2025届池州市重点中学数学高一下期末学业水平测试模拟试题含解析.doc

2025届池州市重点中学数学高一下期末学业水平测试模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若点为圆C：的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知等比数列的前项和为，，，则（ ）
A．31 B．15 C．8 D．7
3．设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B．2 C． D．
4．如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )

A． B． C． D．
5．已知数列为等比数列，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．下列平面图形中，通过围绕定直线旋转可得到如图所示几何体的是( )

A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，它的始边与轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点，则的值为( )
A． B． C． D．
8．函数，当时函数取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知正方体的个顶点中，有个为一侧面是等边三角形的正三棱锥的顶点，则这个正三棱锥与正方体的全面积之比为 （ ）
A． B． C． D．
10．如图为某班35名学生的投篮成绩（每人投一次）的条形统计图，其中上面部分数据破损导致数据不完全。已知该班学生投篮成绩的中位数是5，则根据统计图，则下列说法错误的是（ ）

A．3球以下（含3球）的人数为10
B．4球以下（含4球）的人数为17
C．5球以下（含5球）的人数无法确定
D．5球的人数和6球的人数一样多
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．某产品分为优质品、合格品、次品三个等级，生产中出现合格品的概率为0.25，出现次品的概率为0.03，在该产品中任抽一件，则抽到优质品的概率为__________．
12．已知某中学高三学生共有800人参加了数学与英语水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人的成绩进行统计，先将800人按001，002，…，800进行编号．
如果从第8行第7列的数开始从左向右读，（下面是随机数表的第7行至第9行）
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 26
83 92 53 16 59 16 92 75 35 62 98 21 50 71 75 12 86 73 63 01
58 07 44 39 13 26 33 21 13 42 78 64 16 07 82 52 07 44 38 15
则最先抽取的2个人的编号依次为_____．
13．已知数列是首项为，公差为的等差数列，若数列是等比数列，则___________.
14．夏季某座高山上的温度从山脚起每升高100米降低0.8度，若山脚的温度是36度，山顶的温度是20度，则这座山的高度是________米
15．已知向量，则的单位向量的坐标为_______.
16．函数的定义域为A，若时总有为单函数.例如，函数=2x+1（）是单函数.下列命题：
①函数=（xR）是单函数；②若为单函数，且则；③若f：AB为单函数，则对于任意bB，它至多有一个原象；
④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数.其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号）
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某购物中心举行抽奖活动，顾客从装有编号分别为0，1，2，3四个球的抽奖箱中，每次取出1个球，记下编号后放回，连续取两次（假设取到任何一个小球的可能性相同）.若取出的两个小球号码相加之和等于5，则中一等奖；若取出的两个小球号码相加之和等于4，则中二等奖；若取出的两个小球号码相加之和等于3，则中三等奖；其它情况不中奖.
（Ⅰ）求顾客中三等奖的概率；
（Ⅱ）求顾客未中奖的概率.
18．已知向量，向量.
（1）求向量的坐标；
（2）当为何值时，向量与向量共线.
19．已知函数，且，.
（1）求该函数的最小正周期及对称中心坐标；
（2）若方程的根为，且，求的值.
20．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F，G分别为线段BC，PB，AD的中点．

（1）证明：EF∥平面PAC；
（2）证明：平面PCG∥平面AEF；
（3）在线段BD上找一点H，使得FH∥平面PCG，并说明理由．
21．某企业生产，两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图1，产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2，（注：利润与投资单位：万元）

（1）分别将，两种产品的利润表示为投资的函数关系，并写出它们的函数关系式；
（2）该企业已筹集到10万元资金，全部投入到，两种产品的生产，怎样分配资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元（精确到1万元）.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
根据题意，先求出直线PC的斜率，根据MN与PC垂直求出MN的斜率，由点斜式，即可求出结果.
【详解】
由题意知，圆心的坐标为，则，由于MN与PC垂直，故MN的斜率，
故弦MN所在的直线方程为，即.
故选A
本题主要考查求弦所在直线方程，熟记直线的点斜式方程即可，属于常考题型.
2、B
【解析】
利用基本元的思想，将已知条件转化为的形式，由此求得，进而求得.
【详解】
由于数列是等比数列，故，由于，故解得，所以.
故选：B.
本小题主要考查等比数列通项公式的基本量的计算，考查等比数列前项和公式，属于基础题.
3、C
【解析】
根据等比数列前项和为带入即可。
【详解】
当时，不成立。当时
，
则,选择C
本题主要考查了等比数列的前项和，，属于基础题。
4、C
【解析】
根据三视图还原直观图，根据长度关系计算表面积得到答案.
【详解】
根据三视图还原直观图，如图所示：

几何体的表面积为：
故答案选C
本题考查了三视图，将三视图转化为直观图是解题的关键.
5、A
【解析】
根据等比数列性质知：，得到答案.
【详解】
已知数列为等比数列

故答案选A
本题考查了等比数列的性质，属于简单题.
6、B
【解析】
A.是一个圆锥以及一个圆柱; C.是两个圆锥; D. 一个圆锥以及一个圆柱;所以选B.
7、C
【解析】
根据三角函数的定义，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，角的顶点与原点重合，它的始边与轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点，根据三角函数的定义可得.
故选：C.
本题主要考查了三角的函数的定义，其中解答中熟记三角函数的定义是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
8、A
【解析】
根据三角恒等变换的公式化简得，其中，再根据题意，得到，求得，结合诱导公式，即可求解.
【详解】
由题意，根据三角恒等变换的公式，可得，
其中，
因为当时函数取得最大值，即，即，
可得，即，
所以.
故选：A.
本题主要考查了三角恒等变换的应用，以及诱导公式的化简求值，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，合理利用三角函数的诱导公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
9、A
【解析】

所求的全面积之比为： ，故选A.
10、D
【解析】
据投篮成绩的条形统计图，结合中位数的定义，对选项中的命题分析、判断即可．
【详解】
根据投篮成绩的条形统计图，3球以下（含3球）的人数为，6球以下（含6球）的人数为，
结合中位数是5知4球以下（含4球）的人数为不多于17，
而由条形统计图得4球以下（含4球）的人数不少于，因此4球以下（含4球）的人数为17
所以5球的人数和6球的人数一共是17，显然5球的人数和6球的人数不一样多，故选D.
本题考查命题真假的判断，考查条形统计图、中位数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、0.72
【解析】
根据对立事件的概率公式即可求解.
【详解】
由题意，在该产品中任抽一件，“抽到优质品”与“抽到合格品或次品”是对立事件，
所以在该产品中任抽一件，则抽到优质品的概率为.
故答案为
本题主要考查对立事件的概率公式，熟记对立事件的概念及概率计算公式即可求解，属于基础题型.
12、165；535
【解析】
按照题设要求读取随机数表得到结果，注意不符合要求的数据要舍去.
【详解】
读取的第一个数： 满足；读取的第二个数： 不满足；
读取的第三个数： 不满足；读取的第三个数： 满足.
随机数表的读取规则：从指定位置开始，按照指定位数读取，一次读取一组，若读取的数不符合规定（不在范围之内），则舍去，重新读取.
13、或
【解析】
由等比数列的定义得出，可得出，利用两角和与差的余弦公式化简可求得的值.
【详解】
由于数列是首项为，公差为的等差数列，则，，
又数列是等比数列，则，
即，
即，
即，整理得，
即，可得，，因此， 或.
故答案为：或.
本题考查利用等差数列和等比数列的定义求参数，同时也涉及了两角和与差的余弦公式的化简计算，考查计算能力，属于中等题.
14、2000
【解析】
由题意得，温度下降了，再求出这个温度是由几段100米得出来的，最后乘以100即可.
【详解】
由题意得，这座山的高度为：米
故答案为：2000
本题结合实际问题考查有理数的混合运算，解题关键是温度差里有几个0.8，属于基础题.
15、.
【解析】
由结论“与方向相同的单位向量为”可求出的坐标.
【详解】
，所以，，故答案为.
本题考查单位向量坐标的计算，考查共线向量的坐标运算，充分利用共线单位向量的结论可简化计算，考查运算求解能力，属于基础题.
16、②③
【解析】
命题①：对于函数，设，故和可能相等，也可能互为相反数，即命题①错误；
命题②：假设，因为函为单函数，所以，与已知矛盾，故，即命题②正确；
命题③：若为单函数，则对于任意，，假设不只有一个原象与其对应，设为，则，根据单函数定义，，又因为原象中元素不重复，故函数至多有一个原象，即命题③正确；
命题④：函数在某区间上具有单调性，并不意味着在整个定义域上具有单调性，即命题④错误,
综上可知，真命题为②③.
故答案为②③．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）；
（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）利用列举法列出所有可能,设事件为“顾客中三等奖”,的事件.由古典概型概率计算公式即可求解.
（Ⅱ）先分别求得中一等奖、二等奖和三等奖的概率,根据对立事件的概率性质即可求得未中奖的概率.
【详解】
（Ⅰ）所有基本事件包括

共16个
设事件为“顾客中三等奖”,事件包含基本事件共4个,
所以.
（Ⅱ）由题意,中一等奖时“两个小球号码相加之和等于5”,这一事件包括基本事件共2个
中二等奖时,“两个小球号码相加之和等于4”,这一事件包括基本事件共3个
由（Ⅰ）可知中三等奖的概率为
设事件为“顾客未中奖”
则由对立事件概率的性质可得

所以未中奖的概率为.
本题考查了古典概型概率的计算方法,对立事件概率性质的应用,属于基础题.
18、（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）根据向量坐标运算公式计算；（2）求出的坐标，根据向量共线与坐标的关系列方程解出k;
试题解析：
（1）
（2），

∵与共线，
∴
∴
19、 (1) 最小正周期为.对称中心坐标为；(2)-1
【解析】
（1）由题意两未知数列两方程即可求出、的值，再进行三角变换，可得的解析式，再利用正弦函数的周期公式、图象的对称性，即可得出结论．（2）先由条件求得的值，可得的值．
【详解】
（1）由，得：，
解得：，

，
，即函数的最小正周期为.
由得：
函数的对称中心坐标为；
（2）由题意得：，即，
或，
则或，
由知：，
.
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、图象的对称性，以及三角函数求值．
20、（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析
【解析】
（1）证明，EF∥平面PAC即得证；（2）证明AE∥平面PCG，EF∥平面PCG，平面PCG∥平面AEF即得证；（3）设AE，GC与BD分别交于M，N两点，证明N点为所找的H点．
【详解】
（1）证明：∵E、F分别是BC，BP中点，
∴，
∵PC⊂平面PAC，EF⊄平面PAC，
∴EF∥平面PAC．
（2）证明：∵E、G分别是BC、AD中点，
∴AE∥CG，
∵AE⊄平面PCG，CG⊂平面PCG，
∴AE∥平面PCG，
又∵EF∥PC，PC⊂平面PCG，EF⊄平面PCG，
∴EF∥平面PCG，AE∩EF＝E点，AE，EF⊂平面AEF，
∴平面AEF∥平面PCG．
（3）设AE，GC与BD分别交于M，N两点，易知F，N分别是BP，BM中点，
∴，
∵PM⊂平面PGC，FN⊄平面PGC，
∴FN∥平面PGC，
即N点为所找的H点．

本题主要考查空间平行位置关系的证明，考查立体几何的探究性问题的解决，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
21、（1）为，为；（2）产品投入3.75万元，产品投入6.25万元，最大利润为4万元
【解析】
（1）根据题意给出的函数模型，设；代入图中数据求得既得，注意自变量；
（2）设产品投入万元，则产品投入万元，设企业利润为万元.，列出利润函数为，用换元法，设，变化为二次函数可求得利润的最大值．
【详解】
解：（1）设投资为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元
由题设知；
由图1知，
由图2知，
则，.
（2）设产品投入万元，则产品投入万元，设企业利润为万元.
，
，令，则
则
当时，，
此时
所以当产品投入3.75万元，产品投入6.25万元，企业获得最大利润为4万元.
本题考查函数的应用，在已知函数模型时直接设出函数表达式，代入已知条件可得函数解析式．