资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，，两条直线与三条平行线分别交于点和．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如表：
利用该二次函数的图象判断，当函数值y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜8 B．x＜0或x＞8 C．﹣2＜x＜4 D．x＜﹣2或x＞4
4．已知点在同一个函数的图象上，这个函数可能是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，一张矩形纸片ABCD的长BC＝xcm，宽AB＝ycm，以宽AB为边剪去一个最大的正方形ABEF，若剩下的矩形ECDF与原矩形ABCD相似，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．的相反数是（ ）
A． B． C．2019 D．-2019
7．下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A．(x+2)2＝0 B．x2+3＝0 C．x2+2x-17＝0 D．x2+x+5＝0
8．若，则（ ）
A． B． C．1 D．
9．已知实数m，n满足条件m2﹣7m+2=0，n2﹣7n+2=0，则+的值是（ ）
A． B． C．或2 D．或2
10．如图，将小正方形AEFG绕大正方形ABCD的顶点A顺时针旋转一定的角度α（其中0°≤α≤90°），连接BG、DE相交于点O，再连接AO、BE、DG．王凯同学在探究该图形的变化时，提出了四个结论：
①BG＝DE；②BG⊥DE；③∠DOA＝∠GOA；④S△ADG＝S△ABE，其中结论正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．一组数据3，7，9，3，4的众数与中位数分别是（ ）
A．3，9 B．3，3 C．3，4 D．4，7
12．﹣2的绝对值是（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，已知梯形ABCO的底边AO在轴上，，AB⊥AO，过点C的双曲线交OB于D，且，若△OBC的面积等于3，则k的值为__________．
14．如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为（3，0），点P（1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图(1)位置，第二次旋转至图(2)位置…，则正方形铁片连续旋转2018次后，点P的纵坐标为_________．
15．如图，在中，，，，则的长为__________．
16．如图，由10个完全相同的正三角形构成的网格图中， 如图所示，则=______.
17．如图，点是反比例函数图象上的两点，轴于点，轴于点，作轴于点，轴于点，连结，记的面积为，的面积为，则___________（填“>”或“<”或“=”）
18．如图,四边形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,AB=1,CD=2,BC=3,点P为BC边上一动点,若△PAB与△PCD是相似三角形,则BP的长为 _____________
三、解答题（共78分）
19．（8分）现如今，“垃圾分类”意识已深入人心，如图是生活中的四个不同的垃圾分类投放桶，分别写着：有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾、可回收垃圾．其中小明投放了一袋垃圾，小丽投放了两袋垃圾．
（1）直接写出小明投放的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率；
（2）求小丽投放的两袋垃圾不同类的概率．
20．（8分）解方程：
（1）（x-2）（x-3）=12
（2）3y2+1=2y
21．（8分）如图，中，，，为内部一点，且.
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若点到三角形的边，，的距离分别为，，，求证.
22．（10分）某商城某专卖店销售每件成本为40元的商品，从销售情况中随机抽取一些情况制成统计表如下：（假设当天定的售价是不变的，且每天销售情况均服从这种规律）
每件销售价（元）
50
60
70
75
80
85
……
每天售出件数
300
240
180
150
120
90
……
（1）观察这些数据，找出每天售出件数y与每件售价x（元）之间的函数关系，并写出该函数关系式；
（2）该店原有两名营业员，但当每天售出量超过168件时，则必须增派一名营业员才能保证营业，设营业员每人每天工资为40元，求每件产品定价多少元，才能使纯利润最大（纯利润指的是收入总价款扣除成本及营业员工资后的余额，其他开支不计）．
23．（10分）已知二次函数y＝x2+2mx+（m2﹣1）（m是常数）．
（1）若它的图象与x轴交于两点A，B，求线段AB的长；
（2）若它的图象的顶点在直线y＝x+3上，求m的值．
24．（10分）三个小球上分别标有数字﹣2，﹣1，3，它们除数字外其余全部相同，现将它们放在一个不透明的袋子里，从袋子中随机地摸出一球，将球上的数字记录，记为m，然后放回；再随机地摸取一球，将球上的数字记录，记为n，这样确定了点(m，n)．
（1）请列表或画出树状图，并根据列表或树状图写出点(m，n)所有可能的结果；
（2）求点(m，n)在函数y＝x的图象上的概率．
25．（12分）先化简，再求值：，其中x为方程的根．
26．如图，已知抛物线与轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线经过点C，与轴交于点D．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）点P是（1）中的抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t（0＜t＜3）．
①求△PCD的面积的最大值；
②是否存在点P，使得△PCD是以CD为直角边的直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【解析】设，那么点（3，2）满足这个函数解析式，∴k=3×2=1．∴．故选C
2、C
【分析】由得设可得答案．
【详解】解： ，，
设 则
故选C．
本题考查的是平行线分线段成比例，比例线段，掌握这两个知识点是解题的关键．
3、C
【分析】观察表格得出抛物线顶点坐标是(1，9)，对称轴为直线x=1，而当x=-2时，y=0，则抛物线与x轴的另一交点为(1，0)，由表格即可得出结论．
【详解】由表中的数据知，抛物线顶点坐标是(1，9)，对称轴为直线x=1.当x＜1时，y的值随x的增大而增大，当x＞1时，y的值随x的增大而减小，则该抛物线开口方向向上，
所以根据抛物线的对称性质知，点(﹣2，0)关于直线直线x=1对称的点的坐标是(1，0)．
所以，当函数值y＞0时，x的取值范围是﹣2＜x＜1．
故选：C．
本题考查了二次函数与x轴的交点、二次函数的性质等知识，解答本题的关键是要认真观察，利用表格中的信息解决问题．
4、D
【解析】由点的坐标特点，可知函数图象关于轴对称，于是排除选项；再根据的特点和二次函数的性质，可知抛物线的开口向下，即，故选项正确．
【详解】
点与点关于轴对称；
由于的图象关于原点对称，因此选项错误；
由可知，在对称轴的右侧，随的增大而减小，
对于二次函数只有时，在对称轴的右侧，随的增大而减小，
选项正确
故选．
考查正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，可以采用排除法，直接法得出答案．
5、B
【分析】根据相似多边形对应边的比相等，可得到一个方程，解方程即可求得．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝xcm，
∵四边形ABEF是正方形，
∴EF＝AB＝ycm，
∴DF＝EC＝（x﹣y）cm，
∵矩形FDCE与原矩形ADCB相似，
∴DF：AB＝CD：AD，
即：
∴＝，
故选B．
本题考查了相似多边形的性质、矩形的性质、翻折变换的性质；根据相似多边形对应边的比相等得出方程是解决本题的关键．
6、A
【解析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
【详解】解：的相反数是：．
故选A．
此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
7、C
【分析】根据一元二次方程根的判别式，分别计算△的值，进行判断即可．
【详解】解：选项A：△=0，方程有两个相等的实数根；
选项B、△=0-12=-12＜0，方程没有实数根；
选项C、△=4-4×1×(-17)=4+68=72>0，方程有两个不相等的实数根；
选项D、△=1-4×5=-19＜0，方程没有实数根．
故选：C．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac；当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
8、D
【分析】令=k，则x=2k，y=3k，z=4k，再代入分式进行计算即可．
【详解】解：令=k，则x=2k，y=3k，z=4k，
∴．
故选：D．
本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意，当条件是连等式，因此可用设参数法，即设出参数k，得出x，y，z与k的关系，然后再代入待求的分式化简即可．
9、D
【分析】①m≠n时，由题意可得m、n为方程x2﹣7x+2=0的两个实数根，利用韦达定理得出m+n、mn的值，将要求的式子转化为关于m+n、mn的形式，整体代入求值即可；②m=n，直接代入所求式子计算即可.
【详解】①m≠n时，由题意得：m、n为方程x2﹣7x+2=0的两个实数根，
∴m+n=7，mn=2，
+====；
②m=n时，+=2.
故选D.
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，分析出m、n是方程的两个根以及分类讨论是解题的关键.
10、D
【分析】由“SAS”可证△DAE≌△BAG，可得BG＝DE，即可判断①；设点DE与AB交于点P， 由∠ADE＝∠ABG，∠DPA＝∠BPO，即可判断②；过点A作AM⊥DE，AN⊥BG，易证DE×AM＝×BG×AN，从而得AM＝AN，进而即可判断③；过点G作GH⊥AD，过点E作EQ⊥AD，由“AAS”可证△AEQ≌△GAH，可得AQ＝GH，可得S△ADG＝S△ABE，即可判断④．
【详解】∵∠DAB＝∠EAG＝90°，
∴∠DAE＝∠BAG，
又∵AD＝AB，AG＝AE，
∴△DAE≌△BAG（SAS），
∴BG＝DE，∠ADE＝∠ABG，
故①符合题意，
如图1，设点DE与AB交于点P，
∵∠ADE＝∠ABG，∠DPA＝∠BPO，
∴∠DAP＝∠BOP＝90°，
∴BG⊥DE，
故②符合题意，
如图1，过点A作AM⊥DE，AN⊥BG，
∵△DAE≌△BAG，
∴S△DAE＝S△BAG，
∴DE×AM＝×BG×AN，
又∵DE＝BG，
∴AM＝AN，且AM⊥DE，AN⊥BG，
∴AO平分∠DOG，
∴∠AOD＝∠AOG，
故③符合题意，
如图2，过点G作GH⊥AD交DA的延长线于点H，过点E作EQ⊥AD交DA的延长线于点Q，
∴∠EAQ+∠AEQ＝90°，∠EAQ+∠GAQ＝90°，
∴∠AEQ＝∠GAQ，
又∵AE＝AG，∠EQA＝∠AHG＝90°，
∴△AEQ≌△GAH（AAS）
∴AQ＝GH，
∴AD×GH＝AB×AQ，
∴S△ADG＝S△ABE，
故④符合题意，
故选：D．
本题主要考查正方形的性质和三角形全等的判定和性质的综合，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键.
11、C
【分析】由题意直接根据众数和中位数的定义进行分析求解判断即可．
【详解】解：将数据重新排列为3，3，4，7，9，
∴众数为3，中位数为4.
故选：C．
本题主要考查众数、中位数，熟练掌握众数、中位数的定义是解题的关键．
12、A
【解析】分析：根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点﹣2到原点的距离是2，所以﹣2的绝对值是2，故选A．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】设C（x，y），BC=a．过D点作DE⊥OA于E点．根据DE∥AB得比例线段表示点D坐标；根据△OBC的面积等于3得关系式，列方程组求解．
【详解】设C（x，y），BC=a．
则AB=y，OA=x+a．
过D点作DE⊥OA于E点．
∵OD：DB=1：2，DE∥AB，
∴△ODE∽△OBA，相似比为OD：OB=1：3，
∴DE=AB=y，OE=OA=（x+a）．
∵D点在反比例函数的图象上，且D（（x+a），y），
∴y•（x+a）=k，即xy+ya=9k，
∵C点在反比例函数的图象上，则xy=k，
∴ya=8k．
∵△OBC的面积等于3，
∴ya=3，即ya=1．
∴8k=1，k=．
故答案为：．
14、1
【分析】由旋转方式和正方形性质可知点P的位置4次一个循环，首先根据旋转的性质求出P1～P5的坐标，探究规律后，再利用规律解决问题．
【详解】解：∵顶点A的坐标为（3，0），点P（1，2），
∴第一次旋转90°后，对应的P1（5，2），
第二次P2（8，1），
第三次P3（10，1），
第四次P4（13，2），
第五次P5（17，2），
…
发现点P的位置4次一个循环，
∵2018÷4=504余2，
P2018的纵坐标与P2相同为1，
故答案为：1．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．
15、6
【分析】根据相似三角形的性质即可得出答案.
【详解】∵DE∥BC
∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB
∴△ADE∽△ABC
∴
∵
∴
又
∴BC=6
故答案为6.
本题考查的是相似三角形，比较简单，容易把三角形的相似比看成，这一点尤其需要注意.
16、.
【解析】给图中各点标上字母，连接DE，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠α=30°，同理，可得出：∠CDE=∠CED=30°=∠α，由∠AEC=60°结合∠AED=∠AEC+∠CED可得出∠AED=90°，设等边三角形的边长为a，则AE=2a，DE=a，利用勾股定理可得出AD的长，再结合余弦的定义即可求出cos（α+β）的值．
【详解】给图中各点标上字母，连接DE，如图所示．
在△ABC中，∠ABC=120°，BA=BC，
∴∠α=30°．
同理，可得出：∠CDE=∠CED=30°=∠α．
又∵∠AEC=60°，
∴∠AED=∠AEC+∠CED=90°．
设等边三角形的边长为a，则AE=2a，DE=2×sin60°•a=a，
∴，
∴cos（α+β）=．
故答案为：．
本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质以及规律型：图形的变化类，构造出含一个锐角等于∠α+∠β的直角三角形是解题的关键．
17、=
【分析】
连接OP、OQ，根据反比例函数的几何意义，得到，由OM=AP，OB=NQ，得到，即可得到.
【详解】
解：如图，连接OP、OQ，则
∵点P、点Q在反比例函数的图像上，
∴，
∵四边形OMPA、ONQB是矩形，
∴OM=AP，OB=NQ，
∵，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：=.
本题考查了反比例函数的几何意义，解题的关键是熟练掌握反比例函数的几何意义判断面积相等.
18、1或2
【分析】设BP=x，则CP=BC－BP=3－x，易证∠B=∠C=90°，根据相似三角形的对应顶点分类讨论：①若△PAB∽△PDC时，列出比例式即可求出BP；②若△PAB∽△DPC时，原理同上.
【详解】解：设BP=x，则CP=BC－BP=3－x
∵AB∥CD,∠B=90°,
∴∠C=180°－∠B=90°
①若△PAB∽△PDC时
∴
即
解得：x=1
即此时BP=1；
②若△PAB∽△DPC时
∴
即
解得：
即此时BP=1或2；
综上所述：BP=1或2.
故答案为：1或2.
此题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的对应边成比例列方程是解决此题的关键.
三、解答题（共78分）
19、（1）；（2）．
【分析】（1）直接利用概率公式求出小明投放的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率；（2）首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案．
【详解】解：（1）将有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾、可回收垃圾分别记为A，B，C，D，
∵小明投放了一袋垃圾，∴小明投放的垃圾恰好是B类：厨余垃圾的概率为：；
（2）画树状图如下：
由树状图知，小丽投放的垃圾共有16种等可能结果，其中小丽投放的两袋垃圾不同类的有12种结果，所以小丽投放的两袋垃圾不同类的概率为＝．
本题考查树状图法求概率，正确利用列举出所有可能是解题关键．
20、（1），；（2）
【分析】（1）首先把方程整理成一元二次方程的一般式，然后利用因式分解法解方程即可；
（2）首先把方程整理成一元二次方程的一般式，然后利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）方程变形为：即，
因式分解得：，
则或，
解得：，；
（2）方程变形为：，
因式分解得：，
则，
解得：．
本题主要考查了一元二次方程的解法，关键是掌握因式分解法解方程的步骤．
21、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.
【分析】（1）根据,利用两角分别相等的两个三角形相似即可证得结果；
（2）利用相似三角形对应边成比例结合等腰直角三角形的性质可得，,，从而求得结果；
（3）根据两角分别相等的两个三角形相似，可证得，求得，由可得，从而证得结论.
【详解】（1）∵，，
∴
又，
∴
∴
又∵，
∴
（2）∵
∴
在中，，
∴
∴，
∴
（3）如图，过点作，，交、于点，，
∴，，，
∵
∴，
∴，
又∵
∴，
∴，
∴，即，
∴
∵，
∴.
∴
∴.
即：.
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度.
22、（1）y=-6x+600；（2）每件产品定价72元，才能使纯利润最大，纯利润最大为5296元．
【分析】（1）经过图表数据分析，每天售出件数y与每件售价x（元）之间的函数关系为一次函数，设y＝kx＋b，解出k、b即可求出；
（2）由利润＝（售价−成本）×售出件数−工资，列出函数关系式，求出最大值．
【详解】（1）经过图表数据分析，每天售出件数y与每件售价x（元）之间的函数关系为一次函数，
设y＝kx＋b，经过（50，300）、（60，240），
，
解得k＝−6，b＝600，
故y＝−6x＋600；
（2）①设每件产品应定价x元，由题意列出函数关系式
W＝（x−40）×（−6x＋600）−3×40
＝−6x2＋840x−24000−120
＝−6（x2−140x＋4020）
＝−6（x−70）2＋1．
②当y＝168时x＝72，这时只需要两名员工，
W＝（72−40）×168−80＝5296＞1．
故当每件产品应定价72元，才能使每天门市部纯利润最大．
此题主要考查了二次函数的应用，由利润＝（售价−成本）×售出件数−工资，列出函数关系式，求出最大值，运用二次函数解决实际问题，比较简单．
23、AB=2；（2）m＝1．
【分析】（1）令y＝0求得抛物线与x轴的交点，从而求得两交点之间的距离即可；
（2）用含m的式子表示出顶点坐标，然后代入一次函数的解析式即可求得m的值．
【详解】（1）令y＝x2+2mx+（m2﹣1）＝0，
∴（x+m+1）（x+m﹣1）＝0，
解得：x1＝﹣m﹣1，x2＝﹣m+1，
∴AB＝|x1﹣x2|＝|﹣m﹣1﹣（﹣m+1）|＝2；
（2）∵二次函数y＝x2+2mx+（m2﹣1），
∴顶点坐标为（﹣2m，），
即：（﹣2m，﹣1），
∵图象的顶点在直线y＝x+3上，
∴﹣×（﹣2m）+3＝﹣1，
解得：m＝1．
本题考查了解二次函数的问题，掌握二次函数的性质以及解二次函数的方法是解题的关键．
24、（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据题意列表，然后写出点（m，n）所有可能的结果即可；
（2）点（m，n）所有可能的结果共有9种，符合n＝m的有3种，由概率公式即可得出答案．
【详解】解：（1）列表如下：
点（m，n）所有可能的结果为：（﹣2，﹣2），（﹣1，﹣2），（3，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣1，﹣1），（3，﹣1），（﹣2，3），（﹣1，3）（3，3）；
（2）点（m，n）所有可能的结果共有9种，符合n＝m的有3种：（﹣2，﹣2），（﹣1，﹣1），（3，3），
∴点（m，n）在函数y＝x的图象上的概率为：．
本题考查了列表法与树状图法、概率公式以及一次函数的性质等知识；列表得出所有结果是解题的关键．
25、1
【分析】先将除式括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简．然后解一元二次方程，根据分式有意义的条件选择合适的x值，代入求值．
【详解】解：原式＝．
解得，
，
∵时，无意义，
∴取．
当时，原式＝．
26、（1）；（2）①3；②或
【分析】（1）根据直线解析式求出点C坐标，再用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）①过点P作轴于点F，交DC于点E，用t表示出点P和点E的坐标，的面积用表示，求出最大值；
②分两种情况进行讨论，或，都是去构造相似三角形，利用对应边成比例列式求出t的值，得到点P的坐标．
【详解】解：（1）令，则，求出，
将A、B、C的坐标代入抛物线解析式，得，解得，
∴；
（2）①如图，过点P作轴于点F，交DC于点E，
设点P的坐标是，则点E的纵坐标为，
将代入直线解析式，得，
∴点E坐标是，
∴，
∴，
∴面积的最大值是3；
②是以CD为直角边的直角三角形分两种情况，
第一种，，如图，过点P作轴于点G，
则，
∴，即，
整理得，解得，（舍去），
∴；
第二种，，如图，过点P作轴于点H，
则，
∴，即，
整理得，解得，（舍去），
∴，
综上，点P的坐标是或．
本题考查二次函数的综合，解题的关键是掌握待定系数法求解析式的方法，三角形面积的表示方法以及构造相似三角形利用数形结合的思想求点坐标的方法．
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