2024-2025学年安徽省霍邱县第二中学高一下数学期末统考模拟试题含解析.doc

2024-2025学年安徽省霍邱县第二中学高一下数学期末统考模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．圆与圆的位置关系为( )
A．相交 B．相离 C．相切 D．内含
2．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心（，）
C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为58.79kg
3．设、满足约束条件，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
4．在中，，，，则=（ ）
A． B．
C． D．
5． “是与的等差中项”是“是与的等比中项”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知函数f（x），则f[f（2）]＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．将函数的图象向左平移个单位长度,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象,若对任意的均有成立,则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知等差数列的前项和为，若，，则的值为（ ）
A． B．0 C． D．182
9．若直线与直线互相平行，则的值等于（ ）
A．0或或3 B．0或3 C．0或 D．或3
10．如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于

A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知数列的通项公式，则____________．
12．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则角最大值为______.
13．若满足约束条件，则的最小值为_________.
14．函数的最小正周期是________．
15．在中，角，，所对的边分别为，，，已知,,，则______．
16．已知无穷等比数列的首项为，公比为，则其各项的和为__________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．正项数列：，满足：是公差为的等差数列，是公比为2的等比数列.
（1）若，求数列的所有项的和；
（2）若，求的最大值；
（3）是否存在正整数，满足?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
18．如图，三棱柱的侧面是边长为的菱形，，且.

(1)求证: ；
(2)若，当二面角为直二面角时，求三棱锥的体积.
19．已知关于，的方程：表示圆.
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）若，过点作的切线，求切线方程.
20．已知A，B，C是的内角，a，b，c分别是其对边长，向量，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，，求的面积.
21．△ABC的内角A，B，C所对边分别为，已知△ABC面积为.
（1）求角C；
（2）若D为AB中点，且c=2，求CD的最大值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
首先把两个圆的一般方程转化为标准方程，求出其圆心坐标和半径，再比较圆心距与半径的关系即可.
【详解】
有题知：圆，
即：，圆心，半径.
圆，
即：，圆心，半径.

所以两个圆的位置关系是相离.
故选：B
本题主要考查圆与圆的位置关系，比较圆心距和半径的关系是解决本题的关键，属于简单题.
2、D
【解析】
根据y与x的线性回归方程为 y=0.85x﹣85.71，则
=0.85＞0，y 与 x 具有正的线性相关关系，A正确；
回归直线过样本点的中心（），B正确；
该大学某女生身高增加 1cm，预测其体重约增加 0.85kg，C正确；
该大学某女生身高为 170cm，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg，D错误．
故选D．
3、C
【解析】
作出不等式组所表示的可行域，平移直线，观察直线在轴上的截距最大时对应的最优解，再将最优解代入目标函数可得出结果.
【详解】
作出不等式组所表示的可行域如下图中的阴影部分区域表示：

联立，得，可得点的坐标为.
平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即，故选：C.
本题考查简单线性规划问题，一般作出可行域，利用平移直线结合在坐标轴上的截距取最值来取得，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
4、C
【解析】
根据正弦定理,代入即可求解.
【详解】
因为中,,,
由正弦定理可知
代入可得
故选:C
本题考查了正弦定理在解三角形中的应用,属于基础题.
5、A
【解析】
根据等差中项和等比中项的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
若是与的等差中项，
则，
若是与的等比中项，
则，
则“是与的等差中项”是“是与的等比中项”的充分不必要条件，
故选：A.
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差中项和等比中项的定义求出的值是解决本题的关键．
6、B
【解析】
根据分段函数的表达式求解即可.
【详解】
由题.
故选：B
本题主要考查了分段函数的求值,属于基础题型.
7、D
【解析】
直接应用正弦函数的平移变换和伸缩变换的规律性质，求出函数的解析式，对任意的均有，说明函数在时，取得最大值，得出的表达式，结合已知选出正确答案.
【详解】
因为函数的图象向左平移个单位长度,所以得到函数，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象,所以，对任意的均有成立，
所以在时，取得最大值，所以有
而，所以的最小值为.
本题考查了正弦型函数的图象变换规律、函数图象的性质，考查了函数最大值的概念，正确求出变换后的函数解析式是解题的关键.
8、B
【解析】
由，可得，可得的值.
【详解】
解：已知等差数列中，
可得，
即：，，
故选B
本题主要考查等差数列的性质，从数列自身的特点入手是解决问题的关键.
9、D
【解析】
根据直线的平行关系，列方程解参数即可.
【详解】
由题：直线与直线互相平行，
所以，，解得：或.
经检验，当或时，两条直线均平行.
故选：D
此题考查根据直线平行关系求解参数的取值，需要熟记公式，注意考虑直线重合的情况.
10、C
【解析】
利用几何概型的计算概率的方法解决本题，关键要弄准所求的随机事件发生的区域的面积和事件总体的区域面积，通过相除的方法完成本题的解答．
【详解】
解：由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为P=．
故选C．
【点评】
本题考查概率的计算，考查几何概型的辨别，考查学生通过比例的方法计算概率的问题，考查学生分析问题解决问题的能力，考查学生几何图形面积的计算方法，属于基本题型．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
将代入即可求解
【详解】
令，可得.
故答案为：
本题考查求数列的项，是基础题
12、
【解析】
根据余弦定理列式，再根据基本不等式求最值
【详解】
因为
所以角最大值为
本题考查余弦定理以及利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题
13、3
【解析】
在平面直角坐标系内，画出可行解域，平行移动直线，在可行解域内，找到直线在纵轴上截距最小时所经过点的坐标，代入目标函数中，求出目标函数的最小值.
【详解】
在平面直角坐标系中，约束条件所表示的平面区域如下图所示：

当直线经过点时，直线纵轴上截距最小，解方程组
，因此点坐标为，所以的最小值为.
本题考查了线性目标函数最小值问题，正确画出可行解域是解题的关键.
14、
【解析】
根据周期公式即可求解.
【详解】
函数的最小正周期
故答案为：
本题主要考查了正弦型函数的周期，属于基础题.
15、30°
【解析】
直接利用正弦定理得到或，再利用大角对大边排除一个答案.
【详解】
即或
，故 ，故
故答案为
本题考查了正弦定理，没有利用大角对大边排除一个答案是容易发生的错误.
16、
【解析】
根据无穷等比数列求和公式求出等比数列的各项和.
【详解】
由题意可知，等比数列的各项和为，故答案为：.
本题考查等比数列各项和的求解，解题的关键就是利用无穷等比数列求和公式进行计算，考查计算能力，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）84；（2）1033；（3）存在，
【解析】
（1）由题意可得：， 即为：2，4，6，8，10，12，14，16，8，4； 可得的值；
（2）由题意可得，故有；即，即必是2的整数幂，要最大，必需最大，，可得出的最大值；
（3）由是公差为的等差数列，是公比为2的等比数列，可得与，可得k与m的方程，一一验算k的值可得答案.
【详解】
解：（1）由已知，
故为：2，4，6，8，10，12，14，16；公比为2，则对应的数为2，4，8，16，
从而即为：2，4，6，8，10，12，14，16，8，4；
此时
（2）是首项为2，公差为2 的等差数列，
故，从而，
而首项为2，公比为2的等比数列且，
故有；即，即必是2的整数幂
又，要最大，必需最大，，故的最大值为，
所以，即的最大值为1033
（3）由数列是公差为的等差数列知，，而
是公比为2的等比数列，则，故，即，
又，，则
，即，则，即
显然，则，所以，将，代入验证知，
当时，上式右端为8，等式成立，此时，
综上可得：当且仅当时，存在满足等式
本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及等差数列、等比数列前n项的和，属于难题，注意灵活运用各公式解题与运算准确.
18、（1）见解析（2）
【解析】
（1）利用直线与平面垂直的判定，结合三角形全等判定，得到，再次结合三角形全等，即可．（2）法一：建立坐标系，分别计算的法向量，结合两向量夹角为直角，计算出的值，然后结合，即可．法二：设出OA=x,用x分别表示AB,BD,AD，结合，建立方程，计算x，结合，即可．
【详解】
（1）连结，交于点，连结，

因为侧面是菱形，所以，
又因为，，
所以平面，
而平面，所以，
因为，所以，
而，所以，.

（2）因为，，所以，（法一）以为坐标原点，所以直线为轴，
所以直线为轴，所以直线为轴建立
如图所示空间直角坐标系，设，
则，，，
，，
所以，，，
设平面的法向量，所以
令，则，，取，
设平面的法向量，所以
令，则，，取，
依题意得，解得.
所以.
（法二）过作，连结，
由（1）知，所以且，

所以是二面角的平面角，依题意得，，
所以，
设，则，，
又由，，
所以由，解得，
所以.
本道题考查了直线与平面垂直判定，考查了利用空间向量解决二面角问题，难度较难．
19、（Ⅰ）；
（Ⅱ）或.
【解析】
（Ⅰ）根据圆的一般方程表示圆的条件,可得关于的不等式,即可求得的取值范围.
（Ⅱ）将代入,可得圆的方程,化为标准方程.讨论斜率是否存在两种情况.当斜率不存在时,可直接求得直线方程;当斜率存在时,由点斜式设出直线方程,结合点到直线的距离即可求得斜率,即可得直线方程.
【详解】
（Ⅰ）若方程表示圆
则
解得
故实数的取值范围为
（Ⅱ）若,圆：
①当过点的直线斜率不存在时,直线方程为
圆心到直线的距离等于半径,此时直线与相切
②当过点的直线斜率存在时,不妨设斜率为
则切线方程为,即
由圆心到直线的距离等于半径可知,
解得,即切线方程为
综上所述,切线方程为或
本题考查了直线与圆的位置关系的应用,圆的一般方程与标准方程的关系和转化,属于基础题.
20、 (Ⅰ)；(Ⅱ)
【解析】
(1)先由，结合正弦定理，得到，再由，即可求出结果；
（2）由余弦定理得到，进而可求出三角形的面积.
【详解】
解: (1)∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴;
(2)在中，，
由余弦定理知
∴
∴
本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型.
21、（1）（2）
【解析】
（1）根据，由正弦定理化角为边，
得，再根据余弦定理即可求出角C；
（2）由余弦定理可得，又，结合基本不等式可求得．由中点公式的向量式得，再利用数量积的运算，即可求出的最大值．
【详解】
（1）依题意得，，
由正弦定理得，，即，
由余弦定理得，，
又因为，所以.
（2）∵，，
∴，即．
∵为中点，所以，
∴

当且仅当时，等号成立.所以的最大值为．
本题主要考查利用正、余弦定理解三角形，以及利用中点公式的向量式结合基本不等式解决中线的最值问题，意在考查学生的逻辑推理和数学运算能力，属于中档题．