重庆市两江新区2024-2025学年九上数学期末经典模拟试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图, 在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数和的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程的根为（ ）
A． B． C． D．
3．二次函数y = -2(x + 1)2+5的顶点坐标是( )
A．-1 B．5 C．(1, 5) D．(-1, 5)
4．正方形ABCD内接于⊙O，若⊙O的半径是，则正方形的边长是（　　）

A．1 B．2 C． D．2
5．x1，x2是关于x的一元二次方程x2 －mx ＋m－2＝0的两个实数根，是否存在实数m使＝0成立？则正确的结论是(　 　)
A．m＝0 时成立 B．m＝2 时成立 C．m＝0 或2时成立 D．不存在
6．抛物线y＝－x2+3x－5与坐标轴的交点的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．已知x2＋y＝3，当1≤x≤2时，y的最小值是(　　)
A．－1 B．2 C．2.75 D．3
8．抛物线的对称轴为
A． B． C． D．
9．为了测量某沙漠地区的温度变化情况，从某时刻开始记录了12个小时的温度，记时间为（单位：）温度为（单位：）.当时，与的函数关系是，则时该地区的最高温度是（ ）
A． B． C． D．
10．若将抛物线y=- x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是(    )
A． B．
C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．写出一个二次函数关系式，使其图象开口向上_______.
12．将一枚标有数字1、2、3、4、5、6的均匀正方体骰子抛掷一次，则向上一面数字为奇数的概率等于_____．
13．在中，，，，圆在内自由移动.若的半径为1，则圆心在内所能到达的区域的面积为______.

14．如图,从一块直径是的圆形铁皮上剪出一个圆心角是的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，那么圆锥的底面圆的半径为___________．

15．如图，半径为，正方形内接于，点在上运动，连接，作，垂足为，连接.则长的最小值为________.

16．如图，已知A(1，y1)，B(2，y2)为反比例函数y＝图象上的两点，一个动点P(x，0)在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是_________．

17．设m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2 021＝0的两个实数根,则m2＋3m＋n＝______.
18．如图，点是双曲线在第二象限分支上的一个动点，连接并延长交另一分支于点，以为底作等腰，且，点在第一象限，随着点的运动点的位置也不断变化，但点始终在双曲线上运动，则的值为________.

三、解答题(共66分)
19．（10分）已知如图所示，A，B，C是⊙O上三点，∠AOB=120°，C是 的中点，试判断四边形OACB形状，并说明理由．

20．（6分）已知二次函数．

（1）将二次函数化成的形式；
（2）在平面直角坐标系中画出的图象；
（3）结合函数图象，直接写出时x的取值范围．
21．（6分）（1）计算：；
（2）解方程．
22．（8分）如图，于，以直径作，交于点恰有，连接．
（1）如图1，求证：；

（2）如图2，连接分别交，于点连接试探究与之间的数量关系，并说明理由；

（3）在（2）的基础上，若，求的长．
23．（8分）如图，山顶有一塔AB，塔高33m．计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道EF，从与E点相距80m的C处测得A、B的仰角分别为27°、22°，从与F点相距50m的D处测得A的仰角为45°．求隧道EF的长度．（参考数据：tan22°≈0.40，tan27°≈0.51）

24．（8分）如图，是的直径，切于点，交于点，平分，连接.

（1）求证:；
（2）若，，求的半径.
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(﹣2，1)，B(﹣1，4)，C(﹣3，2)，以原点O为位似中心，△ABC与△A1B1C1位似比为1：2，在y轴的左侧，请画出△ABC放大后的图形△A1B1C1．

26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x＝2与x轴相交于点B，连结OA，抛物线y＝x2从点O沿OA方向平移，与直线x＝2交于点P，顶点M到A点时停止移动．
（1）求线段OA所在直线的函数解析式；
（2）设抛物线顶点M的横坐标为m．
①用含m的代数式表示点P的坐标；
②当m为何值时，线段PB最短；
（3）当线段PB最短时，平移后的抛物线上是否存在点Q，使S△QMA＝2S△PMA，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答．
【详解】解：A、由函数y=的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＞0一致，正确；
B、由函数y=的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＞0，与3＞0矛盾，错误；
C、由函数y=的图象可知k＜0与y=kx+3的图象k＜0矛盾，错误；
D、由函数y=的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＜0矛盾，错误．
故选A．
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
2、A
【解析】提公因式，用因式分解法解方程即可．
【详解】一元二次方程，
提公因式得：，
∴或，
解得：．
故选：A．
本题考查了解一元二次方程－因式分解法，熟练掌握因式分解法是解题的关键．
3、D
【解析】直接利用顶点式的特点写出顶点坐标．
【详解】因为y=2（x+1）2-5是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（-1，5）．
故选：D．
主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法，熟练掌握顶点式的特点是解题的关键.
4、B
【分析】作OE⊥AD于E,连接OD,在Rt△ODE中,根据垂径定理和勾股定理即可求解.
【详解】解：
作OE⊥AD于E,连接OD,则OD=.
在Rt△ODE中,易得∠EDO为45，△ODE为等腰直角三角形，ED=OE,
OD=== .
可得：ED=1，
AD=2ED=2，
所以B选项是正确的.
此题主要考查了正多边形和圆,本题需仔细分析图形,利用垂径定理与勾股定理即可解决问题.
5、A
【解析】∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2－bx＋b－2＝0的两个实数根
∴Δ=（b-2）2+4>0
x1+x2=b，x1×x2=b-2
∴
使＋＝0，则
故满足条件的b 的值为0
故选A.
6、B
【分析】根据△=b2-4ac与0的大小关系即可判断出二次函数y＝－x2+3x－5的图象与x轴交点的个数再加上和y轴的一个交点即可
【详解】解：对于抛物线y=－x2+3x－5，
∵△=9-20=-11＜0，
∴抛物线与x轴没有交点，与y轴有一个交点，
∴抛物线y=－x2+3x－5与坐标轴交点个数为1个，
故选：B．
本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是记住：△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
7、A
【分析】移项后变成求二次函数y=-x2+2的最小值，再根据二次函数的图像性质进行答题．
【详解】解：∵x2+y=2，
∴y=-x2+2．
∴该抛物线的开口方向向下，且其顶点坐标是（0，2）．
∵2≤x≤2，
∴离对称轴越远的点所对应的函数值越小，
∴当x=2时，y有最小值为-4+2=-2．
故选：A．
本题考查了二次函数的最值．求二次函数的最值有常见的两种方法，第一种是配方法，第二种是直接套用顶点的纵坐标求，熟练掌握二次函数的图像及性质是解决本题的关键．
8、B
【分析】根据顶点式的坐标特点，直接写出对称轴即可．
【详解】解∵：抛物线y=-x2+2是顶点式，
∴对称轴是直线x=0，即为y轴．
故选：B．
此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h．
9、D
【分析】利用配方法求最值.
【详解】解：
∵a=-1<0
∴当t=5时，y有最大值为36
故选：D
本题考查配方法求最值，掌握配方法的方法正确计算是本题的解题关键.
10、A
【分析】按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式.
【详解】∵ 将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，
∴y=-（x+3）2-2.
故答案为A.
本题考查了二次函数图象的平移，其规律是是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k （a，b，c为常数，a≠0），确定其顶点坐标(h，k)，在原有函数的基础上“h值正右移，负左移； k值正上移，负下移”．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】抛物线开口向上，则二次函数解析式的二次项系数为正数，据此写二次函数解析式即可．
【详解】∵图象开口向上，
∴二次项系数大于零，
∴可以是：（答案不唯一）.
故答案为：.
本题考察了二次函数的图象和性质，对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下.
12、．
【分析】根据概率公式计算概率即可．
【详解】∵在正方体骰子中，朝上的数字共有6种，为奇数的情况有3种，分别是：1，3，5，
∴朝上的数字为奇数的概率是＝；
故答案为：．
此题考查的是求概率问题,掌握概率公式是解决此题的关键．
13、24
【分析】根据题意做图，圆心在内所能到达的区域为△EFG，先求出AB的长，延长BE交AC于H点，作HM⊥AB于M，根据圆的性质可知BH平分∠ABC，故CH=HM,设CH=x=HM，根据Rt△AMH中利用勾股定理求出x的值，作EK⊥BC于K点，利用△BEK∽△BHC，求出BK的长，即可求出EF的长，再根据△EFG∽△BCA求出FG，即可求出△EFG的面积.
【详解】如图，由题意点O所能到达的区域是△EFG，连接BE，延长BE交AC于H点，作HM⊥AB于M，EK⊥BC于K，作FJ⊥BC于J．
∵，，，
∴AB=
根据圆的性质可知BH平分∠ABC
∴故CH=HM,设CH=x=HM，则AH=12-x，BM=BC=9,
∴AM=15-9=6
在Rt△AMH中，AH2=HM2+AM2
即AH2=HM2+AM2
（12-x）2=x2+62
解得x=4.5
∵EK∥AC，
∴△BEK∽△BHC，
∴，即
∴BK=2，
∴EF=KJ=BC-BK-JC=9-2-1=6，
∵EG∥AB，EF∥AC，FG∥BC，
∴∠EGF＝∠ABC，∠FEG＝∠CAB，
∴△EFG∽△ACB，
故,即
解得FG=8
∴圆心在内所能到达的区域的面积为FG×EF=×8×6=24,
故答案为24.

此题主要考查相似三角形的判定与性质综合，解题的关键是熟知勾股定理、相似三角形的判定与性质.
14、
【分析】根据题意可知扇形ABC围成圆锥后的底面周长就是弧BC的弧长，再根据弧长公式和圆周长公式来求解.
【详解】解：作于点,连结OA、BC,
∵∠BAC=90°
∴BC是直径，OB=OC,
,

圆锥的底面圆的半径
故答案为：

本题考查了扇形围成圆锥形，圆锥的底面圆的周长就是原来扇形的弧长，找到它们的关系是解题的关键.
15、
【分析】先求得正方形的边长，取AB的中点G，连接GF，CG，当点C、F、G在同一直线上时，根据两点之间线段最短，则CF有最小值，此时即可求得这个值.
【详解】如图，连接OA、OD，取AB的中点G，连接GF，CG，

∵ABCD是圆内接正方形，，
∴，
∴，
∵AF⊥BE，
∴，
∴，
，
当点C、F、G在同一直线上时，CF有最小值，如下图：

最小值是：，
故答案为：
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，根据两点之间线段最短确定CF的最小值是解决本题的关键．
16、
【分析】根据图意，连接AB并延长交x轴于点，此时线段AP与线段BP之差的最大值为，通过求得直线AB的解析式，然后令即可求得P点坐标．
【详解】如下图，连接AB并延长交x轴于点，此时线段AP与线段BP之差的最大值为，
将，代入中得，，
设直线AB的解析式为，代入A，B点的坐标得
，解得，
∴直线AB的解析式为，
令，得，
∴此时P点坐标为，
故答案为：．

本题主要考查了线段差最大值的相关内容，熟练掌握相关作图方法及解析式的求解方法是解决本题的关键．
17、1.
【分析】根据一元二次方程的解结合根与系数的关系即可得出m2+2m=2021、m+n=-2，将其代入m2+3m+n中即可求出结论．
【详解】∵m，n分别为一元二次方程x2+2x-2018=0的两个实数根，
∴m2+2m=2021，m+n=-2，
∴m2+3m+n=m2+2m+（m+n）=1+（-2）=1．
故答案为1．
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解结合根与系数的关系即可得出m2+2m=1、m+n=-2是解题的关键．
18、2
【分析】作轴于D，轴于E，连接OC，如图，利用反比例函数的性质得到点A与点B关于原点对称，再根据等腰三角形的性质得，，接着证明∽，根据相似三角形的性质得，利用k的几何意义得到，然后解绝对值方程可得到满足条件的k的值．
【详解】解：作轴于D，轴于E，连接OC，如图，
过原点，
点A与点B关于原点对称，
，
为等腰三角形，
，
，
，
，
，，
，
∽，
，
而，
，
即，
而，
．

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；在图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值也考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质．

三、解答题(共66分)
19、AOBC是菱形，理由见解析.
【分析】连接OC，根据等边三角形的判定及圆周角定理进行分析即可．
【详解】AOBC是菱形，理由如下：
连接OC，
∵C是 的中点
∴∠AOC=∠BOC=×120°=60°，
∵CO=BO（⊙O的半径），
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC，
同理△OCA是等边三角形，
∴OA=AC，
又∵OA=OB，
∴OA=AC=BC=BO，
∴AOBC是菱形．

本题利用了等边三角形的判定和性质，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
20、（1） ；（2）画图见解析；（3）－3＜x ＜1
【分析】（1）运用配方法进行变形即可；
（2）根据（1）中解析式可以先得出顶点坐标以及对称轴和开口方向朝下，然后进一步分别可以求出与x轴的两个交点，及其与y轴的交点，最后用光滑的曲线连接即可，；
（3）根据所画出的图像得出结论即可.
【详解】（1） ；
（2）由（1）得：顶点坐标为：(-1，4)，对称轴为：，开口向下，
当x=0时，y=3，∴交y轴正半轴3处，当y=0时，x=1或-3，∴与x轴有两个交点，
综上所述，图像如图所示：

（3）根据（2）所画图像可得，，－3＜x ＜1.
本题主要考查了二次函数图像的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.
21、（1）；（2）无解
【分析】（1）先算开方，0指数幂，绝对值，再算加减；
（2）两边同时乘以，去分母，再解整式方程.
【详解】（1）解：原式=
=
（2）解：两边同时乘以，得：

经检验是原方程的增根，
∴原方程无解．
考核知识点：解分式方程.把分式方程化为整式方程是关键.
22、（1）证明见解析；（2）；理由见解析；（3）．
【分析】（1）由直径所对圆周角等于90度可得，进而易证，再根据即可证明；
（2）由，可得，进而可知，再由同弧所对圆周角相等可得，再分别证明， ，从而可得，即可解决问题；
（3）设，，由，可得，可得，由，可得，设，，根据，可得，求出即可解决问题．
【详解】解：（1）证明： 是直径，

，
∵，
，
，
，
，
又∵，
（AAS）．
（2）结论：．理由如下：
由（1）可得：，
，
，
是直径，

∴，
，
，
又∵，
∴，
∴
，
，，
，
，
．
（3）解：设，，

，
，

整理得，
或（舍弃），
，
，
又∵由（2）可知，
，
，
∵，
∴，
∴，
设，，
，
，
，
本题综合考查了圆与相似，涉及了圆的性质、切线的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
23、隧道的长度约为.
【分析】延长AB交CD于H，利用正切的定义用CH表示出AH、BH，根据题意列式求出CH，计算即可．
【详解】解：如图，延长交于点，则.
在中，，
∵.
∴.
在中，，
∵，
∴.
∵,
∴.
∴.
∴.
在中，，
∵，
∴.
∴

.
因此，隧道的长度约为.

本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
24、（1）见解析；（2）.
【分析】（1）连接OC，则，由角平分线的性质和，得到，即可得到结论成立；
（2）由AB是直径，得到∠AEB=90°，则四边形DEFC是矩形，由三角形中位线定理，得到BE=2CD=8，由勾股定理，即可求出答案.
【详解】（1）证明：连接，交于，由是切线得；

又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即.
（2）解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴；
∴的半径为.
本题考查了圆的切线的性质，矩形的判定和性质，角平分线性质，三角形的中位线定理，以及勾股定理，解题的关键是掌握所学知识进行求解，正确得到AB的长度.
25、见解析.
【分析】根据位似图形的画图要求作出位似图形即可.
【详解】解：如图所示，△A1B1C1即为所求．

本题主要考察位似图形的作图，掌握位似图形的画法是解题的关键.
26、（1）y＝2x；（2）①点P的坐标为（2，m2﹣2m+4）；②当m＝1时，线段PB最短；（3）点Q坐标为（2+，6+2）或（2﹣，6﹣2）．
【分析】（1）根据点A坐标，用待定系数法求出直线OA的解析式；
（2）①因为点M在线段OA所在直线上，可表示出M的坐标，然后用顶点式表示出二次函数解析式，代入可求出点P坐标；
②对线段PB的长度用完全平方公式可表示出最小值即可；
（3）本题关键是如何表示出△QMA的面积，通过设点Q的坐标可求出△QMA的面积，最终通过解方程可得Q的坐标．
【详解】解：（1）设OA所在直线的函数解析式为y＝2x，
∵A（2，4），
∴2k＝4⇒k＝2，
∴OA所在直线的函数解析式为y＝2x；
（2）①∵顶点M的横坐标为m，且在线段OA上移动，
∴y＝2m（0≤m≤2），
∴顶点M的坐标为（m，2m），
∴抛物线函数解析式为y＝（x﹣m）2+2m，
∴当x＝2时，y＝（2﹣m）2+2m＝m2﹣2m+4（0≤m≤2），
∴点P的坐标为（2，m2﹣2m+4）；
②∴|PB|＝|m2﹣2m+4|＝|（m﹣1）2+3|，
∵（m﹣1）2+3≥3，当且仅当m＝1时取得最小值，
∴当m＝1时，线段PB最短；
（3）由（2）可得当线段PB最短时，此时点M坐标为（1，2），抛物线解析式为y＝（x﹣1）2+2＝x2﹣2x+3，
假设抛物线上存在点Q使S△QMA＝2S△PMA，设点Q坐标为（a，a2﹣2a+3），
∴S△PMA ==，
要想符合题意，故S△QMA＝1，
∴|MA|＝=，
设点Q到线段MA的距离为h，
∴h＝，
∴S△QMA==1，即＝2，
即＝2或=﹣2，
解得a＝或a＝，
∴点Q坐标为（，）或（，）．
本题考查求函数解析式和抛物线的知识，会用待定系数法求函数解析式，对抛物线的性质的运用，是解决本题的关键．