山西省上党联盟2025年数学高一第二学期期末监测模拟试题含解析.doc

山西省上党联盟2025年数学高一第二学期期末监测模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（ ）
A．8π B．6π C．4π D．π
2．设函数，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知点G为的重心，若，，则=( )
A． B． C． D．
4．若干个人站成一排，其中为互斥事件的是(　　)
A．“甲站排头”与“乙站排头”
B．“甲站排头”与“乙不站排尾”
C．“甲站排头”与“乙站排尾”
D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”
5．已知两条平行直线和之间的距离等于，则实数的值为( )
A． B． C．或 D．
6．设正项等比数列的前项和为，若，，则公比（ ）
A． B． C． D．
7．在△ABC中，如果，那么cosC等于 （ ）
A． B． C． D．
8．在区间内任取一个实数，则此数大于2的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．若实数，满足约束条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知向量，，则，的夹角为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知扇形的面积为，圆心角为，则该扇形半径为__________．
12．已知两条直线, 将圆及其内部划分成三个部分, 则的取值范围是_______；若划分成的三个部分中有两部分的面积相等, 则的取值有_______种可能.
13．若点关于直线的对称点在函数的图像上，则称点、直线及函数组成系统，已知函数的反函数图像过点，且第一象限内的点、直线及函数组成系统，则代数式的最小值为________.
14．已知，且，.则的值是________.
15．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦.B.曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路，下图是按照一定的分形规律生长成一个数形图，则第13行的实心圆点的个数是________

16．在等比数列中，，，则__________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如果定义在上的函数，对任意的，都有， 则称该函数是“函数”．
（I）分别判断下列函数：①；②； ③，是否为“函数”？（直接写出结论）
（II）若函数是“函数”，求实数的取值范围．
（III）已知是“函数”，且在上单调递增，求所有可能的集合与
18．等差数列的各项均为正数，，的前项和为，为等比数列，，且 ．
（1）求与；
（2）求数列的前项和.
19．已知函数．
（I）求的最小正周期；
（II）求在上的最大值与最小值．
20．将边长分别为、、、…、、、…的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形，由小到大，依次记各阴影部分所在的图形为第个、第个、……、第个阴影部分图形.设前个阴影部分图形的面积的平均值为.记数列满足，

（1）求的表达式；
（2）写出，的值，并求数列的通项公式；
（3）定义，记，且恒成立，求的取值范围.
21．如图，在三棱柱中，各个侧面均是边长为的正方形，为线段的中点.

(1)求证:直线平面；
(2)求直线与平面所成角的余弦值；
(3)设为线段上任意一点，在内的平面区域(包括边界)是否存在点，使，并说明理由.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
设正方体的棱长为a，则＝8，∴a＝2.而此正方体的内切球直径为2，∴S表＝4π＝4π.选C.
2、C
【解析】
利用特殊值，对选项进行排除，由此得到正确选项.
【详解】
当时，，由此排除D选项.当时，，由此排除B选项.当时，，由此排除A选项.综上所述，本小题选C.
本小题主要考查分段函数求值，考查利用特殊值法解选择题，属于基础题.
3、B
【解析】
由重心分中线为，可得，又（其中是中点），再由向量的加减法运算可得．
【详解】
设是中点，则，又为的重心，∴．
故选B．
本题考查向量的线性运算，解题关键是掌握三角形重心的性质，即重心分中线为两段．
4、A
【解析】
根据不能同时发生的两个事件，叫互斥事件，依次判断．
【详解】
根据互斥事件不能同时发生，判断A是互斥事件；B、C、D中两事件能同时发生，故不是互斥事件；
故选A．
本题考查了互斥事件的定义．是基础题．
5、C
【解析】
利用两条平行线之间的距离公式可求的值.
【详解】
两条平行线之间的距离为，
故或，
故选C.
一般地，平行线和之间的距离为，应用该公式时注意前面的系数要相等.
6、D
【解析】
根据题意，求得，结合，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，正项等比数列满足，，
即，，所以，
又由，因为，所以.
故选：D.
本题主要考查了的等比数列的通项公式，以及等比数列的前n项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式，以及等比数列的前n项和公式，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
7、D
【解析】
解：由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c=2：3：4
可设a=2k，b=3k，c=4k（k＞0）由余弦定理可得，CosC=,选D
8、D
【解析】
根据几何概型长度型直接求解即可.
【详解】
根据几何概型可知，所求概率为：
本题正确选项：
本题考查几何概型概率问题的求解，属于基础题.
9、D
【解析】

画出表示的可行域，如图所示的开放区域，平移直线，由图可知，当直线经过时，直线在纵轴上的截距取得最大值，此时有最小值，无最大值，的取值范围是，故选A.
【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
10、A
【解析】
由题意得，即可得，再结合即可得解.
【详解】
由题意知，则.
，则，的夹角为.
故选：A.
本题考查了向量数量积的应用，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、2
【解析】
将圆心角化为弧度制，再利用扇形面积得到答案.
【详解】
圆心角为
扇形的面积为
故答案为2
本题考查了扇形的面积公式，属于简单题.
12、 3
【解析】
易知直线过定点，再结合图形求解.
【详解】
依题意得直线过定点，如图：

若两直线将圆分成三个部分，
则直线必须与圆相交于图中阴影部分.
又，
所以的取值范围是；
当直线位于时，
划分成的三个部分中有两部分的面积相等.
本题考查直线和圆的位置关系的应用，直线的斜率，结合图形是此题的关键.
13、
【解析】
根据函数的反函数图像过点可求出,由、直线及函数组成系统可知在的图象上，且， 代入化简为，换元则，利用单调性求解.
【详解】
因为函数的反函数图像过点，
所以，即，
由、直线及函数组成系统知在上，
所以，
代入化简得
，
令由知 ，故
则在上单调递减，
所以当即时，，故填.
本题主要考查了对称问题，反函数概念，根据条件求最值，函数的单调性，换元法，综合性大，难度大，属于难题.
14、2
【解析】

.
15、
【解析】
观察图像可知每一个实心圆点的下一行均分为一个实心圆点与一个空心圆点,每个空心圆点下一行均为实心圆点.再利用规律找到行与行之间的递推关系即可.
【详解】
由图像可得每一个实心圆点的下一行均分为一个实心圆点与一个空心圆点,每个空心圆点下一行均为实心圆点.故从第三行开始,每行的实心圆点数均为前两行之和.
即 .故第1到第13行中实心圆点的个数分别为：
.
故答案为：
本题主要考查了递推数列的实际运用,需要观察求得行与行之间的实心圆点的递推关系,属于中等题型.
16、8
【解析】
可先计算出公比，从而利用求得结果.
【详解】
因为，所以，所以，则.
本题主要考查等比数列基本量的相关计算，难度很小.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（I）①、②是“函数”，③不是“函数”; （II）的取值范围为;
（III），
【解析】
试题分析：（1）根据“β函数”的定义判定．①、②是“β 函数”，③不是“β函数”；（2）由题意，对任意的x∈R，f（﹣x）+f（x）≠0，故f（﹣x）+f（x）=2cosx+2a由题意，对任意的x∈R，2cosx+2a≠0，即a≠﹣cosx即可得实数a的取值范围（3）对任意的x≠0，分（a）若x∈A且﹣x∈A，（b）若x∈B且﹣x∈B，验证。
（I）①、②是“函数”，③不是“函数”．
（II）由题意，对任意的，，即．
因为，所以．
故．
由题意，对任意的，，即．
故实数的取值范围为．
（Ⅲ）（）对任意的
（a）若且，则，，这与在上单调递增矛盾，（舍），
（b）若且，则，这与是“函数”矛盾，（舍）．
此时，由的定义域为，故对任意的，与恰有一个属于，另一个属于．
（） 假设存在，使得，则由，故．
（a）若，则，矛盾，
（b）若，则，矛盾．
综上，对任意的，，故，即，则．
（）假设，则，矛盾．故
故，．
经检验，．符合题意
点睛：此题是新定义的题目，根据已知的新概念，新信息来马上应用到题型中，根据 函数的定义即函数没有关于原点对称的部分即可，故可以从图像的角度来研究函数；第三问可以假设存在，最后推翻结论即可。
18、（1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）的公差为，的公比为，利用等比数列的通项公式和等差数列的前项和公式，由列出关于的方程组，解出的值，从而得到与的表达式.
（2）根据数列的特点,可用错位相减法求它的前项和,由（1）的结果知
，两边同乘以2得

由(1)(2)两式两边分别相减,可转化为等比数列的求和问题解决.
试题解析：（1）设的公差为，的公比为，则为正整数，
，
依题意有，即，
解得或者（舍去），
故． 4分
（2）． 6分
，
，
两式相减得8分
，
所以12分
考点：1、等差数列和等比数列；2、错位相减法求特数列的前项和.
19、（I）；（II）3，.
【解析】
（I）利用降次公式和辅助角公式化简解析式，由此求得的最小正周期.（II）根据函数的解析式，以及的取值范围，结合三角函数值域的求法，求得在区间上的最大值与最小值.
【详解】
（I）

的最小正周期．
（Ⅱ）
，．
本小题主要考查降次公式和辅助角公式，考查三角函数在闭区间上的最值的求法，属于中档题.
20、（1）；（2）， ，；（3）.
【解析】
（1）根据题意，分别求出每一个阴影部分图形的面积，即可得到前个阴影部分图形的面积的平均值；（2）依据递推式，结合分类讨论思想，即可求出数列的通项公式；（3）先求出的表达式，再依题意得到，分类讨论不等式恒成立的条件，取其交集，即得所求范围。
【详解】
（1）由题意有，第一个阴影部分图形面积是：；第二个阴影部分图形面积是： ；第三个阴影部分图形面积是：；所以第个阴影部分图形面积是：；故；
（2）由（1）知，，，所以，
，
当时，
当时，
，
综上，数列的通项公式为，。
（3）由（2）知，，，由题意可得，恒成立，
①当时，，即，所以，
②当时，，即，
所以，
③当时，，即，
所以，
综上，。
本题主要考查数列的通项公式求法，数列不等式恒成立问题的解法以及分类讨论思想的运用，意在考查学生逻辑推理能力及运算能力。
21、 (1)见解析 (2)（3）存在点，使，详见解析
【解析】
(1)设与的交点为，证明进而证明直线平面.
(2)先证明直线与平面所成角的为，再利用长度关系计算.
(3) 过点作，证明平面，即，所以存在.
【详解】
(1)设与的交点为，显然为中点，又点为线段的中点，所以，

平面，平面，
平面.
(2) 平面，平面,
，
，平面，平面，
平面，点在平面上的投影为点，直线与平面所成角的为，
，，，
.
(3)过点作，又因为平面，平面，所以，

平面，平面，
平面，
，所以存在点，使.
本题考查了立体几何线面平行，线面夹角，动点问题，将线线垂直转化为线面垂直是解题的关键.