资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，圆锥底面半径为rcm，母线长为5cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若⊙O的半径为4，且∠B＝2∠D，连接AC，则线段AC的长为（ ）
A．4 B．4 C．6 D．8
3．下列关于三角形的内心说法正确的是（ ）
A．内心是三角形三条角平分线的交点
B．内心是三角形三边中垂线的交点
C．内心到三角形三个顶点的距离相等
D．钝角三角形的内心在三角形外
4．在四张完全相同的卡片上．分别画有等腰三角形、矩形、菱形、圆，现从中随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．1
5．如图，将直尺与含30°角的三角尺放在一起，若∠1＝25°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
6．如图，在矩形中，于F，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（ ）
A．21.7米 B．22.4米 C．27.4米 D．28.8米
8．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转 60°得到△AED，若线段AB=3，则BE=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图所示的几何体的左视图是( )
A． B．
C． D．
10．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互增了182件．如果全组共有x名同学，则根据题意列出的方程是（ ）．
A．x（x+1）=182 B．x（x+1）=182×
C．x（x－1）=182 D．x（x－1）=182×2
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．计算：=________．
12．如图是反比例函数在第二象限内的图像，若图中的矩形OABC的面积为2，则k=________．
13．已知：如图，△ABC的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形BCED的面积为_____．
14．如图，，直线a、b与、、分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若AB=3，BC=5，DE=4，则EF的长为______．
15．一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点在轴上，顶点，，，，，，在轴上，已知正方形的边长为，，则正方形的边长为__________________．
16．已知点P是正方形ABCD内部一点，且△PAB是正三角形，则∠CPD＝_____度．
17．将抛物线y＝2x2的图象向上平移1个单位长度后，所得抛物线的解析式为_____．
18．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝6，∠D＝30°，点E是AB边的中点，点F是BC边上一动点，将△BEF移沿直线EF折叠，得到△GEF，当FG∥AC时，BF的长为_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）已知抛物线与轴交于A，B两点(A在B左边)，与轴交于C点，顶点为P，OC=2AO.
(1)求与满足的关系式；
(2)直线AD//BC，与抛物线交于另一点D，△ADP的面积为，求的值；
(3)在(2)的条件下，过(1，-1)的直线与抛物线交于M、N两点，分别过M、N且与抛物线仅有一个公共点的两条直线交于点G，求OG长的最小值.
20．（6分）已知x2﹣8x+16﹣m2＝0（m≠0）是关于x的一元二次方程
（1）证明：此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝6，另两边长b、c是该方程的两个实数根，求△ABC的面积．
21．（6分）小红想利用阳光下的影长测量学校旗杆AB的高度．如图，他在某一时刻在地面上竖直立一个2米长的标杆CD，测得其影长DE=0.4米．
（1）请在图中画出此时旗杆AB在阳光下的投影BF．
（2）如果BF=1.6，求旗杆AB的高．
22．（8分）某商品的进价为每件10元，现在的售价为每件15元，每周可卖出100件，市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于20元），那么每周少卖10件.设每件涨价元（为非负整数），每周的销量为件.
（1）求与的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）如果经营该商品每周的利润是560元，求每件商品的售价是多少元？
23．（8分）甲、乙、丙三位同学在知识竞赛问答环节中，采用抽签的方式决定出场顺序．求甲比乙先出场的概率．
24．（8分）如图所示，在中，点在边上，联结，，交边于点，交延长线于点，且.
（1）求证：；
（2）求证：.
25．（10分）关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣3x﹣3k﹣2＝0有一个根为﹣1，求k的值及方程的另一个根．
26．（10分）如图，在△中，，，点从点出发，沿以每秒的速度向点运动，同时点从点出发，沿以的速度向点运动，设运动时间为秒
（1）当为何值时，．
（2）当为何值时，∥．
（3）△能否与△相似？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】直接根据弧长公式即可得出结论．
【详解】∵圆锥底面半径为rcm，母线长为5cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，
∴2πr=×2π×5，解得r=1．
故选A．
本题考查的是圆锥的相关计算，熟记弧长公式是解答此题的关键．
2、B
【分析】连接OA，OC，利用内接四边形的性质得出∠D＝60°，进而得出∠AOC＝120°，利用含30°的直角三角形的性质解答即可．
【详解】连接OA，OC，过O作OE⊥AC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝2∠D，
∴∠B+∠D＝3∠D＝180°，
解得：∠D＝60°，
∴∠AOC＝120°，
在Rt△AEO中，OA＝4，
∴AE＝2，
∴AC＝4，
故选：B．
此题考查内接四边形的性质，关键是利用内接四边形的性质得出∠D=60°．
3、A
【分析】根据三角形内心定义即可得到答案.
【详解】∵内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，
∴A正确，B、C、D均错误，
故选：A.
此题考查三角形的内心，熟记定义是解题的关键.
4、C
【分析】在等腰三角形、矩形、菱形、圆中是中心对称图形的有矩形、菱形、圆，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】∵等腰三角形、矩形、菱形、圆中是中心对称图形的有矩形、菱形、圆，
∴现从中随机抽取一张，卡片上画的图形恰好是中心对称图形的概率是：．
故选：C．
此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．也考查了中心对称图形的定义．
5、C
【分析】通过三角形外角的性质得出∠BEF＝∠1+∠F，再利用平行线的性质∠2＝∠BEF即可.
【详解】
∵∠BEF是△AEF的外角，∠1＝25°，∠F＝30°，
∴∠BEF＝∠1+∠F＝55°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠BEF＝55°，
故选：C．
本题主要考查平行线的性质及三角形外角的性质，掌握三角形外角的性质及平行线的性质是解题的关键.
6、C
【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出，再由面积法求出的长即可．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
，
的面积，
；
故选：．
本题考查了矩形的性质、勾股定理、直角三角形的面积，熟练掌握矩形的性质，熟记直角三角形的面积求法是解题的关键．
7、A
【解析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．首先解直角三角形Rt△CDN，求出CN，DN，再根据tan24°=，构建方程即可解决问题.
【详解】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．
在Rt△CDN中，∵，设CN=4k，DN=3k，
∴CD=10，
∴（3k）2+（4k）2=100，
∴k=2，
∴CN=8，DN=6，
∵四边形BMNC是矩形，
∴BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66，
在Rt△AEM中，tan24°=，
∴0.45=，
∴AB=21.7（米），
故选A．
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
8、B
【解析】分析：根据旋转的性质得出∠BAE=60°，AB=AE，得出△BAE是等边三角形，进而得出BE=1即可．
详解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，
∴∠BAE=60°，AB=AE，
∴△BAE是等边三角形，
∴BE=1．
故选B．
点睛：本题考查旋转的性质，关键是根据旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
9、A
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】从左边看共一列，第一层是一个小正方形，第二层是一个小正方形，
故选：A．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
10、C
【解析】试题分析：先求每名同学赠的标本，再求x名同学赠的标本，而已知全组共互赠了182件，故根据等量关系可得到方程．
每名同学所赠的标本为：（x-1）件，
那么x名同学共赠：x（x-1）件，
根据题意可列方程：x（x-1）=182，故选C.
考点：本题考查的是根据实际问题列一元二次方程
点评：找到关键描述语，找到等量关系，然后准确的列出方程是解答本题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、-1
【分析】根据零指数幂及特殊角的三角函数值计算即可.
【详解】解：原式=1-4×=-1，
故答案为：-1.
本题考查了实数的运算、零指数幂、特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是熟练每部分的运算法则．
12、-1
【解析】解：因为反比例函数，且矩形OABC的面积为1，所以|k|=1，即k=±1，又反比例函数的图象在第二象限内，k＜0，所以k=﹣1．故答案为﹣1．
13、1
【解析】设四边形BCED的面积为x，则S△ADE=12﹣x，由题意知DE∥BC且DE=BC，从而得，据此建立关于x的方程，解之可得．
【详解】设四边形BCED的面积为x，则S△ADE=12﹣x，
∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，且DE=BC，
∴△ADE∽△ABC，
则=，即，
解得：x=1，
即四边形BCED的面积为1，
故答案为1．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握中位线定理及相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质．
14、
【分析】直接根据平行线分线段成比例定理即可得．
【详解】，
，
，
，
解得，
故答案为：．
本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解题关键．
15、
【分析】由正方形的边长为，，，得D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°，根据三角函数的定义和正方形的性质，即可得到答案．
【详解】∵正方形的边长为，，，
∴D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°，
∴D1E1=C1D1=，B2C2==，
同理可得：B3C3= ，
以此类推：正方形的边长为：，
∴正方形的边长为：．
故答案是：．
本题主要考查正方形的性质和三角函数的定义综合，掌握用三角函数的定义解直角三角形，是解题的关键．
16、1
【解析】如图，先求出∠DAP＝∠CBP＝30°，由AP＝AD＝BP＝BC，就可以求出∠PDC＝∠PCD＝15°，进而得出∠CPD的度数．
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∵△ABP是等边三角形，
∴AP＝BP＝AB，∠PAB＝∠PBA＝60°，
∴AP＝AD＝BP＝BC，∠DAP＝∠CBP＝30°．
∴∠BCP＝∠BPC＝∠APD＝∠ADP＝75°，
∴∠PDC＝∠PCD＝15°，
∴∠CPD＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD＝180°﹣15°﹣15°＝1°．
故答案为1．
本题考查了正方形的性质的运用，等边三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，解答时运用三角形内角和定理是关键．
17、y＝2x2＋1．
【分析】根据左加右减，上加下减的规律，直接得出答案即可．
【详解】解：∵抛物线y＝2x2的图象向上平移1个单位，
∴平移后的抛物线的解析式为y＝2x2＋1．
故答案为：y＝2x2＋1．
考查二次函数的平移问题；用到的知识点为：上下平移只改变点的纵坐标，上加下减．
18、或
【分析】由平行四边形的性质得出∠B＝∠D＝30°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝6，作CH⊥AD于H，则CH＝CD＝3，DH＝CH＝3＝AD，得出AH＝DH，由线段垂直平分线的性质得出CA＝CD＝AB＝6，由等腰三角形的性质得出∠ACB＝∠B＝30°，由平行线的性质得出∠BFG＝∠ACB＝30°，分两种情况：
①作EM⊥BF于M，在BF上截取EN＝BE＝3，则∠ENB＝∠B＝30°，由直角三角形的性质得出EM＝BE＝，BM＝NM＝EM＝，得出BN＝2BM＝3，再证出FN＝EN＝3，即可得出结果；
②作EM⊥BC于M，在BC上截取EN＝BE＝3，连接EN，则∠ENB＝∠B＝30°，得出EN∥AC，EM＝BE＝，BM＝NM＝EM＝，BN＝2BM＝3，证出FG∥EN，则∠G＝∠GEN，证出∠GEN＝∠ENB＝∠B＝∠G＝30°，推出∠BEN＝120°，得出∠BEG＝120°﹣∠GEN＝90°，由折叠的性质得∠BEF＝∠GEF＝∠BEG＝45°，证出∠NEF＝∠NFE，则FN＝EN＝3，即可得出结果．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝30°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝6，
作CH⊥AD于H，
则CH＝CD＝3，DH＝CH＝3＝AD，
∴AH＝DH，
∴CA＝CD＝AB＝6，
∴∠ACB＝∠B＝30°，
∵FG∥AC，
∴∠BFG＝∠ACB＝30°，
∵点E是AB边的中点，
∴BE＝3，
分两种情况：
①作EM⊥BF于M，在BF上截取EN＝BE＝3，连接EN，如图1所示：
则∠ENB＝∠B＝30°，
∴EM＝BE＝，BM＝NM＝EM＝，
∴BN＝2BM＝3，
由折叠的性质得：∠BFE＝∠GFE＝15°，
∵∠NEF＝∠ENB﹣∠BFE＝15°＝∠BFE，
∴FN＝EN＝3，
∴BF＝BN+FN＝3+3；
②作EM⊥BC于M，在BC上截取EN＝BE＝3，连接EN，如图2所示：
则∠ENB＝∠B＝30°，
∴EN∥AC，EM＝BE＝，BM＝NM＝EM＝，
∴BN＝2BM＝3，
∵FG∥AC，
∴FG∥EN，
∴∠G＝∠GEN，
由折叠的性质得：∠B＝∠G＝30°，
∴∠GEN＝∠ENB＝∠B＝∠G＝30°，
∵∠BEN＝180°﹣∠B﹣∠ENB＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠BEG＝120°﹣∠GEN＝120°﹣30°＝90°，
由折叠的性质得：∠BEF＝∠GEF＝∠BEG＝45°，
∴∠NEF＝∠NEG+∠GEF＝30°+45°＝75°，∠NFE＝∠BEF+∠B＝45°+30°＝75°，∴∠NEF＝∠NFE，∴FN＝EN＝3，
∴BF＝BN﹣FN＝3﹣3；
故答案为：或．
本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识；掌握翻折变换的性质和等腰三角形的性质是解答本题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）将抛物线解析式进行因式分解，可求出A点坐标，得到OA长度，再由C点坐标得到OC长度，然后利用OC=2AO建立等量关系即可得到关系式；
（2）利用待定系数法求出直线BC的k，根据平行可知AD直线的斜率k与BC相等，可求出直线AD解析式，与抛物线联立可求D点坐标，过P作PE⊥x轴交AD于点E，求出PE即可表示△ADP的面积，从而建立方程求解；
（3）为方便书写，可设抛物线解析式为：，设，，过点M的切线解析式为，两抛物线与切线联立，由可求k，得到M、N的坐标满足，将（1，-1）代入，推出G为直线上的一点，由垂线段最短，求出OG垂直于直线时的值即为最小值.
【详解】解：（1）
令y=0，，解得，
令x=0，则
∵， A在B左边
∴A点坐标为（-m，0），B点坐标为（4m，0），C点坐标为（0，-4am2）
∴AO=m，OC=4am2
∵OC=2AO
∴4am2=2m
∴
（2）∵
∴C点坐标为（0，-2m）
设BC直线为，代入B（4m，0），C（0，-2m）得
，解得
∵AD∥BC，
∴设直线AD为，代入A（-m，0）得，，
∴
∴直线AD为
直线AD与抛物线联立得，
，解得或
∴D点坐标为（5m，3m）
又∵
∴顶点P坐标为
如图，过P作PE⊥x轴交AD于点E，则E点横坐标为，代入直线AD得
∴PE=
∴S△ADP=
解得
∵m＞0
∴
∴.
（3）在（2）的条件下，可设抛物线解析式为：，
设，，过点M的切线解析式为，
将抛物线与切线解析式联立得：
，整理得，
∵，
∴方程可整理为
∵只有一个交点，
∴
整理得即
解得
∴过M的切线为
同理可得过N的切线为
由此可知M、N的坐标满足
将代入整理得
将（1，-1）代入得
在（2）的条件下，抛物线解析式为，即
∴
整理得
∴G点坐标满足，即G为直线上的一点，
当OG垂直于直线时，OG最小，如图所示，
直线与x轴交点H（5,0），与y轴交点F（0，）
∴OH=5，OF=，FH=
∵
∴
∴OG的最小值为.
本题考查二次函数与一次函数的综合问题，难度很大，需要掌握二次函数与一次函数的图像与性质和较强的数形结合能力.
20、（1）证明见解析；（2）△ABC的面积为．
【分析】（1）计算判别式的值得到△＝4m2，从而得到△＞0，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）利用求根公式解方程得到x＝4±m，即b＝4+m，c＝4﹣m，讨论：当b＝a＝6时，即4+m＝6，解得m＝2，利用勾股定理计算出底边上的高，然后计算△ABC的面积；当c＝a时，即4﹣m＝6，解得m＝﹣2，即a＝c＝6，b＝2，利用同样方法计算△ABC的面积．
【详解】（1）证明：△＝（﹣8）2﹣4×（16﹣m2）
＝4m2，
∵m≠0，
∴m2＞0，
∴△＞0，
∴此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵
∴ ，
即b＝4+m，c＝4﹣m，
∵m≠0
∴b≠c
当b＝a时，4+m＝6，解得m＝2，即a＝b＝6，c＝2，
如图，AB=AC=6，BC=2，AD为高，
则BD=CD=1，
∴
∴△ABC的面积为：×2×＝；
当c＝a时，4﹣m＝6，解得m＝﹣2，即a＝c＝6，b＝2，
如图，AB=AC=6，BC=2，AD为高，
则BD=CD=1，
∴
∴△ABC的面积为：×2×＝，
即△ABC的面积为．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：①当△＞0，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0，方程有两个相等的实数根；③当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系．
21、 (1)见解析 (2) 8m
【详解】试题分析：（1）利用太阳光线为平行光线作图：连结CE，过A点作AF∥CE交BD于F，则BF为所求；
（2）证明△ABF∽△CDE，然后利用相似比计算AB的长．
试题解析：（1）连结CE，过A点作AF∥CE交BD于F，则BF为所求，如图；
（2）∵AF∥CE，
∴∠AFB=∠CED，
而∠ABF=∠CDE=90°，
∴△ABF∽△CDE，
∴， 即，
∴AB=8（m）,
答：旗杆AB的高为8m．
22、（1），；（2）每件的售价是17元或者18元.
【分析】（1）根据“每件的售价每涨1元，那么每周少卖10件”，即可求出y与x的函数关系式，然后根据x的实际意义和售价每件不能高于20元即可求出x的取值范围；
（2）根据总利润=单件利润×件数，列方程，并解方程即可．
【详解】（1）解：与的函数关系式为
∵售价每件不能高于20元
∴
∴自变量的取值范围是；
（2）解：设每件涨价元（为非负整数），则每周的销量为件，
根据题意列方程，
解得：，
所以，每件的售价是17元或者18元．
答：如果经营该商品每周的利润是560元，求每件商品的售价是17元或者18元．
此题考查的是一次函数的应用和一元二次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．
23、
【分析】首先根据题意用列举法列出所有等可能的结果与甲比乙先出场的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：甲、乙、丙三位同学采用抽签的方式决定出场顺序，所有可能出现的结果有：
（甲，乙，丙）、（甲、丙、乙）（乙，甲，丙）、（乙，丙，甲）（丙，甲，乙）、（丙，乙，甲）
共有6种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“甲比乙先出场”（记为事件）的结果有3中，所以
本题考查了列举法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24、（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）先根据已知证明，从而得出，再通过等量代换得出，从而结论可证；
（2）由得出，再由得出，从而有，再加上则可证明，从而结论可证.
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
又，
，
即，
.
（2），
，
，
，
，
，
，
，
.
本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定方法及性质是解题的关键.
25、k＝1，x＝
【分析】将x＝﹣1代入原方程可求出k值的值，然后根据根与系数的关系即可求出另外一根．
【详解】将x＝﹣1代入（k+1）x2﹣3x﹣3k﹣2＝0，
∴k＝1，
∴该方程为2x2﹣3x﹣5＝0，设另外一根为x，
由根与系数的关系可知：﹣x＝，
∴x＝．
本题考查了根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解题的关键.
26、（1）秒；（2）秒；（3）能，秒或5秒
【分析】（1）分别用x表示出线段BP和CQ的长，根据其相等求得x的值即可；
（2）当PQ∥BC时，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于AP，PQ，AB，AC的比例关系式，我们可根据P，Q的速度，用时间x表示出AP，AQ，然后根据得出的关系式求出x的值．
（3）本题要分两种情况进行讨论．已知了∠A和∠C对应相等，那么就要分成AP和CQ对应成比例以及AP和BC对应成比例两种情况来求x的值．
【详解】（1）依题意可得：BP=20-4x，CQ=3x
当BP=CQ时，20-4x=3x
∴（秒）
答：当秒时，BP=CQ
（2）AP=4x，AB=20，AQ=30-3x，AC=30
所以当时，有
即：
解得：x=（秒）
答：当x=秒时，；
（3）能．
①当△APQ∽△CQB时，有
即：
解得：x=（秒）
②当△APQ∽△CBQ时，有
即：
解得：x=5（秒）或x=-10（秒）（舍去）
答：当x=秒或x=5秒时，△APQ与△CQB相似．
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，根据三角形相似得出线段比是解题的关键．
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