广东省广州市白云区广州外国语学校2025年数学高一下期末学业水平测试模拟试题含解析.doc

广东省广州市白云区广州外国语学校2025年数学高一下期末学业水平测试模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知直线与互相垂直，垂足坐标为，且，则的最小值为（ ）
A．1 B．4 C．8 D．9
2．函数的部分图像如图所示，如果，且，则等于（ ）

A． B． C． D．1
3．甲、乙两位同学在高一年级的5次考试中，数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是，则下列叙述正确的是（ ）

A．，乙比甲成绩稳定
B．，甲比乙成绩稳定
C．，乙比甲成绩稳定
D．，甲比乙成绩稳定
4．若，则在中，正数的
个数是（ ）
A．16 B．72 C．86 D．100
5．一组数据0，1，2，3，4的方差是
A． B． C．2 D．4
6．若函数有零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（）
A． B． C． D．
8．已知，下列不等式中必成立的一个是( )
A． B． C． D．
9．已知平面平面，，点，，直线，直线，直线，，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=（弦矢+矢矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为，弦长为米的弧田，其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米（其中，）

A．14 B．16 C．18 D．20
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若点，关于直线l对称，那么直线l的方程为________.
12．已知无穷等比数列满足：对任意的，，则数列公比的取值集合为__________．
13．已知数列满足，若，则数列的通项______.
14．已知中，的对边分别为，若，则的周长的取值范围是__________．
15．设为虚数单位，复数的模为______．
16．函数的图象过定点______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知 是同一平面内的三个向量，其中.
（1）若，求 ；
（2）若与共线，求的值.
18．已知直角梯形中， ， ， ， ， ，过作，垂足为， 分别为的中点，现将沿折叠，使得．
（1）求证：
（2）在线段上找一点，使得，并说明理由．

19．如图，某人在离地面高度为的地方，测得电视塔底的俯角为，塔顶的仰角为，求电视塔的高.（精确到）

20．已知各项为正数的数列满足：且．
（1）证明：数列为等差数列．
（2）若，证明：对一切正整数n，都有
21．已知．
（1）化简；
（2）若，且，求的值．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
代入垂足坐标，可得，然后根据基本不等式，可得结果.
【详解】
由两条直线的交点坐标为
所以代入
可得，即
又，
所以
即
当且仅当，即时，取等号
故选：B
本题主要考查基本不等式，属基础题.
2、D
【解析】
试题分析：观察图象可知，其在的对称轴为，
由已知，
选.
考点：正弦型函数的图象和性质
3、C
【解析】
甲的平均成绩，甲的成绩的方差；
乙的平均成绩，乙的成绩的方差.
∴，乙比甲成绩稳定.
故选C.
4、C
【解析】
令，则，当1≤n≤14时，画出角序列终边如图，

其终边两两关于x轴对称，故有均为正数，
而，由周期性可知，当14k-13≤n≤14k时，Sn>0，
而，其中k=1,2,…,7，所以在中有14个为0，其余
都是正数，即正数共有100－14＝86个，故选C.
5、C
【解析】
先求得平均数，再根据方差公式计算。
【详解】
数据的平均数为：
方差是＝2，
选C。
方差公式，代入计算即可。
6、D
【解析】
令，得，再令，得出，并构造函数，将问题转化为直线与函数
在区间有交点，利用数形结合思想可得出实数的取值范围．
【详解】
令，得，
，令，
则，所以，，
构造函数，其中，由于，
，，
所以，当时，直线与函数在区间有交点，
因此，实数的取值范围是，故选D．
本题考查函数的零点问题，在求解含参函数零点的问题时，若函数中只含有单一参数，可以采用参变量分离法转化为参数直线与定函数图象的交点个数问题，难点在于利用换元法将函数解析式化简，考查数形结合思想，属于中等题．
7、A
【解析】
由题意知两直线互相垂直，根据直线分别求出定点与定点，再利用基本不等式，即可得出答案。
【详解】
直线过定点，
直线过定点,
又因直线与直线互相垂直，
即
即，当且仅当时取等号
故选A
本题考查直线位置关系，考查基本不等式，属于中档题。
8、B
【解析】
根据不等式的性质，对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
对于A选项，由于，不等号方向不相同，不能相加，故A选项错误.
对于B选项，由于，所以，而，根据不等式的性质有：，故B选项正确.
对于C选项，，而两个数的正负无法确定，故无法判断的大小关系，故C选项错误.
对于D选项，，而两个数的正负无法确定，故无法判断的大小关系，故D选项错误.
故选：B.
本小题主要考查根据不等式的性质判断不等式是否成立，属于基础题.
9、D
【解析】
平面外的一条直线平行平面内的一条直线则这条直线平行平面，若两平面垂直则一个平面内垂直于交线的直线垂直另一个平面，主要依据这两个定理进行判断即可得到答案．
【详解】
如图所示：

由于，，，所以，又因为，所以，故A正确，
由于，，所以，故B正确，
由于，，在外，所以，故C正确；
对于D，虽然，当不一定在平面内，故它可以与平面相交、平行，不一定垂直，所以D不正确；
故答案选D
本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判断以及性质应用，要求熟练掌握定理是解题的关键．
10、B
【解析】
根据题意画出图形，结合图形求出扇形的面积与三角形的面积，计算弓形的面积，再利用弧长公式计算弧田的面积，求两者的差即可.
【详解】
如图所示，扇形的半径为，
所以扇形的面积为，
又三角形的面积为，
所以弧田的面积为，
又圆心到弦的距离等于，所示矢长为，
按照上述弧田的面积经验计算可得弦矢矢，
所以两者的差为.
故选：B.
本题主要考查了扇形的弧长公式和面积公式的应用，以及我国古典数学的应用问题，其中解答中认真审题，合理利用扇形弧长和面积公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
利用直线垂直求出对称轴斜率，利用中点坐标公式求出中点，再由点斜式可得结果.
【详解】
求得，
∵点，关于直线l对称，
∴直线l的斜率1，
直线l过AB的中点，
∴直线l的方程为，
即.
故答案为：.
本题主要考查直线垂直的性质，考查了直线点斜式方程的应用，属于基础题.
12、
【解析】
根据条件先得到：的表示，然后再根据是等比数列讨论公比的情况.
【详解】
因为，所以，即；取连续的有限项构成数列，不妨令，则，且，则此时必为整数；
当时，，不符合；
当时，，符合，
此时公比 ；
当时， ，不符合；
当时，，不符合；
故：公比.
本题考查无穷等比数列的公比，难度较难,分析这种抽象类型的数列问题时，经常需要进行分类，可先通过列举的方式找到思路，然后再准确分析.
13、
【解析】
直接利用数列的递推关系式和叠加法求出结果．
【详解】
因为，所以当时，

. 时也成立.
所以数列的通项.
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠加法在数列中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．
14、
【解析】
中，由余弦定理可得，∵ ，∴ ，化简可得 ．∵，∴，解得 （当且仅当 时，取等号）．故 ．再由任意两边之和大于第三边可得 ，故有 ，故的周长的取值范围是，故答案为．
点睛：由余弦定理求得，代入已知等式可得，利用基本不等式求得，故．再由三角形任意两边之和大于第三边求得 ，由此求得△ABC的周长的取值范围．
15、5
【解析】
利用复数代数形式的乘法运算化简，然后代入复数模的公式，即可求得答案．
【详解】
由题意，复数，则复数的模为．
故答案为5
本题主要考查了复数的乘法运算，以及复数模的计算，其中熟记复数的运算法则，和复数模的公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
16、
【解析】
令真数为，求出的值，代入函数解析式可得出定点坐标.
【详解】
令，得，当时，.
因此，函数的图象过定点.
故答案为：.
本题考查对数型函数图象过定点问题，一般利用真数为来求得，考查计算能力，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
（1）根据向量的坐标的运算法则和向量垂直的条件，以及模的定义即可求出．
（2）根据向量共线的条件即可求出．
【详解】
（1）因为

（2）由已知：

本题考查了向量的坐标运算以及向量的垂直和平行的坐标表示，属于基础题．
18、（1）见解析 （2）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由已知得：面面 ；（II）分析可知，点满足时，面BDR⊥面BDC．
理由如下先计算 再求得，
，再证面面 面．
试题解析：
（Ⅰ）由已知得：面面

（II）分析可知，点满足时，面BDR⊥面BDC．
理由如下：取中点，连接
容易计算
在 中∵ 可知，
∴在中，
又在中，为中点面 ，
∴面 面．

19、
【解析】
过作的垂线，垂足为，再利用直角三角形与正弦定理求解
【详解】
解：设人的位置为，塔底为，塔顶为，
过作的垂线，垂足为，
则，，，
，
所以，
答：电视塔的高为约.
本题考查利用正弦定理测量高度，考查基本分析求解能力，属基础题
20、（1）证明见解析．（2）证明见解析．
【解析】
（1）根据所给递推公式，将式子变形，即可由等差数列定义证明数列为等差数列.
（2）根据数列为等差数列，结合等差数列通项公式求法求得通项公式，并变形后令.由求得的取值范围，即可表示出，由不等式性质进行放缩，求得后，即可证明不等式成立.
【详解】
（1）证明：各项为正数的数列满足：
则，，
同取倒数可得，
所以，
由等差数列定义可知数列为等差数列．
（2）证明： 由（1）可知数列为等差数列．，
则数列是以为首项，以为公差的等差数列.
则，
令，
因为，
所以，
则，
所以，
所以
，
所以

由不等式性质可知，若，则总成立，
因而，
所以

所以
不等式得证.
本题考查了数列递推公式的应用，由定义证明等差数列，换元法及放缩法在证明不等式中的应用，属于中档题.
21、（1）；（2）.
【解析】
（1）利用诱导公式化简即得；（2）利用同角的平方关系求出的值，即得解.
【详解】
解：（1）

．
（2）因为，且，所以，
所以．
本题主要考查诱导公式和同角的三角函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于基础题.