资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，以扇形 OAB 的顶点 O 为原点，半径 OB 所在的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，点 B 的坐标为(2，0)，若抛物线 (n 为常数)与扇形 OAB 的边界总有两个公共点则 n 的取值范围是( )
A．n>-4 B． C． D．
2．能说明命题“如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，另一个是钝角”为假命题的两个角是 （ ）
A．120°，60° B．95°，105° C．30°，60° D．90°，90°
3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），△OAB沿x轴向右平移后得到△O'A'B'，A的对应点A'是直线上一点，则点B与其对应点B'间的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．若关于的一元二次方程有实数根，则取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．下列运算正确的是（ ）
A．5m+2m=7m2
B．﹣2m2•m3=2m5
C．（﹣a2b）3=﹣a6b3
D．（b+2a）（2a﹣b）=b2﹣4a2
6．已知一组数据共有个数，前面个数的平均数是，后面个数的平均数是，则这个数的平均数是（ ）
A． B． C． D．
7．用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知反比例函数的表达式为，它的图象在各自象限内具有 y随x的增大而增大的特点，则k的取值范围是（ ）．
A．k>-2 B． C． D．
9．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成“求抛物线的顶点坐标”，规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成解答.过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有丁 B．乙和丁 C．乙和丙 D．甲和丁
10．若点，，在反比例函数的图像上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数y=ax2-2ax-1（a是常数且a≠0），下列结论正确的是（ ）
A．当a=1时，函数图像过点(-1，1)
B．当a= -2时，函数图像与x轴没有交点
C．当a，则当x1时，y随x的增大而减小
D．当a，则当x1时，y随x的增大而增大
12．如图，已知点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为2的线段的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，点p是∠的边OA上的一点，点p的坐标为（12,5），则tanα=_____．
14．若分别是方程的两实根，则的值是__________.
15．一个口袋中装有10个红球和若干个黄球．在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次先从口袋中摸出10个球，求出其中红球数与10的比值，再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程20次，得到红球数与10的比值的平均数为0.1．根据上述数据，估计口袋中大约有_______个黄球
16．在平面直角坐标系中，与位似，位似中心为原点，点与点是对应顶点，且点A，点的坐标分别是，，那么与的相似比为__________．
17．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________．
18．已知x＝1是一元二次方程x2＋mx＋n＝0的一个根，则m2＋2mn＋n2的值为_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，点是的内心，的延长线交于点，交的外接圆于点，连接，过点作直线，使；
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求.
20．（8分）如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，延长BA与⊙O相交于点F．若的长为，则图中阴影部分的面积为_____．
21．（8分）商场销售某种冰箱，该种冰箱每台进价为2500元，已知原销售价为每台2900元时，平均每天能售出8台．若在原销售价的基础上每台降价50元，则平均每天可多售出4台．设每台冰箱的实际售价比原销售价降低了元．
（1）填表：
每天的销售量/台
每台销售利润/元
降价前
8
400
降价后
（2）商场为使这种冰箱平均每天的销售利润达到最大时，则每台冰箱的实际售价应定为多少元？
22．（10分）在中， ， 记，点为射线上的动点，连接，将射线绕点顺时针旋转角后得到射线，过点作的垂线，与射线交于点，点关于点的对称点为，连接.
（1）当为等边三角形时，
① 依题意补全图1；
②的长为________；
（2）如图2，当，且时， 求证：；
（3）设， 当时，直接写出的长. （用含的代数式表示）
23．（10分）已知：如图，中，平分，是上一点，且．判断与的数量关系并证明．
24．（10分）如图，（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝20°，∠OAC＝80°，AO＝，BO：CO＝1：3，求AB的长．经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2），请回答：∠ADB＝ °，AB＝ ．
（2）请参考以上思路解决问题：如图3，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC⊥AD，AO＝6，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝1：3，求DC的长．
25．（12分）如图，于点是上一点，是以为圆心，为半径的圆．是上的点，连结并延长，交于点，且．
（1）求证：是的切线（证明过程中如可用数字表示的角，建议在图中用数字标注后用数字表示）；
（2）若的半径为5，，求线段的长．
26．为提升学生的艺术素养，某校计划开设四门选修课程：声乐、舞蹈、书法、摄影．要求每名学生必须选修且只能选修一门课程，为保证计划的有效实施，学校随机对部分学生进行了一次调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计表和统计图．
学生选修课程统计表
课程
人数
所占百分比
声乐
14
舞蹈
8
书法
16
摄影
合计
根据以上信息，解答下列问题：
（1） ， ．
（2）求出的值并补全条形统计图．
（3）该校有1500名学生，请你估计选修“声乐”课程的学生有多少名．
（4）七（1）班和七（2）班各有2人选修“舞蹈”课程且有舞蹈基础，学校准备从这4人中随机抽取2人编排“舞蹈”在开班仪式上表演，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的2人恰好来自同一个班级的概率．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】根据∠AOB＝45°求出直线OA的解析式，然后与抛物线解析式联立求出有一个公共点时的n值，即为一个交点时的最大值，再求出抛物线经过点B时的n的值，即为一个交点时的最小值，然后写出n的取值范围即可．
【详解】解：由图可知，∠AOB＝45°，
∴直线OA的解析式为y＝x，
联立得：，
，得时，抛物线与OA有一个交点，
此交点的横坐标为，
∵点B的坐标为（2，0），
∴OA＝2，
∴点A的横坐标与纵坐标均为：，
∴点A的坐标为（），
∴交点在线段AO上；
当抛物线经过点B（2，0）时，，解得n=-4，
∴要使抛物线与扇形OAB的边界总有两个公共点，
则实数n的取值范围是，
故选：D．
本题考查了二次函数的性质，主要利用了联立两函数解析式确定交点个数的方法，根据图形求出有一个交点时的最大值与最小值是解题的关键．
2、D
【分析】根据两个直角互补的定义即可判断．
【详解】解：∵互补的两个角可以都是直角，
∴能说明命题“如果两个角互补，那么这两个角一定是锐角，另一个是钝角”为假命题的两个角是90°，90°，
故选：D.
考点：本题考查的是两角互补的定义
点评：解答本题的关键是熟练掌握两角互补的定义，即若两个角的和是180°，则这两个角互补．
3、C
【分析】根据平移的性质知BB′＝AA′．由一次函数图象上点的坐标特征可以求得点A′的坐标，所以根据两点间的距离公式可以求得线段AA′的长度，即BB′的长度．
【详解】解：如图，连接AA′、BB′，
∵点A的坐标为（0，4），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，
∴点A′的纵坐标是4，
又∵点A的对应点在直线y＝x上一点，
∴4＝x，解得x＝1，
∴点A′的坐标是（1，4），
∴AA′＝1，
∴根据平移的性质知BB′＝AA′＝1．
故选：C．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化−−平移．根据平移的性质得到BB′＝AA′是解题的关键．
4、D
【分析】根据△=b2-4ac≥0，一元二次方程有实数根，列出不等式，求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴
解得：．
故选：D．
本题考查一元二次方程根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
5、C
【解析】试题分析：选项 A，根据合并同类项法则可得5m+2m=（5+2）m=7m，错误；选项B，依据单项式乘单项式法则可得﹣2m2•m3=﹣2m5，错误；选项C，根据积的乘方法则可得（﹣a2b）3=﹣a6b3，正确；选项D，根据平方差公式可得（b+2a）（2a﹣b）=（2a+b）（2a﹣b）=4a2﹣b2，错误．故答案选C．
考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；单项式乘单项式；平方差公式．
6、C
【分析】由题意可以求出前14个数的和，后6个数的和，进而得到20个数的总和，从而求出20个数的平均数．
【详解】解：由题意得：（10×14+15×6）÷20=11.5，
故选：C．
此题考查平均数的意义和求法，求出这些数的总和，再除以总个数即可.
．
7、A
【解析】首先进行移项，然后把二次项系数化为1，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式．
【详解】∵ax2+bx+c=0，
∴ax2+bx=−c，
∴x2+x=−，
∴x2+x+=−+，
∴(x+)2=.
故选A.
8、C
【分析】先根据反比例数的图象在每一象限内y随x的增大而增大得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【详解】解：∵反比例数的图象在每一象限内y随x的增大而增大，
∴＜0，解得k＜-1．
故选：C．
本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数（k≠0）中，当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大是解答此题的关键
9、D
【分析】观察每一项的变化，发现甲将老师给的式子中等式右边缩小两倍，到了丁处根据丙的式子得出了错误的顶点坐标.
【详解】解：
，
可得顶点坐标为（-1，-6），
根据题中过程可知从甲开始出错，按照此步骤下去到了丁处可得顶点应为（1，-3），
所以错误的只有甲和丁.
故选D.
本题考查了求二次函数的顶点坐标和配方法，解题的关键是掌握配方法化顶点式的方法.
10、C
【解析】根据点A、B、C分别在反比例函数上，可解得、、的值，然后通过比较大小即可解答.
【详解】解：将A、B、C的横坐标代入反比函数上，
得：y1＝－6，y2＝3，y3＝2，
所以，；
故选C.
本题考查了反比例函数的计算，熟练掌握是解题的关键.
11、D
【分析】根据二次函数的图象与性质逐项分析即可．
【详解】y=ax2-2ax-1（a是常数且a≠0）
A、当a=1时，y=x2−2x−1，令x=−1，则y=2，此项错误；
B、当a=−2时，y=2x2+4x−1，对应的二次方程的根的判别式Δ=42−4×2×(−1)=24>0，则该函数的图象与x轴有两个不同的交点，此项错误；
C、当a>0，y=ax2−2ax−1=a(x-1)2-a+1，则x≥1时，y随x的增大而增大，此项错误；
D、当a<0时，y=ax2−2ax−1=a(x-1)2-a+1，则x≤1时，y随x的增大而增大，此项正确；
故答案为：D．
本题考查了二次函数的图象与性质，掌握熟记图象特征与性质是解题关键.错因分析：较难题.失分原因可能是：①不会判断抛物线与x轴的交点情况；②不能画出拋物线的大致图象来判断增减性．
12、D
【分析】先求出连接两点所得的所有线段总数，再用列举法求出取到长度为2的线段条数，由此能求出在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为2的线段的概率．
【详解】∵点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，
连接任意两点均可得到一条线段，
∴连接两点所得的所有线段总数n==15条，
∵取到长度为2的线段有：FC、AD、EB共3条
∴在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为2的线段的概率为：
p＝．
故选：D
此题主要考查了正多边形和圆以及几何概率，正确利用正六边形的性质得出AD的长是解题关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】根据题意过P作PE⊥x轴于E，根据P（12，5）得出PE=5，OE=12，根据锐角三角函数定义得出，代入进行计算求出即可．
【详解】解：过P作PE⊥x轴于E，
∵P（12，5），
∴PE=5，OE=12，
∴．
故答案为：．
本题考查锐角三角函数的定义的应用，注意掌握在Rt△ACB中，∠C=90°，则．
14、3
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得答案.
【详解】∵分别是方程的两实根，
∴=3，
故答案为：3
此题考查根与系数的关系，一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=-，x1x2=；熟练掌握韦达定理是解题关键.
15、2
【详解】解：∵小明通过多次摸球实验后发现其中摸到红色球的频率稳定在0.1，
设黄球有x个，
∴0.1（x+10）=10，
解得x=2．
答：口袋中黄色球的个数很可能是2个．
16、2
【分析】分别求出OA和OA1的长度即可得出答案.
【详解】根据题意可得，，，所以相似比=，故答案为2.
本题考查的是位似，属于基础图形，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
17、且
【分析】根据分母不等于0，且被开方数是非负数列式求解即可.
【详解】由题意得
x-1≥0且x-2≠0，
解得
且
故答案为：且
本题考查了代数式有意义时字母的取值范围，代数式有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当代数式是整式时，字母可取全体实数；②当代数式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．
18、
【分析】根据题意首先求出，再将所求式子因式分解，最后代入求值即可．
【详解】把代入一元二次方程得，
所以.
故答案为：1．
本题考查了一元二次方程的解及因式分解求代数式的值，明确方程的解的意义即熟练因式分解是解决问题的关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）首先根据三角形内心的性质得出，然后利用等弧对等角进行等量转换，得出，最后利用垂径定理即可得证；
（2）利用相似三角形的判定以及性质即可得解.
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵点是的内心，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵为半径，
∴直线是的切线；
（2）∵，
∴，
又∵（公共角），
∴，
∴，即，
∵，
∴
∴
∴．
此题主要考查圆的切线的证明以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握，即可解题.
20、S阴影＝2﹣．
【分析】由切线的性质和平行四边形的性质得到BA⊥AC，∠ACB=∠B=45°，∠DAC=∠ACB=45°=∠FAE，根据弧长公式求出弧长，得到半径，即可求出结果.
【详解】如图，连接AC，∵CD与⊙A相切，
∴CD⊥AC，
在平行四边形ABCD中，∵AB=DC,AB∥CD∥BC，
∴BA⊥AC，∵AB=AC,
∴∠ACB=∠B=45°，
∵AD∥BC,
∴∠FAE=∠B=45°，
∴∠DAC=∠ACB=45°=∠FAE，
∴
∴的长度为
解得R=2，
S阴=S△ACD-S扇形=
此题主要考查圆内的面积计算，解题的关键是熟知平行四边形的性质、切线的性质、弧长计算及扇形面积的计算.
21、（1），；（2）1．
【分析】（1）利润=一台冰箱的利润×销售数量，一台冰箱的利润=售价-进价，降低售价的同时，销售量会提高；
（2）根据每台的利润×销售数量列出函数关系式，再根据二次函数的性质，求利润的最大值．
【详解】解：（1）降价后销售数量为；
降价后的利润为：400-x，
故答案为：，；
（2）设总利润为y元，则
∵，开口向下
∴当时，最大
此时售价为（元）
答：每台冰箱的实际售价应定为1元时，利润最大．
本题考查了二次函数的实际应用中的销售问题，解题的关键是分析题意，找出关键的等量关系，列出函数关系式．
22、（1）①见解析，②. （2）见解析；（3）.
【分析】（1）①根据题意补全图形即可；
②根据旋转的性质和对称的性质易证得，利用特殊角的三角函数值即可求得答案；
（2）作于，于，证得四边形是矩形，求得，再证得，求得，再求得，即可证得结论.
（3）设则，证得，求得，再作DM⊥AB，PN⊥DQ，利用面积法求得，继而求得，再证得，求得，根据得，即可求得答案.
【详解】（1）解：①补全图形如图所示：
②∵为等边三角形，
∴，，
根据旋转的性质和对称的性质知：，，
∴，，
在和中，，
∴，
∴，
∵为等边三角形，，
∴，
在中，，
∴，
∴.
（2）作于，于，
∵，
∴，
由题意可知，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，关于点对称，
∴，，
∴，
∴为中点，
∴垂直平分，
∴；
（3）∵，AC⊥BD，
∴，
设则，
∵AC⊥BD，AP⊥AD，
∴∠ACB=∠PAD，
又∵∠ABC=∠PDA，
∴，
∴，
∴，
∴，
作DM⊥AB，PN⊥DQ，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
又∵∠AB=∠PDA，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴.
本题是三角形综合题，主要考查了三角形的旋转，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，构造出全等三角形、相似三角形、直角三角形是解本题的关键．
23、，理由见解析.
【分析】根据题意，先证明∽，则，得到，然后得到结论成立.
【详解】证明：；
理由如下：如图：
∵平分，
∴，
∵，
∴∽，
∴，
∴，
∴.
本题考查了相似三角形的判定和性质，以及等角对等边，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质进行解题.
24、（1）80，8；（2）DC＝8
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠ADB＝∠OAC＝80°，即可证明△BOD∽△COA，可得，求出AD的长度，再根据角的和差关系得∠ABD＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝80°＝∠ADB，即可得出AB＝AD＝8．
（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，通过证明△AOD∽△EOB，可得，根据线段的比例关系，可得AB＝2BE，根据勾股定理求出BE的长度，再根据勾股定理求出DC的长度即可．
【详解】解：（1）∵BD∥AC，
∴∠ADB＝∠OAC＝80°，
∵∠BOD＝∠COA，
∴△BOD∽△COA，
∴
∵AO＝6，
∴OD＝AO＝2，
∴AD＝AO+OD＝6+2＝8，
∵∠BAD＝20°，∠ADB＝80°，
∴∠ABD＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝80°＝∠ADB，
∴AB＝AD＝8，
故答案为：80，8；
（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，如图3所示：
∵AC⊥AD，BE∥AD，
∴∠DAC＝∠BEA＝90°，
∵∠AOD＝∠EOB，
∴△AOD∽△EOB，
∴
∵BO：OD＝1：3，
∴
∵AO＝6，
∴EO＝AO＝2，
∴AE＝AO+EO＝6+2＝8，
∵∠ABC＝∠ACB＝75°，
∴∠BAC＝30°，AB＝AC，
∴AB＝2BE，
在Rt△AEB中，BE2+AE2＝AB2，即（8）2+BE2＝（2BE）2，
解得：BE＝8，
∴AB＝AC＝16，AD＝3BE＝24，
在Rt△CAD中，AC2+AD2＝DC2，即162+242＝DC2，
解得：DC＝8．
本题考查了三角形的综合问题，掌握平行线的性质、相似三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键．
25、（1）见解析；（2）
【分析】(1)如图连结，先证得，即可得到，即可得到是的切线；
(2)由(1)知：过作于，先证明得到，设,在中，，即：解出方程即可求得答案．
【详解】证明：(1)如图，
连结，则，
∴，
∵，
∴，
∵，∴，而，
∴，
即有，
∴，故是的切线；
(2)由(1)知：过作于，∵, ∴，
而，由勾股定理，得：，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
设，
在中，，即：
解得：（舍去），
∴．
本题考查的是相似三角形的应用和切线的性质定理，勾股定理应用，是综合性题目．
26、（1）50、28；（2），补全图形见解析；（3）估计选修“声乐”课程的学生有420人；（4）所抽取的2人恰好来自同一个班级的概率为．
【分析】（1）由舞蹈人数及其所占百分比可得的值，声乐人数除以总人数即可求出的值；
（2）总人数乘以摄影对应百分比求出其人数，从而补全图形；
（3）利用样本估计总体思想求解可得；
（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1），，即，
故答案为50、28；
（2），补全图形如下：
（3）估计选修“声乐”课程的学生有（人．
（4）七（1）班的学生记作1，七（2）班的学生记作2，画树状图为：
∴共有12种等可能的结果数，其中抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果数为4，
则所抽取的2人恰好来自同一个班级的概率为．
本题考查了统计表、条形统计图、样本估计总体、列表法与树状图法求概率：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
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