时, 由正弦函数的图像与性质可知,
,故④正确.
综上可知,正确的为②③④
故选:C
本题考查根据三角函数性质和平移变换求得解析式,再根据正弦函数的图像与性质判断选项,属于基础题.
5、C
【解析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【详解】
由约束条件作出可行域如图，

联立，解得A（2，3），
化目标函数z＝2x﹣y为y＝2x﹣z，由图可知，当直线y＝2x﹣z过A时，
直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2×2﹣3＝1．
故选：C．
【点评】
本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
6、C
【解析】
先由表示圆可得，然后将点代入不等式即可解得答案
【详解】
由表示圆可得
，即
因为点在圆外
所以，即
综上：a的取值范围是
故选：C
点与圆的位置关系
（1）在圆外
（2）在圆上
（3）在圆内
7、D
【解析】
由线面垂直的判定定理得：，又，所以面，由线面垂直的性质定理得：，即可求解．
【详解】
解：连接，

因为四边形为正方形，所以，又，
所以面，
所以，
所以异面直线与所成角的正弦值等于1，故选D．
本题考查了线面垂直的判定定理及性质定理，属中档题．
8、B
【解析】
试题分析：设圆锥底面半径为r，则，所以，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B.
考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式
9、C
【解析】
由题意结合均值不等式的结论即可求得的最小值，注意等号成立的条件.
【详解】
由题意可得：

，
当且仅当时等号成立.
即的最小值是.
故选：C.
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
10、D
【解析】
由题意可得，即，则，所以，即，也即，所以，应选答案D．
点睛：解答本题的关键是借助题设中的条件获得，进而得到，求得，从而求出使得问题获解．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、355
【解析】
根据回归直线必过样本点的中心，根据横坐标结合回归方程求出纵坐标即可得解.
【详解】
由题：，回归直线方程为，
所以，
.
故答案为：355
此题考查根据回归直线方程求样本点的中心的纵坐标，关键在于掌握回归直线必过样本点的中心，根据平均数求解.
12、
【解析】
利用二倍角的余弦函数公式求出的值，再利用诱导公式化简，将的值代入计算即可求出值．
【详解】
解：∵，，
则sin2x＝=，
故答案为.
此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．
13、
【解析】
利用同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得.
【详解】
解：，

故答案为：
本题考查同角三角函数的基本关系，齐次式的计算，属于基础题.
14、1
【解析】
f（x）＝5x5+2x4+3x3﹣2x2+x﹣8＝（（（（5x+2）x+3）x﹣2）x+1）﹣8，进而得出．
【详解】
f（x）＝5x5+2x4+3x3﹣2x2+x﹣8＝（（（（5x+2）x+3）x﹣2）x+1）﹣8，
当x＝2时，v0＝5，v1＝5×2+2＝12，v2＝12×2+3＝27，v3＝27×2﹣2＝1．
故答案为：1．
本题考查了秦九韶算法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
15、
【解析】
根据，两个向量平行的条件是建立等式，解之即可．
【详解】
解：因为，，且
所以
解得
故答案为：
本题主要考查两个向量坐标形式的平行的充要条件，属于基础题．
16、
【解析】
点代入的方程求出k，再由求出直线的斜率，即可写出直线的点斜式方程.
【详解】
将点代入直线得，，解得，
又，，于是的方程为，整理得.
故答案为：
本题考查直线的方程，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）求解二次不等式从而求得集合A，利用指数函数的图像求出集合B，再进行并集运算即可；（Ⅱ）依次求出，，即可写出集合C的子集.
【详解】
（Ⅰ）由，得，即有，
于是.
作出函数的图象可知，于是,
所以，
（Ⅱ），，
集合的所有子集是：.
本题考查集合的基本运算，集合的子集，属于基础题.
18、（1）；（2）或．
【解析】
（1）利用点到直线的距离可得：圆心到直线的距离．根据直线与圆相切，可得．即可得出圆的标准方程．
（2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程：，即：，可得圆心到直线的距离，又，可得：．即可得出直线的方程．②当的斜率不存在时，，代入圆的方程可得：，解得可得弦长，即可验证是否满足条件．
【详解】
（1）圆心到直线的距离．
直线与圆相切，．
圆的标准方程为：．
（2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程：，
即：，，又，．
解得：．
直线的方程为：．
②当的斜率不存在时，，代入圆的方程可得：，解得，可得弦长，满足条件．
综上所述的方程为：或．
本题考查直线与圆的相切的性质、点到直线的距离公式、弦长公式、分类讨论方法，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
19、（1），（2）
【解析】
（1）利用等差数列的通项公式，结合，可以得到两个关于首项和公差的二元一次方程，解这个方程组即可求出首项和公差，最后利用等差数列的通项公式 和前项和公式求出及；
（2）利用裂项相消法可以求出.
【详解】
解：（1）设等差数列的公差为d,

（2）由（1）知：

本题考查了等差数列的通项公式和前项和公式，考查了裂项相消法求数列前项和，考查了数学运算能力.
20、 (1) ；(2)
【解析】
(1)设,再根据化简求解方程即可.
(2)设过定点的直线方程为,根据轴平分可得.再联立直线与圆的方程,化简利用韦达定理求解中参数的关系,进而求得定点即可.
【详解】
(1)设,因为,故,
即,整理可得.
(2)当直线与轴垂直,且在圆内时,易得关于轴对称,故必有轴平分.
当直线斜率存在时,设过定点的直线方程为.设.
联立,
.
因为无论直线如何运动,轴都平分,故,
即,所以,.
所以
代入韦达定理有,化简得.
故,恒过定点.即.
本题主要考查了轨迹方程的求解方法以及联立直线与圆的方程,利用韦达定理代入题中所给的关系式,化简求直线中参数的关系求得定点的问题.属于难题.
21、函数在区间上的最大值为2，最小值为-1

【解析】
试题分析：（1）将函数利用倍角公式和辅助角公式化简为,再利用周期可得最小正周期,由找出对应范围,利用正弦函数图像可得值域;（2） 先利用求出,再由角的关系展开后代入可得值.
试题解析:（1）
所以
又所以
由函数图像知.
（2）解：由题意
而所以
所以
所以=.
考点：三角函数性质;同角间基本关系式;两角和的余弦公式