吉林省松原市实验高级中学等三校2025届数学高一下期末质量跟踪监视试题含解析.doc

吉林省松原市实验高级中学等三校2025届数学高一下期末质量跟踪监视试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知向量若为实数，则＝（ ）
A．2 B．1 C． D．
2．对数列，若区间满足下列条件：
①；②，
则称为区间套．下列选项中，可以构成区间套的数列是（ ）
A．；
B．
C．
D．
3．在中，角对应的边分别是，已知，的面积为，则外接圆的直径为（ ）
A． B． C． D．
4．将函数的图象向左平移个长度单位后，所得到的图象关于（　　）对称．
A．轴 B．原点 C．直线 D．点
5．样本中共有个个体，其值分别为、、、、.若该样本的平均值为，则样本的方差为（ ）
A． B． C． D．
6．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知是锐角，那么2是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．小于的正角 D．第一象限或第二象限
8．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，边上的高，且，则等于( )
A． B． C． D．
9．角的终边落在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．在天气预报中，有“降水概率预报”，例如预报“明天降水的概率为”，这是指（ ）
A．明天该地区有的地方降水，有的地方不降水
B．明天该地区降水的可能性为
C．气象台的专家中有的人认为会降水，另外有的专家认为不降水
D．明天该地区有的时间降水，其他时间不降水
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设函数的最小值为，则的取值范围是___________.
12．已知函数，数列的通项公式是，当取得最小值时，_______________.
13．从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则直线不经过第一象限的概率为__________．
14．若数列的首项，且（），则数列的通项公式是__________．
15．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”.在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的移动最少次数，满足，且，则解下4个环所需的最少移动次数为_____.
16．已知数列中，，，设，若对任意的正整数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某工厂共有200名工人，已知这200名工人去年完成的产品数都在区间（单位：万件）内，其中每年完成14万件及以上的工人为优秀员工，现将其分成5组，第1组、第2组第3组、第4组、第5组对应的区间分别为，，，，，并绘制出如图所示的频率分布直方图.

（1）选取合适的抽样方法从这200名工人中抽取容量为25的样本，求这5组分别应抽取的人数；
（2）现从（1）中25人的样本中的优秀员工中随机选取2名传授经验，求选取的2名工人在同一组的概率.
18．已知公差不为0的等差数列满足，是，的等比中项.
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，求的前项和.
19．为了了解某市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据进行分组，分组区间为：，并绘制出频率分布直方图，如图所示.

（1）求频率分布直方图中的值，并估计该市高中学生的平均成绩；
（2）设、、、四名学生的考试成绩在区间内，、两名学生的考试成绩在区间内，现从这6名学生中任选两人参加座谈会，求学生、至少有一人被选中的概率.
20．如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点，分别为和的中点.

（1）若，求三棱柱的体积；
（2）证明：平面；
（3）请问当为何值时，平面，试证明你的结论.
21．已知向量，，.
（1）若，求的值；
（2）设，若恒成立，求的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
求出向量的坐标，然后根据向量的平行得到所求值．
【详解】
∵，
∴．
又，
∴ ，解得．
故选D．
本题考查向量的运算和向量共线的坐标表示，属于基础题．
2、C
【解析】
由题意，得为递增数列，为递减数列，且当时，；而与
与均为递减数列，所以排除A,B,D，故选C.
考点：新定义题目.
3、D
【解析】
根据三角形面积公式求得；利用余弦定理求得；根据正弦定理求得结果.
【详解】
由题意得：，解得：
由余弦定理得：
由正弦定理得外接圆的直径为：
本题正确选项：
本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的综合应用问题，考查学生对于基础公式和定理的掌握情况.
4、A
【解析】
先利用辅助角公式将未变换后的函数解析式化简，再根据图象变换规律得出变换后的函数的解析式为，结合余弦函数的对称性来进行判断。
【详解】
，
函数的图象向左平移个长度单位后得到，
函数的图象关于轴对称，故选：A．
本题考查三角函数的图象变换，以及三角函数的对称性，在考查三角函数的基本性质问题时，应该将三角函数的解析式化为一般形式，并借助三角函数的图象来理解。
5、D
【解析】
根据样本的平均数计算出的值，再利用方差公式计算出样本的方差.
【详解】
由题意可知，，解得，
因此，该样本的方差为，故选：D.
本题考查方差与平均数的计算，灵活利用平均数与方差公式进行求解是解本题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.
6、A
【解析】
由正弦定理可得，再结合求解即可.
【详解】
解：由，
又，
则，
由，
则，
故选：A.
本题考查了正弦定理，属基础题.
7、C
【解析】
是锐角,∴，∴是小于的正角
8、A
【解析】
在中得到，，在中得到，利用面积公式计算得到.
【详解】
如图所示：
在中：，根据勾股定理得到
在中：利用勾股定理得到
， 故
故选A

本题考查了勾股定理，面积公式，意在考查学生解决问题的能力.
9、C
【解析】
由，即可判断.
【详解】
，则与的终边相同，则角的终边落在第三象限
故选：C
本题主要考查了判断角的终边所在象限，属于基础题.
10、B
【解析】
降水概率指的是降水的可能性，根据概率的意义作出判断即可.
【详解】
“明天降水的概率为”指的是“明天该地区降水的可能性是”，且明天下雨的可能性比较大，故选：B.
本题主要考查了概率的意义，掌握概率是反映出现的可能性大小的量是解题的关键，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、.
【解析】
确定函数的单调性，由单调性确定最小值．
【详解】
由题意在上是增函数，在上是减函数，又，
∴，，
故答案为．
本题考查分段函数的单调性．由单调性确定最小值，
12、110
【解析】
要使取得最小值，可令，即，对的值进行粗略估算即可得到答案.
【详解】
由题知：①.
要使①式取得最小值，可令①式等于.
即，.
又因为，，
则当时，，，①式.
则当时，，，①式.
当或时，①式的值会变大，
所以时，取得最小值.
故答案为：
本题主要考查数列的函数特征，同时考查了指数函数和对数函数的性质，核心素养是考查学生灵活运用知识解决问题的能力，属于难题.
13、
【解析】
首先求出试验发生包含的事件的取值所有可能的结果，满足条件事件直线不经过第一象限，符合条件的有种结果，根据古典概型概率公式得到结果.
【详解】
试验发生包含的事件，，
得到的取值所有可能的结果有：
共种结果，
由得，
当 时，直线不经过第一象限，符合条件的有种结果，
所以直线不经过第一象限的概率.
故答案为：
本题是一道古典概型题目，考查了古典概型概率公式，解题的关键是求出列举基本事件，属于基础题.
14、
【解析】
，得（）,两式相减得，即（），，得，经检验n=1不符合。所以
，
15、7
【解析】
利用的通项公式，依次求出，从而得到，即可得到答案。
【详解】
由于表示解下个圆环所需的移动最少次数，满足，且
所以，，
故，所以解下4个环所需的最少移动次数为7
故答案为7.
本题考查数列的递推公式，属于基础题。
16、
【解析】
∵，（，），当时，，，…，，并项相加，得：，
∴，又∵当时，也满足上式，
∴数列的通项公式为，∴
，令（），
则，∵当时，恒成立，∴在上是增函数，
故当时，，即当时， ，对任意的正整数，
当时，不等式恒成立，则须使，即对恒成立，即的最小值，可得，∴实数的取值范围为，故答案为.
点睛：本题考查数列的通项及前项和，涉及利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题通过并项相加可知当时，进而可得数列的通项公式，裂项、并项相加可知，通过求导可知是增函数，进而问题转化为，由恒成立思想，即可得结论.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）第1组：2；第2组：8,；第3组：9；第4组：3；第5组：3 （2）
【解析】
（1）根据频率之和为列方程，解方程求得的值.然后根据分层抽样的计算方法，计算出每组抽取的人数.
（2）利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】
（1）：，.
用分层抽样比较合适.
第1组应抽取的人数为，
第2组应抽取的人数为，
第3组应抽取的人数为，
第4组应抽取的人数为，
第5组应抽取的人数为.
（2）（1）中25人的样本中的优秀员工中，
第4组有3人，记这3人分别为，
第5组有3人，记这3人分别为.
从这6人中随机选取2名，所有的基本事件为：，，，，，，，，，，，，，，，共有15个基本事件.
选取的2名工人在同一组的基本事件有，，，，，共6个，
故选取的2名工人在同一组的概率为.
本小题主要考查补全频率分布，考查分层抽样，考查古典概型的计算，属于基础题.
18、（1）；（2）
【解析】
（1）根据条件列方程组，求出首项和公差即可得出通项公式；
（2）利用裂项相消法求和．
【详解】
（1）设等差数列的公差为 ，则

解得 或（舍去），
.
（2）,

.
本题考查了等差数列的通项公式，考查了利用裂项相消进行数列求和的方法，属于基础题．
19、（1）；（2）.
【解析】
（1）由频率分布直方图能求出a．由此能估计该市高中学生的平均成绩；
（2）现从这6名学生中任选两人参加座谈会，求出基本事件总数，再学生M、N至少有一人被选中包含的基本事件个数，由此能求出学生M、N至少有一人被选中的概率．
【详解】
（1）由频率分布直方图得：
，
∴估计该市高中学生的平均成绩为：
．
（2）设A、B、C、D四名学生的考试成绩在区间[80，90）内，
M、N两名学生的考试成绩在区间[60，70）内，
现从这6名学生中任选两人参加座谈会，
基本事件总数，
学生M、N至少有一人被选中包含的基本事件个数，
∴学生M、N至少有一人被选中的概率．
本题考查了利用频率分布直方图求平均数，考查了古典概型计算公式，考查了数学运算能力.
20、（1）4；（2）证明见解析；（3）时，平面，证明见解析.
【解析】
（1）直接根据三棱柱体积计算公式求解即可；
（2）利用中位线证明面面平行，再根据面面平行的性质定理证明平面；
（3）首先设为，利用平面列出关于参数的方程求解即可.
【详解】
（1）∵三棱柱的侧棱垂直于底面，
且，，，
∴由三棱柱体积公式得：；
（2）证明：取的中点，连接，，

∵，分别为和的中点，
∴，，
∵平面，平面，
∴平面，平面，
又，
∴平面平面，
∵平面，∴平面；
（3）连接，设，
则由题意知，，
∵三棱柱的侧棱垂直于底面，
∴平面平面，
∵，∴，又点是的中点，
∴平面，∴，
要使平面，只需即可，
又∵，∴，
∴，即，
∴，则时，平面.
本题考查了三棱柱的体积公式，线面平行的证明，利用线面垂直求参数，属于难题.
21、（1）；（2）.
【解析】
（1）由，转化为，利用弦化切的思想得出的值，从而求出的值；
（2）由，转化为，然后利用平面向量数量积的坐标运算律和辅助角公式与函数的解析式进行化简，并求出在区间的最大值，即可得出实数的取值范围．
【详解】
（1）∵，且，，，
∴，即，又∵，∴；
（2）易知，，
∵，∴，，
当时，，取得最大值：，
又恒成立，即，故．
本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查三角函数的最值，在求解含参函数的不等式恒成立问题，可以利用参变量分离法，转化为函数的最值来求解，考查转化与化归数学思想，考查计算能力，属于中等题．