2025届广西壮族自治区贵港市桂平市高一下数学期末质量跟踪监视试题含解析.doc

2025届广西壮族自治区贵港市桂平市高一下数学期末质量跟踪监视试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若，，，则解的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不确定
2．已知内角的对边分别为，满足且，则△ABC （ ）
A．一定是等腰非等边三角形 B．一定是等边三角形
C．一定是直角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
3．下列函数中最小值为4的是( )
A． B．
C． D．
4．过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线斜率等于1，那么m的值等于（ ）
A．1或3 B．4 C．1 D．1或4
5．掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷2020次，那么抛掷第2019次时出现正面向上的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．甲、乙两名运动员分别进行了5次射击训练，成绩如下：
甲：7，7，8，8，1；
乙：8，9，9，9，1．
若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用，表示，方差分别用，表示，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．若存在正实数，使得，则（ ）
A．实数的最大值为 B．实数的最小值为
C．实数的最大值为 D．实数的最小值为
8．一个长方体共一顶点的三条棱长分别是，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是( )
A．12π B．18π C．36π D．6π
9．设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为（ ）
A．4 B．-5 C．-6 D．-8
10．若且，则下列四个不等式：①，②，③，④中，一定成立的是（　　）
A．①② B．③④ C．②③ D．①②③④
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在等差数列中，已知，，则________.
12．等比数列中首项，公比，则______.
13．不等式的解集为_________________；
14．如图，，分别为的中线和角平分线，点P是与的交点，若，，则的面积为______.

15．已知,,,是球的球面上的四点，，，两两垂直，,且三棱锥的体积为，则球的表面积为______．
16．已知，，是与的等比中项，则最小值为_________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某学校为了了解高三文科学生第一学期数学的复习效果.从高三第一学期期末考试成绩中随机抽取50名文科考生的数学成绩，分成6组制成如图所示的频率分布直方图.

（1）试利用此频率分布直方图求的值及这50名同学数学成绩的平均数的估计值；
（2）该学校为制定下阶段的复习计划，从被抽取的成绩在的同学中选出3位作为代表进行座谈，若已知被抽取的成绩在的同学中男女比例为，求至少有一名女生参加座谈的概率.
18．涡阳县某华为手机专卖店对市民进行华为手机认可度的调查，在已购买华为手机的名市民中，随机抽取名，按年龄（单位：岁）进行统计的频数分布表和频率分布直方图如图：

分组（岁）
频数

合计

（1）求频数分布表中、的值，并补全频率分布直方图；
（2）在抽取的这名市民中，从年龄在、内的市民中用分层抽样的方法抽取人参加华为手机宣传活动，现从这人中随机选取人各赠送一部华为手机，求这人中恰有人的年龄在内的概率.
19．（1）从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为，求为整数的概率？
（2）两人相约在7点到8点在某地会面，先到者等候另一个人20分钟方可离去．试求这两人能会面的概率？
20．已知，
（1）求；
（2）若，求.
21．对于函数和实数，若存在，使成立，则称为函数关于的一个“生长点”.若为函数关于的一个“生长点”，则______.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
由题得，即得B＜A，即得三角形只有一个解.
【详解】
由正弦定理得,
所以B只有一解，所以三角形只有一解.
故选：B
本题主要考查正弦定理判定三角形的个数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
2、B
【解析】
根据正弦定理可得和，然后对进行分类讨论，结合三角形的性质，即可得到结果.
【详解】
在中，因为，所以，
又，所以，
又
当时，因为，所以时等边三角形；
当时，因为，所以不存在，综上：一定是等边三角形.
故选:B.
本题主要考查了正弦定理的应用，解题过程中注意两解得情况，一般需要检验，本题属于基础题.
3、C
【解析】
对于A和D选项不能保证基本不等式中的“正数”要求，对于B选项不能保证基本不等式中的“相等”要求，即可选出答案.
【详解】
对于A，当时，显然不满足题意，故A错误.
对于B，，，.
当且仅当，即时，取得最小值.
但无解，故B错误.
对于D，当时，显然不满足题意，故D错误.
对于C，，，.
当且仅当，即时，取得最小值，故C正确.
故选：C
本题主要考查基本不等式，熟练掌握基本不等式的步骤为解题的关键，属于中档题.
4、C
【解析】
试题分析：利用直线的斜率公式求解．
解：∵过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线斜率等于1，
∴k==1，
解得m=1．
故选C．
考点：直线的斜率．
5、B
【解析】
根据概率的性质直接得到答案.
【详解】
根据概率的性质知：每次正面向上的概率为.
故选：.
本题考查了概率的性质，属于简单题.
6、D
【解析】
分别计算出他们的平均数和方差，比较即得解.
【详解】
由题意可得，
，
，
．
故，．
故选D
本题主要考查平均数和方差的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
7、C
【解析】
将题目所给方程转化为关于的一元二次方程，根据此方程在上有解列不等式组，解不等式组求得的取值范围，进而求出正确选项.
【详解】
由得，当时，方程为不和题意，故这是关于的一元二次方程，依题意可知，该方程在上有解，注意到，所以由解得，故实数的最大值为，所以选C.
本小题主要考查一元二次方程根的分布问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
8、A
【解析】
先求长方体的对角线的长度，就是球的直径，然后求出它的表面积.
【详解】
长方体的体对角线的长是，
所以球的半径是：，
所以该球的表面积是，
故选A.
该题考查的是有关长方体的外接球的表面积问题，在解题的过程中，首先要明确长方体的外接球的球心应在长方体的中心处，即长方体的体对角线是其外接球的直径，从而求得结果.
9、D
【解析】
绘制不等式组所表示的平面区域，结合目标函数的几何意义可知，目标函数在点处取得最小值.
本题选择D选项.

10、C
【解析】
根据且，可得，，且，，根据不等式的性质可逐一作出判断．
【详解】
由且，可得，
∴，且，，
由此可得①当a=0时，不成立，
②由，，则成立，
③由，，可得成立，
④由，若，则不成立，
因此，一定成立的是②③，
故选：C.
本题考查不等式的基本性质的应用，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、-16
【解析】
设等差数列的公差为，利用通项公式求出即可.
【详解】
设等差数列的公差为，得，则.
故答案为
本题考查了等差数列通项公式的应用，属于基础题.
12、9
【解析】
根据等比数列求和公式，将进行转化，然后得到关于和的等式，结合，讨论出和的值，得到答案.
【详解】
因为等比数列中首项，公比，
所以成首项为，公比为的等比数列，共项，
所以
整理得
因为
所以可得，等式右边为整数，故等式左边也需要为整数，
则应是的约数，
所以可得，
所以，
当时，得，此时
当时，得，此时
当时，得，此时，
所以，
故答案为：.
本题考查等比数列求和的基本量运算，涉及分类讨论的思想，属于中档题.
13、
【解析】
根据绝对值定义去掉绝对值符号后再解不等式．
【详解】
时，原不等式可化为，，∴；
时，原不等式可化为，，∴．
综上原不等式的解为．
故答案为．
本题考查解绝对值不等式，解绝对值不等式的常用方法是根据绝对值定义去掉绝对值符号，然后求解．
14、
【解析】
设,,求点的坐标，运用换元法，求直线方程，再解出交点的坐标，再利用向量数量积运算求出，最后结合三角形面积公式求解即可.
【详解】
解：由，可设,,
则，
设，则 ，
直线的方程为，直线的方程为，
联立直线、方程解得，
则，，
可得，
解得：，
即，
即，
所以，
故答案为：.

本题考查了向量的数量积运算，重点考查了两直线的交点坐标及三角形面积公式，属中档题.
15、
【解析】
根据三棱锥的体积可求三棱锥的侧棱长，补体后可求三棱锥外接球的直径，从而可计算外接球的表面积．
【详解】
三棱锥的体积为，故，
因为，，两两垂直，，故可把三棱锥补成正方体，
该正方体的体对角线为三棱锥外接球的直径，
又体对角线的长度为，故球的表面积为.
填.
几何体的外接球、内切球问题，关键是球心位置的确定，必要时需把球的半径放置在可解的几何图形中．如果球心的位置不易确定，则可以把该几何体补成规则的几何体，便于球心位置和球的半径的确定．
16、1
【解析】
根据等比中项定义得出的关系，然后用“1”的代换转化为可用基本不等式求最小值．
【详解】
由题意，所以，
所以，当且仅当，即时等号成立．
所以最小值为1．
故答案为：1．
本题考查等比中项的定义，考查用基本不等式求最值．解题关键是用“1”的代换找到定值，从而可用基本不等式求最值．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；平均数的估计值（2）
【解析】
（1）根据各小矩形面积和为1可求得的值；由频率分布直方图，结合平均数的求法即可求解.
（2）根据频率分布直方图先求得成绩在的同学人数，结合分层抽样可得男生4人，女生2人，设男生分别为；女生分别为，利用列举法可得抽取3人的所有情况，进而得至少有一名女生的情况，即可由古典概型概率公式求解.
【详解】
（1）由题，
解得，
由频率分布直方图，得这50名同学数学成绩的平均数的估计值为：
（2）由频率分布直方图知，成绩在的同学有人，
由比例可知男生4人，女生2人，记男生分别为；女生分别为，
则从6名同学中选出3人的所有可能如下：共20种，
其中不含女生的有4种，
设至少有一名女生参加座谈为事件，
则至少有一名女生参加座谈的概率.
本题考查了频率分布直方图的性质及平均数求法，分层抽样及各组人数的确定方法，列举法求古典概型的概率，属于基础题.
18、（1），频率分布直方图见解析；（2）.
【解析】
（1）根据分布直方图计算出第二个矩形的面积，乘以可得出的值，再由频数之和为得出的值，利用频数除以样本容量得出第四个矩形的面积，并计算出第四个矩形的高，于此可补全频率分布直方图；
（2）先计算出人中年龄在、内的市民人数分别为、，将年龄在的位市民记为，年龄在的位市民记为、、、，记事件恰有人的年龄在内，列举出所有的基本事件，并确定事件所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可计算出事件的概率.
【详解】
（1）由频数分布表和频率分布直方图可知，解得.
频率分布直方图中年龄在内的人数为人，对应的为，
所以补全的频率分布直方图如下图所示：

（2）由频数分布表知，在抽取的人中，年龄在内的市民的人数为，
记为，年龄在内的市民的人数为，分别记为、、、.
从这人中任取人的所有基本事件为：、、、、、、、、、，共个基本事件.
记“恰有人的年龄在内”为事件，则所包含的基本事件有个：、、、，
所以这人中恰有人的年龄在内的概率为.
本题考查频率分布直方图和频率分布表的应用，同时也考查了古典概型概率公式计算概率，在列举基本事件时要遵循不重不漏的基本原则，常用的是列举法，也可以利用树状图来辅助理解，考查运算求解能力，属于中等题.
19、（1）；（2）
【解析】
（1）分别求出基本事件总数及为整数的事件数，再由古典概型概率公式求解；
（2）建立坐标系，找出会面的区域，用会面的区域面积比总区域面积得答案．
【详解】
（1）所有的基本事件共有4×3=12个，记事件A={为整数}，因为，则事件A包含的基本事件共有2个，
∴p（A）=；
（2）以x、y分别表示两人到达时刻，
则．两人能会面的充要条件是．
建立直角坐标系如下图：

∴P=．
∴这两人能会面的概率为．
本题考查古典概型与几何概型概率的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．
20、（1）（2）
【解析】
（1）两边平方可得，根据同角公式可得，；
（2）根据两角和的正切公式，计算可得结果.
【详解】
（1）因为，
所以，即.
因为，所以，所以，
故.
（2）因为，所以，
所以.
本题考查了两角同角公式，二倍角正弦公式，两角和的正切公式，属于基础题.
21、
【解析】
由为函数关于的一个“生长点”，得到
由诱导公式可得答案.
【详解】
解：为函数关于的一个“生长点”，

，
故答案为：.
本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，及函数的创新题型，属于中档题.