资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．抛物线上部分点的横坐标、纵坐标的对应值如下表：
…
－3
－2
－1
0
1
…
…
－6
0
4
6
6
…
容易看出，是它与轴的一个交点，那么它与轴的另一个交点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．如图， AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，OC，OD，若∠A＝20°，则∠COD的度数为（ ）
A．40° B．60° C．80° D．100°
3．不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到颜色相同的球的概率为( )
A． B． C． D．
4．若，面积之比为，则相似比为（ ）
A． B． C． D．
5．对于方程，下列说法正确的是（ ）
A．一次项系数为3 B．一次项系数为-3
C．常数项是3 D．方程的解为
6．用配方法解方程时，方程可变形为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD、BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣，结合图象分析下列结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③当x＜0时，y随x的增大而增大：④若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，则m＜﹣3且n＞2；⑤＜0，其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．如图⊙O的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为（ ）
A． B．4 C． D．8
10．已知正比例函数的图象与反比例函数图象相交于点，下列说法正确的是（ ）
A．反比例函数的解析式是
B．两个函数图象的另一交点坐标为
C．当或时，
D．正比例函数与反比例函数都随的增大而增大
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列6个结论：①abc＜0；②b＜a+c； ③4a+2b+c＜0；④2a+b+c＞0；⑤>0；⑥2a+b=0；其中正确的结论的有_______．
12．计算：×＝______．
13．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中小球的个数是_______．
14．试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式为________.
15．在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是_____．
16．直角三角形三角形两直角边长为3和4，三角形内一点到各边距离相等，那么这个距离为________．
17．若、为关于x的方程（m≠0）的两个实数根，则的值为________．
18．一个小组新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共______人.
三、解答题(共66分)
19．（10分）解一元二次方程：x2﹣2x﹣3＝1．
20．（6分）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)、B(3，4)、C(2，2)（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1；
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1；
（3）△A2B2C2的面积是 平方单位．
21．（6分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，△ABC的三个顶点都在格点（即这些小正方形的顶点）上，且它们的坐标分别是A（2，﹣3），B（5，﹣1），C（1，3），结合所给的平面直角坐标系，解答下列问题：
（1）请在如图坐标系中画出△ABC；
（2）画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'，并写出△A'B'C'各顶点坐标。
22．（8分）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若，是一元二次方程的两个根，且，求m的值．
23．（8分）如图，直线y＝1x+1与y轴交于A点，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO＝1．
（1）求H点的坐标及k的值；
（1）点P在y轴上，使△AMP是以AM为腰的等腰三角形，请直接写出所有满足条件的P点坐标；
（3）点N（a，1）是反比例函数y＝（x＞0）图象上的点，点Q（m，0）是x轴上的动点，当△MNQ的面积为3时，请求出所有满足条件的m的值．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（1）求点A与点B的坐标；
（2）若a＝，点M是抛物线上一动点，若满足∠MAO不大于45°，求点M的横坐标m的取值范围．
（3）经过点B的直线l：y＝kx+b与y轴正半轴交于点C．与抛物线的另一个交点为点D，且CD＝4BC．若点P在抛物线对称轴上，点Q在抛物线上，以点B，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
25．（10分）已知在中，，，，为边上的一点．过点作射线，分别交边、于点、．
（1）当为的中点，且、时，如图1，_______：
（2）若为的中点，将绕点旋转到图2位置时，_______；
（3）若改变点到图3的位置，且时，求的值．
26．（10分）已知关于的一元二次方程.
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根为负数，求的取值范围.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】根据（0，6）、（1，6）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可．
【详解】∵抛物线经过（0，6）、（1，6）两点，
∴对称轴x＝＝；
点（−2，0）关于对称轴对称点为（3，0），
因此它与x轴的另一个交点的坐标为（3，0）．
故选C.
本题考查了二次函数的对称性，解题的关键是求出其对称轴.
2、C
【分析】利用圆周角与圆心角的关系得出∠COB=40°，再根据垂径定理进一步可得出∠DOB=∠COB，最后即可得出答案.
【详解】∵∠A=20°，
∴∠COB=2∠A=40°，
∵CD⊥AB，OC=OD，
∴∠DOB=∠COB=40°，
∴∠COD=∠DOB+∠COB=80°.
故选：C.
本题主要考查了圆周角、圆心角与垂径定理的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
3、C
【分析】用列表法或树状图法可以列举出所有等可能出现的结果，然后看符合条件的占总数的几分之几即可
【详解】解：两次摸球的所有的可能性树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中两次都摸到颜色相同的球结果共有2种，
∴两次都摸到颜色相同的球的概率为.
故选C．
本题考查用树状图或列表法求等可能事件发生的概率，关键是列举出所有等可能出现的结果数，然后用分数表示，同时注意“放回”与“不放回”的区别．
4、C
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可直接得出结果．
【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为9：4，
∴它们的相似比为3：1．
故选：C．
此题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．
5、B
【分析】先把方程化为一元二次方程的一般形式，再求出其一次项系数、二次项系数及常数项即可．
【详解】∵原方程可化为2x2−3x＝0，
∴一次项系数为−3，二次项系数为2，常数项为0，方程的解为x=0或x=，
故选：B．
本题考查的是一元二次方程的一般形式，熟知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）中，ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项是解答此题的关键．
6、D
【详解】解：∵2x2+3=7x，
∴2x2-7x=-3，
∴x2-x=-，
∴x2-x+=-+，
∴（x-）2=．
故选D．
本题考查解一元二次方程-配方法，掌握配方法的步骤进行计算是解题关键．
7、B
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠AGE+∠AEG=90°，∠BFE+∠FEB=90°，
∵∠GEF=90°，
∴∠GEA+∠FEB=90°，
∴∠AGE=∠FEB，∠AEG=∠EFB，
∴△AEG∽△BFE，
∴，
又∵AE=BE，
∴AE2=AG•BF=2，
∴AE=（舍负），
∴GF2=GE2+EF2=AG2+AE2+BE2+BF2=1+2+2+4=9，
∴GF的长为3，
故选B.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质的应用，利用勾股定理即可得解，解题的关键是证明△AEG∽△BFE．
8、C
【分析】根据题意和函数图象中的数据，利用二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠1)与x轴交于点(﹣3，1)，其对称轴为直线x，
∴抛物线y=ax2+bx+c(a≠1)与x轴交于点(﹣3，1)和(2，1)，且，
∴a=b，
由图象知：a＜1，c＞1，b＜1，
∴abc＞1，故结论①正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠1)与x轴交于点(﹣3，1)，
∴9a﹣3b+c=1．
∵a=b，
∴c=﹣6a，
∴3a+c=﹣3a＞1，
故结论②正确；
∵当x时，y随x的增大而增大；当x＜1时，y随x的增大而减小，
故结论③错误；
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠1)与x轴交于点(﹣3，1)和(2，1)，
∴y=ax2+bx+c=a(x+3)(x﹣2)．
∵m，n(m＜n)为方程a(x+3)(x﹣2)+3=1的两个根，
∴m，n(m＜n)为方程a(x+3)(x﹣2)=﹣3的两个根，
∴m，n(m＜n)为函数y=a(x+3)(x﹣2)与直线y=﹣3的两个交点的横坐标，
结合图象得：m＜﹣3且n＞2，
故结论④成立；
∵当x时，y1，
∴1．
故结论⑤正确．
故选：C．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠1)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞1时，抛物线向上开口；当a＜1时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab＞1)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab＜1)，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于(1，c)；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞1时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=1时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜1时，抛物线与x轴没有交点．
9、C
【详解】∵直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE=CD，
∵∠A=22.5°，
∴∠BOC=45°，
∴OE=CE，
设OE=CE=x，
∵OC=4，
∴x2+x2=16，
解得：x=2，
即：CE=2，
∴CD=4，
故选C．
10、C
【解析】由题意可求正比例函数解析式和反比例函数解析式，由正比例函数和反比例函数的性质可判断求解．
【详解】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，
正比例函数，反比例函数
两个函数图象的另一个角点为
，选项错误
正比例函数中，随的增大而增大，反比例函数中，在每个象限内随的增大而减小，
选项错误
当或时，
选项正确
故选：C．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练运用反比例函数与一次函数的性质解决问题是本题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、①④⑤⑥
【分析】①由抛物线的开口方向判断a与1的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与1的关系，然后根据对称轴位置确定b的符号，可对①作判断；
②令x＝－1，则y＝ a－b＋c，根据图像可得：a－b＋c＜1，进而可对②作判断；
③根据对称性可得：当x＝2时，y＞1，可对③对作判断；
④根据2a＋b＝1和c＞1可对④作判断；
⑤根据图像与x轴有两个交点可对⑤作判断；
⑥根据对称轴为：x＝1可得：a＝－b，进而可对⑥判作断．
【详解】解：①∵该抛物线开口方向向下，
∴a＜1．
∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴b＞1；
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞1，
∴abc＜1；
故①正确；
②∵令x＝－1，则y＝ a－b＋c＜1，
∴a＋c＜b，
故②错误；
③根据抛物线的对称性知，当x＝2时，y＞1，
即4a＋2b＋c＞1；
故③错误；
④∵对称轴方程x＝－＝1，
∴b＝－2a，
∴2a＋b＝1，
∵c＞1，
∴2a＋b＋c＞1，
故④正确；
⑤∵抛物线与x轴有两个交点，
∴ax2＋bx＋c＝1由两个不相等的实数根，
∴＞1，
故⑤正确．
⑥由④可知：2a＋b＝1，
故⑥正确．
综上所述，其中正确的结论的有：①④⑤⑥．
故答案为：①④⑤⑥．
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，二次函数最值的熟练运用．
12、1．
【解析】×＝=1，
故答案为1.
13、1
【解析】根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为1%，然后根据概率公式计算n的值．
【详解】解：根据题意得＝1%，
解得n＝1，
所以这个不透明的盒子里大约有1个除颜色外其他完全相同的小球．
故答案为1．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
14、答案不唯一，如y=x2﹣4x+2，即y=（x﹣2）2﹣1．
【分析】由题意得，设，此时可令 的数，然后再由与y轴的交点坐标为(0，2)求出k的值，进而可得到二次函数的解析式.
【详解】解：设，
将(0，2)代入，解得，
故或y=x2﹣4x+2．
故答案为：答案不唯一，如y=x2﹣4x+2，即y=（x﹣2）2﹣1．
考点：1.二次函数的图象及其性质；2.开放思维.
15、（3，﹣2）
【解析】根据平面直角坐标系内两点关于原点对称横纵坐标互为相反数，即可得出答案．
【详解】解：平面直角坐标系内两点关于原点对称横纵坐标互为相反数，
∴点（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣2），
故答案为（3，﹣2）．
本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标位置关系，难度较小．
16、1
【解析】连接OA，OB，OC利用小三角形的面积和等于大三角形的面积即可解答
【详解】解：连接OA，OB，OC，则点O到三边的距离就是△AOC，△BOC，△AOB的高线，
设到三边的距离是x，则三个三角形的面积的和是：
AC•x+BC•x+AB•x=AC•BC，
由题意可得:AC=4,BC=3,AB=5
∴×4•x+×3•x+×5•x=×3×4
解得:x=1．
故答案为:1.
本题中点到三边的距离就是直角三角形的内切圆的半径长，内切圆的半径= ．
17、-2
【分析】根据根与系数的关系，，代入化简后的式子计算即可.
【详解】∵，，
∴，
故答案为：
本题主要考查一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数关系，熟记：两根之和是，两根之积是，是解题的关键．
18、1
【解析】每个人都要送给他自己以外的其余人，等量关系为：人数×（人数﹣1）=72，把相关数值代入计算即可．
【详解】设这小组有x人．由题意得：
x（x﹣1）=72
解得：x1=1，x2=﹣8（不合题意，舍去）．
即这个小组有1人．
故答案为：1．
本题考查了一元二次方程的应用，得到互送贺卡总张数的等量关系是解决本题的关键，注意理解答本题中互送的含义，这不同于直线上点与线段的数量关系．
三、解答题(共66分)
19、x1＝﹣1，x2＝2．
【分析】先把方程左边分解，原方程转化为x+1＝1或x﹣2＝1，然后解一次方程即可．
【详解】解：∵x2﹣2x﹣2＝1，
∴（x+1）（x﹣2）＝1，
∴x+1＝1或x﹣2＝1，
∴x1＝﹣1，x2＝2．
本题考查了一元二次方程的解法：配方法、公式法和因式分解法．三种方法均可解出方程的根，这里选用的是因式分解法．
20、（1）见解析；（2）见解析；（3）1
【分析】（1）根据平移的方向与距离进行画图即可；
（2）根据点B为位似中心，且位似比为2：1进行画图即可；
（3）由网格特点可知，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，根据坐标可求边长和面积，再根据相似比即可求出面积．
【详解】解：（1）如图所示，△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；
（3）则由网格特点可知：AC＝BC＝，AC⊥BC，
∴△ABC的面积＝．
又∵△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，
∴△A2B2C2的面积＝．
故答案为：1．
本题主要考查了利用平移变换和位似变换进行作图，解决问题的关键是掌握：平移图形时，要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
21、（1）图见解析；（2）图见解析；A′(-2，-3)，B′(-5，-1)，C′(-1，3)
【分析】（1）在坐标系内描出各点，顺次连接各点即可；
（2）分别作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接，并写出各点坐标即可；
【详解】（1）如图，△ABC为所求；
（2）如图，△A'B'C'为所求；A′(-2，-3)，B′(-5，-1)，C′(-1，3)
本题考查的是作图−轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
22、（1）m＜；（2）﹣1．
【解析】试题分析：（1）根据方程根的个数结合根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
（2）根据方程的解析式结合根与系数的关系得出，，再结合完全平方公式可得出，代入数据即可得出关于关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值，经验值m=﹣1符合题意，此题得解．
试题解析：（1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△=4﹣4×1×2m=4﹣8m＞0，解得：m＜，∴m的取值范围为m＜．
（2）∵，是一元二次方程的两个根，∴，，∴=4﹣4m=8，解得：m=﹣1．
当m=﹣1时，△=4﹣8m=12＞0，∴m的值为﹣1．
考点：根与系数的关系；根的判别式．
23、（1）k＝4；（1）点P的坐标为（0，6）或（0，1+），或（0，1﹣）；（2）m＝7或2．
【解析】（1）先求出OA=1，结合tan∠AHO=1可得OH的长，即可得知点M的横坐标，代入直线解析式可得点M坐标，代入反比例解析式可得k的值；
（1）分AM=AP和AM=PM两种情况分别求解可得；
（2）先求出点N（4，1），延长MN交x轴于点C，待定系数法求出直线MN解析式为y=-x+3．据此求得OC=3，再由S△MNQ=S△MQC-S△NQC=2知QC=1，再进一步求解可得．
【详解】（1）由y＝1x+1可知A（0，1），即OA＝1，
∵tan∠AHO＝1，
∴OH＝1，
∴H（1，0），
∵MH⊥x轴，
∴点M的横坐标为1，
∵点M在直线y＝1x+1上，
∴点M的纵坐标为4，即M（1，4），
∵点M在y＝上，
∴k＝1×4＝4；
（1）①当AM＝AP时，
∵A（0，1），M（1，4），
∴AM＝，
则AP＝AM＝，
∴此时点P的坐标为（0，1﹣）或（0，1+）；
②若AM＝PM时，
设P（0，y），
则PM＝ ，
∴＝，
解得y＝1（舍）或y＝6，
此时点P的坐标为（0，6），
综上所述，点P的坐标为（0，6）或（0，1+），或（0，1﹣）；
（2）∵点N（a，1）在反比例函数y＝（x＞0）图象上，
∴a＝4，
∴点N（4，1），
延长MN交x轴于点C，
设直线MN的解析式为y＝mx+n，
则有
解得，
∴直线MN的解析式为y＝﹣x+3．
∵点C是直线y＝﹣x+3与x轴的交点，
∴点C的坐标为（3，0），OC＝3，
∵S△MNQ＝2，
∴S△MNQ＝S△MQC﹣S△NQC＝×QC×4﹣×QC×1＝QC＝2，
∴QC＝1，
∵C（3，0），Q（m，0），
∴|m﹣3|＝1，
∴m＝7或2，
故答案为7或2．
本题是反比例函数综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、等腰三角形的判定与性质、两点之间的距离公式及三角形的面积计算．
24、（1）A（﹣3，0），B（1，0）；（2）M（4，7）；﹣2≤m≤4；（3）点P的坐标为P（﹣1，4）或（﹣1，）．
【分析】（1）y＝a（x+3）（x﹣1）,令y＝0,则x＝1或﹣3,即可求解;
（2）分∠MAO=45°,∠M′AO=45°两种情况,分别求解即可;
（3）分当BD是矩形的边, BD是矩形的边两种情况,分别求解即可．
【详解】（1）y＝a（x+3）（x﹣1）,令y＝0,则x＝1或﹣3,
故点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）,（1，0）;
（2）抛物线的表达式为:y＝（x+3）（x﹣1）①,
当∠MAO＝45°时,如图所示,则直线AM的表达式为:y＝x②,
联立①②并解得:m＝x＝4或﹣3（舍去﹣3）,故点M（4,7）;
②∠M′AO＝45°时,
同理可得:点M（﹣2,﹣1）;
故:﹣2≤m≤4;
（3）①当BD是矩形的对角线时,如图2所示,
过点Q作x轴的平行线EF,过点B作BE⊥EF,过点D作DF⊥EF,
抛物线的表达式为:y＝ax2+2ax﹣3a,函数的对称轴为:x＝1,
抛物线点A、B的坐标分别为:（﹣3,0）、（1，0）,则点P的横坐标为:1,OB＝1,
而CD＝4BC,则点D的横坐标为：﹣4,故点D（﹣4,5a）,即HD＝5a,
线段BD的中点K的横坐标为:,则点Q的横坐标为:﹣2,
则点Q（﹣2,﹣3a）,则HF＝BE＝3a,
∵∠DQF+∠BQE＝90°,∠BQE+∠QBE＝90°,
∴∠QBE＝∠DQF,
∴△DFQ∽△QEB,则,,解得:a＝（舍去负值）,
同理△PGB≌△DFQ（AAS）,
∴PG＝DF＝8a＝4,故点P（﹣1,4）;
②如图3,当BD是矩形的边时,
作DI⊥x轴,QN⊥x轴,过点P作PL⊥DI于点L,
同理△PLD≌△BNQ（AAS）,
∴BN＝PL＝3,
∴点Q的横坐标为4,则点Q（4,21a）,
则QN＝DL＝21a,同理△PLD∽△DIB,
∴,即,解得:a＝（舍去负值），
LI＝26a＝,故点P（﹣1, ）;
综上,点P的坐标为:P（﹣1,4）或（﹣1, ）．
本题主要考查的是二次函数综合运用,涉及到矩形的性质、图形的全等和相似等,其中（2）、（3）,要注意分类求解,避免遗漏．
25、（1）2；（2）2；（3）
【分析】（1）由为的中点，结合三角形的中位线的性质得到 从而可得答案；
（2）如图，过作于 过作于结合（1）求解再证明利用相似三角形的性质可得答案；
（3）过点分别作于点，于点，证明,可得 再证明，利用相似三角形的性质求解 同法求解 从而可得答案．
【详解】解：（1）为的中点，
故答案为：
（2）如图，过作于 过作于
由（1）同理可得 ：
故答案为：
（3）过点分别作于点，于点，
∵，∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
同理可得：．
∴．
本题考查的是矩形的性质，三角形中位线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
26、（1）见解析；（2）
【分析】（1）计算方程根的判别式，判断其符号即可；
（2）求方程两根，结合条件则可求得m的取值范围．
【详解】（1），
∵，
∴方程总有实数根；
（2）∵，
∴，，
∵方程有一个根为负数，
∴，
∴．
本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
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