安徽省合肥九中2025年高一下数学期末考试模拟试题含解析.doc

安徽省合肥九中2025年高一下数学期末考试模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知过点的直线的倾斜角为，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，已知以正方体所有面的中心为顶点的多面体的体积为，则该正方体的外接球的表面积为（ ）

A． B． C． D．
3．已知角的终边经过点，则
A． B． C． D．
4．平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B的坐标分别为(1，1)，(-3，3).若动点P满足，其中λ，μ∈R，且λ+μ=1，则点P的轨迹方程为()
A． B． C． D．
5．设函数的图象为，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．图象关于直线对称
C．图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到
D．函数在区间上是增函数
6．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的，，依次输入的为2，2，5，则输出的（ ）

A．7 B．12 C．17 D．34
7．数列只有5项，分别是3，5，7，9，11，的一个通项公式为（ ）
A． B． C． D．
8．设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
9．已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值为2，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为   
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，，两圆和只有一条公切线，则的最小值为________
12．观察下列等式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4），……
请你根据给定等式的共同特征，并接着写出一个具有这个共同特征的等式（要求与已知等式不重复），这个等式可以是__________________.（答案不唯一）
13．设是公差不为0的等差数列,且成等比数列,则的前10项和________.
14．已知数列的前项和为，则其通项公式__________．
15．某货船在处看灯塔在北偏东方向，它以每小时18海里的速度向正北方向航行，经过40分钟到达处，看到灯塔在北偏东方向，此时货船到灯塔的距离为______海里.
16．数列中，已知，50为第________项.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在中，已知，，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：
顶点C的坐标； 
直线MN的方程．
18．已知函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到函数的图象.
（1）求函数的解析式；
（2）在中，角所对的边分别为，若，且，求周长的取值范围.
19．已知函数满足且.
（1）当时，求的表达式；
（2）设，求证：；
20．如图所示，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，，现要将此铁皮剪出一个三角形，使得，.
(1)设，求三角形铁皮的面积；
(2)求剪下的铁皮三角形的面积的最大值.

21．将边长分别为、、、…、、、…的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形，由小到大，依次记各阴影部分所在的图形为第个、第个、……、第个阴影部分图形.设前个阴影部分图形的面积的平均值为.记数列满足，

（1）求的表达式；
（2）写出，的值，并求数列的通项公式；
（3）定义，记，且恒成立，求的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
由直线的倾斜角求得直线的斜率，再由直线的点斜式方程求解．
【详解】
∵直线的倾斜角为，∵直线的斜率，
又直线过点，
由直线方程的点斜式可得直线的方程为，即．
故选：B．
本题考查直线的点斜式方程，考查直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．
2、A
【解析】
设正方体的棱长为，则中间四棱锥的底面边长为，由已知多面体的体积求解，得到正方体外接球的半径，则外接球的表面积可求．
【详解】
设正方体的棱长为，则中间四棱锥的底面边长为，
多面体的体积为，即．
正方体的对角线长为．
则正方体的外接球的半径为．
表面积为．
故选：．
本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是基础题．
3、A
【解析】
根据三角函数的定义，求出，即可得到的值．
【详解】
因为，，所以．
故选：A．
本题主要考查已知角终边上一点，利用三角函数定义求三角函数值，属于基础题．
4、C
【解析】
设点坐标，代入，得到即，再根据，即可求解.
【详解】
设点坐标，因为点的坐标分别为，
将各点坐标代入,可得，
即，解得，代入，
化简得，故选C.
本题主要考查了平面向量的坐标运算和点的轨迹的求解，其中解答中熟记向量的坐标运算，以及平面向量的基本定理是解答的关键，着重考查了推理运算能力，属于基础题.
5、B
【解析】
利用函数的周期判断A的正误；通过x=函数是否取得最值判断B的正误；利用函数的图象的平移判断C的正误, 利用函数的单调区间判断D的正误．
【详解】
对于A，f（x）的最小正周期为π,判断A错误；
对于B，当x=，函数f（x）=sin（2×+）=1，∴选项B正确；
对于C，把的图象向左平移个单位，得到函数sin[2（x+）]=sin(2x+，∴选项C不正确．
对于D，由，可得，k∈Z，所以在上不恒为增函数，∴选项D错误；
故选B．
本题考查三角函数的基本性质的应用，函数的单调性、周期性及函数图象变换，属于基本知识的考查．
6、C
【解析】
第一次循环： ；第二次循环： ；第三次循环： ；结束循环，输出 ，选C.
点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.
7、B
【解析】
根据题意，得到数列为等差数列，通过首项和公差，得到通项.
【详解】
因为数列只有5项，分别是3，5，7，9，11，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
.
故选：B.
本题考查求等差数列的通项，属于简单题.
8、C
【解析】
对于A、B、D均可能出现，而对于C是正确的．
9、D
【解析】
化简函数为正弦型函数，根据题意，利用正弦函数的图象与性质求得的取值范围.
【详解】
解：函数
则函数在上是含原点的递增区间；
又因为函数 在区间上是单调递增，
则，
得不等式组
又因为，
所以解得.
又因为函数在区间上恰好取得一次最大值为2，
可得，
所以，
综上所述，可得.
故选：D.
本题主要考查了正弦函数的图像和性质应用问题，也考查了三角函数的灵活应用，属于中档题.
10、B
【解析】
根据题意，建立与的关系，即可得到夹角.
【详解】
因为，所以，则，则，所以，所以夹角为故选B.
本题主要考查向量的数量积运算，难度较小.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、9
【解析】
两圆只有一条公切线，可以判断两圆是内切关系，可以得到一个等式，结合这个等式，可以求出的最小值.
【详解】
，圆心为，半径为2；
，圆心为，半径为1.因为两圆只有一条公切线，所以两圆是内切关系，即，于是有
（当且仅当取等号），因此的最小值为9.
本题考查了圆与圆的位置关系，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.
12、
【解析】
观察式子特点可知，分子上两余弦的角的和是，分母上两个正弦的角的和是，据此规律即可写出式子
【详解】
观察式子规律可总结出一般规律：，
可赋值，得
故答案为：
本题考查归纳推理能力，能找出余角关系和补角关系是解题的关键，属于基础题
13、
【解析】
利用等差数列的通项公式和等比数列的性质求出公差，由此能求出
【详解】
因为是公差不为0的等差数列,且成等比数列
所以，即
解得或(舍)
所以
故答案为：
本题考查等差数列前10项和的求法，解题时要认真审题，注意等比数列的性质合理运用.
14、
【解析】
分析：先根据和项与通项关系得当时，，再检验，时，不满足上述式子，所以结果用分段函数表示.
详解： ∵已知数列的前项和，
∴当时，，
当时，，
经检验，时，不满足上述式子，
故数列的通项公式．
点睛：给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求. 应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.
15、
【解析】
由题意利用方位角的定义画出示意图，再利用三角形，解出的长度．
【详解】
解：由题意画出图形为：
因为，，所以，又由于某船以每小时18海里的速度向正北方向航行，经过40分钟航行到，所以（海里）．
在中，利用正弦定理得：，所以；
故答案为：．

此题考查了学生对于题意的正确理解，还考查了利用正弦定理求解三角形及学生的计算能力，属于基础题．
16、4
【解析】
方程变为，设，解关于的二次方程可求得。
【详解】
，则，即
设，则，有或
取得，，所以是第4项。
发现，原方程可通过换元，变为关于的一个二次方程。对于指数结构，，等，都可以通过换元变为二次形式研究。

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）边AC的中点M在y轴上，由中点公式得，A，C两点的横坐标和的平均数为1，同理，B，C两点的纵坐标和的平均数为1．构造方程易得C点的坐标．
（2）根据C点的坐标，结合中点公式，我们可求出M，N两点的坐标，代入两点式即可求出直线MN的方程．
解：（1）设点C（x，y），
∵边AC的中点M在y轴上得=1，
∵边BC的中点N在x轴上得=1，
解得x=﹣5，y=﹣2．
故所求点C的坐标是（﹣5，﹣2）．
（2）点M的坐标是（1，﹣），
点N的坐标是（1，1），
直线MN的方程是=，
即5x﹣2y﹣5=1．
点评：在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．
18、（1），（2）
【解析】
（1）首先根据周期为，得到，再根据图象的平移变换即可得到的解析式.
（2）根据得到，根据余弦定理得到，根据基本不等式即可得到，再求周长的取值范围即可.
【详解】
（1）周期，，.
将的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到
.
所以.
（2），.
因为，所以，.
.
因为，所以.
所以，即，.
所以.
本题第一问考查三角函数的周期和平移变换，第二问考查了余弦定理，同时还考查了基本不等式，属于中档题.
19、（1）；（2）详见解析.
【解析】
（1）令，将函数表示为等比数列，根据等比数列公式得到答案.
（2）将表示出来，利用错位相减法得到前N项和，最后证明不等式.
【详解】
（1）令，得，
∴，即
（2），设，则
，①
，②来
①-②得

，

本题考查了函数与数列的关系，错位相减法，综合性强，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
20、（1）三角形铁皮的面积为；（2）剪下的铁皮三角形的面积的最大值为.
【解析】
试题分析：（1）利用锐角三角函数求出和的长度，然后以为底边、以为高，利用三角形面积公式求出三角形的面积；（2）设，以锐角为自变量将和的长度表示出来，并利用面积公式求出三角形的面积的表达式，利用与之间的关系，令将三角形的面积的表达式表示为以为自变量的二次函数，利用二次函数的单调性求出三角形的面积的最大值，但是要注意自变量的取值范围作为新函数的定义域.
试题解析：（1）由题意知，
，
，
，即三角形铁皮的面积为；
（2）设，则，，
，
，
令，由于，所以，
则有，所以，
且，所以，
故，
而函数在区间上单调递增，
故当时，取最大值，即，
即剪下的铁皮三角形的面积的最大值为.
考点：1.三角形的面积；2.三角函数的最值；3.二次函数的最值
21、（1）；（2）， ，；（3）.
【解析】
（1）根据题意，分别求出每一个阴影部分图形的面积，即可得到前个阴影部分图形的面积的平均值；（2）依据递推式，结合分类讨论思想，即可求出数列的通项公式；（3）先求出的表达式，再依题意得到，分类讨论不等式恒成立的条件，取其交集，即得所求范围。
【详解】
（1）由题意有，第一个阴影部分图形面积是：；第二个阴影部分图形面积是： ；第三个阴影部分图形面积是：；所以第个阴影部分图形面积是：；故；
（2）由（1）知，，，所以，
，
当时，
当时，
，
综上，数列的通项公式为，。
（3）由（2）知，，，由题意可得，恒成立，
①当时，，即，所以，
②当时，，即，
所以，
③当时，，即，
所以，
综上，。
本题主要考查数列的通项公式求法，数列不等式恒成立问题的解法以及分类讨论思想的运用，意在考查学生逻辑推理能力及运算能力。