资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．在一个不透明的盒子中有大小均匀的黄球与白球共12个，若从盒子中随机取出一个球，若取出的球是白球的概率是，则盒子中白球的个数是（ ）.
A．3 B．4 C．6 D．8
2．如图，正六边形ABCDEF的半径OA＝OD＝2，则点B关于原点O的对称点坐标为（ ）
A．（1，﹣） B．（﹣1，） C．（﹣，1） D．（，﹣1）
3．两个相似三角形的面积比是9:16，则这两个三角形的相似比是（ ）
A．9︰16 B．3︰4 C．9︰4 D．3︰16
4．如图，传送带和地面成一斜坡，它把物体从地面送到离地面5米高的地方，物体所经过路程是13米，那么斜坡的坡度为（ ）
A．1：2.6 B．1: C．1：2.4 D．1:
5．判断一元二次方程是否有实数解，计算的值是（ ）
A． B． C． D．
6．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．5x+5＝2x﹣1 B．y2﹣7y＝0
C．ax2+bc+c＝0 D．2x2+2x＝x2-1
7．某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（ ）
A．36（1﹣x）2＝36﹣25 B．36（1﹣2x）＝25
C．36（1﹣x）2＝25 D．36（1﹣x2）＝25
8．如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于（ ）
A．8 B．4 C．10 D．5
9．二次函数的图象是一条抛物线，下列说法中正确的是（ ）
A．抛物线开口向下 B．抛物线经过点
C．抛物线的对称轴是直线 D．抛物线与轴有两个交点
10．如图， AB与CD相交于点E，点F在线段BC上，且AC // EF // DB，若BE＝5， BF＝3，AE＝BC，则的值为( )
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（﹣4，0），半径为1的动圆⊙P沿x轴正方向运动，若运动后⊙P与y轴相切，则点P的运动距离为______．
12．已知点A（2，4）与点B（b﹣1，2a）关于原点对称，则ab＝_____．
13．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，以原点为位似中心，把线段放大，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为__________．
14．已知，则_______．
15．已知圆的半径是，则该圆的内接正六边形的面积是__________
16．计算：sin30°=_____．
17．Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是_____．
18．如图所示，一个质地均匀的小正方体有六个面，小明要给这六个面分别涂上红色、黄 色和蓝色三种颜色.在桌面上掷这个小正方体，要使事件“红色朝上”的概率为，那么需要把__________个面涂为红色．
三、解答题(共66分)
19．（10分）已知＝，求的值．
20．（6分）如图，已知⊙O的直径d=10，弦AB与弦CD平行，它们之间的距离为7，且AB=6，求弦CD的长．
21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙C与y轴相切，且C点坐标为（1，0），直线过点A（—1，0），与⊙C相切于点D，求直线的解析式．
22．（8分）今年我县为了创建省级文明县城，全面推行中小学校“社会主义核心价值观”进课堂．某校对全校学生进行了检测评价，检测结果分为(优秀)、(良好)、(合格)、(不合格)四个等级．并随机抽取若干名学生的检测结果作为样本进行数据处理，制作了如下所示不完整的统计表和统计图．
请根据统计表和统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次随机抽取的样本容量为__________；
（2）统计表中_________，_________．
（3）若该校共有学生5000人，请你估算该校学生在本次检测中达到“(优秀)”等级的学生人数．
23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，AB∶BD＝.
(1)求tan∠DAC的值.
(2)若BD＝4，求S△ABC.
24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，射线BC交⊙O于点D，E是劣弧AD上一点，且＝，过点E作EF⊥BC于点F，延长FE和BA的延长线交与点G．
（1）证明：GF是⊙O的切线；
（2）若AG＝6，GE＝6，求⊙O的半径．
25．（10分）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥．如图是港珠澳大桥的海豚塔部分效果图，为了测得海豚塔斜拉索顶端A距离海平面的高度，先测出斜拉索底端C到桥塔的距离（CD的长）约为100米，又在C点测得A点的仰角为30°，测得B点的俯角为20°，求斜拉索顶端A点到海平面B点的距离（AB的长）．（已知≈1.732，tan20°≈0.36，结果精确到0.1）
26．（10分）解一元二次方程
（1）
（2）
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】根据白、黄球共有的个数乘以白球的概率即可解答.
【详解】由题意得：12×=4，即白球的个数是4.
故选：B.
本题考查概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
2、D
【分析】根据正六边形的性质，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：连接OB，
∵正六边形ABCDEF的半径OA＝OD＝2，
∴OB＝OA＝AB＝6，∠ABO＝∠60°，
∴∠OBH＝60°，
∴BH＝OB＝1，OH＝OB＝，
∴B（﹣，1），
∴点B关于原点O的对称点坐标为（，﹣1）．
故选：D．
本题考查了正六边形的性质和解直角三角形的相关知识，解决本题的关键是熟练掌握正六边形的性质，能够得到相应角的度数.
3、B
【解析】试题分析：根据相似三角形中，面积比等于相似比的平方，即可得到结果．
因为面积比是9:16，则相似比是3︰4，故选B.
考点：本题主要考查了相似三角形的性质
点评：解答本题的关键是掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方
4、C
【解析】根据题意作出合适的辅助线，由坡度的定义可知，坡度等于坡角对边与邻边的比值，根据题目中的数据可以得到坡度，本题得以解决．
【详解】如图
据题意得;AB=13、AC=5，
则BC=,
∴斜坡的坡度i=tan∠ABC==1∶2.4,
故选C.
5、B
【解析】首先将一元二次方程化为一般式，然后直接计算判别式即可.
【详解】一元二次方程可化为：
∴
故答案为B.
此题主要考查一元二次方程的根的判别式的求解，熟练掌握，即可解题.
6、D
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、是关于x的一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、是关于y的一元二次方程，不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、只有当a≠0时，是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、是关于x的一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义的内容是解此题的关键．
7、C
【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率）＝1，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：第一次降价后的价格为36×（1﹣x），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，为36×（1﹣x）×（1﹣x），
则列出的方程是36×（1﹣x）2＝1．
故选：C．
考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
8、D
【详解】解：∵OM⊥AB，
∴AM=AB=4，
由勾股定理得：OA===5；
故选D．
9、D
【分析】根据二次函数的性质对A、C进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对B进行判断；利用方程2x2-1=0解的情况对D进行判断．
【详解】A. a=2,则抛物线y=2x2−1的开口向上，所以A选项错误；
B. 当x=1时,y=2×1−1=1,则抛物线不经过点(1,-1)，所以B选项错误；
C. 抛物线的对称轴为直线x=0，所以C选项错误；
D. 当y=0时,2x2−1=0，此方程有两个不相等的实数解，所以D选项正确.
故选D.
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，结合图像是解题的关键.
10、A
【分析】根据平行线分线段成比例定理得可求出BC的长，从而可得CF的长，再根据平行线分线段成比例定理得，求解即可得.
【详解】
又
，解得
又
故选：A.
本题考查了平行线分线段成比例定理，根据定理求出BC的长是解题关键.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、3或1
【解析】利用切线的性质得到点P到y轴的距离为1，此时P点坐标为（-1，0）或（1，0），然后分别计算点（-1，0）和（1，0）到（-4，0）的距离即可．
【详解】若运动后⊙P与y轴相切，
则点P到y轴的距离为1，此时P点坐标为（-1，0）或（1，0），
而-1-（-4）=3，1-（-4）=1，
所以点P的运动距离为3或1．
故答案为3或1．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
12、1．
【解析】由题意，得
b−1=−1，1a=−4，
解得b=−1，a=−1，
∴ab=(−1) ×(−1)=1，
故答案为1.
13、
【分析】由题意可知：OA=2，AB=1，，△OAB∽△，根据相似三角形的性质列出比例式即可求出，从而求出点的坐标．
【详解】由题意可知：OA=2，AB=1，，△OAB∽△
∴
即
解得：
∴点的坐标为（4,2）
故答案为：．
此题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解决此题的关键．
14、-5
【分析】设，可用参数表示、，再根据分式的性质，可得答案．
【详解】解：设，得
，，
，
故答案为：．
本题考查了比例的性质，利用参数表示、可以简化计算过程．
15、
【分析】根据正六边形被它的半径分成六个全等的等边三角形，再根据等边三角形的边长，求出等边三角形的高，再根据面积公式即可得出答案．
【详解】解：连接、，作于，
等边三角形的边长是2，
，
等边三角形的面积是，
正六边形的面积是：；
故答案为：．
本题考查的是正多边形和圆的知识，解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形．
16、
【解析】根据sin30°=直接解答即可．
【详解】sin30°=.
本题考查的知识点是特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练的掌握特殊角的三角函数值.
17、3.1或4.32或4.2
【解析】在Rt△ABC中，通过解直角三角形可得出AC=5、S△ABC=1，找出所有可能的分割方法，并求出剪出的等腰三角形的面积即可．
【详解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=3，BC=4，
∴AB==5，S△ABC=AB•BC=1．
沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况：
①当AB=AP=3时，如图1所示，
S等腰△ABP=•S△ABC=×1=3.1；
②当AB=BP=3，且P在AC上时，如图2所示，
作△ABC的高BD，则BD=，
∴AD=DP==1.2，
∴AP=2AD=3.1，
∴S等腰△ABP=•S△ABC=×1=4.32；
③当CB=CP=4时，如图3所示，
S等腰△BCP=•S△ABC=×1=4.2；
综上所述：等腰三角形的面积可能为3.1或4.32或4.2，
故答案为3.1或4.32或4.2．
【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积，找出所有可能的分割方法，并求出剪出的等腰三角形的面积是解题的关键．
18、
【分析】根据题意可知共有6种等可能结果，所以要使事件“红色朝上”的概率为，则需要有2种符合题意的结果，从而求解.
【详解】解：∵一个质地均匀的小正方体有六个面
∴在桌面上掷这个小正方体，共有6种等可能结果，其中把2个面涂为红色，则使事件“红色朝上”的概率为
故答案为：2
本题考查简单的概率计算，理解概率的概念并根据概率的计算公式正确计算是本题的解题关键.
三、解答题(共66分)
19、-7
【分析】根据等式的性质可得＝b，再根据分式的性质可得答案．
【详解】解：由＝，得＝b．
∴
本题考查了比例的性质和分式性质，利用等式性质求得＝b是解题关键．
20、1
【解析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA、OC，根据垂径定理得到
根据AB∥CD，得到点M、O、N在同一条直线上，在Rt△AOM中，根据勾股定理求出
进而求出ON，在Rt△CON中，根据勾股定理求出根据垂径定理即可求出弦CD的长．
【详解】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA、OC，
则
∵AB∥CD，
∴点M、O、N在同一条直线上，
在Rt△AOM中，
∴ON=MN﹣OM=3，
在Rt△CON中，
∵ON⊥CD，
∴CD=2CN=1．
考查勾股定理以及垂径定理，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键.
21、或.
【详解】解：如图所示，连接CD，
∵直线为⊙C的切线，
∴CD⊥AD．
∵C点坐标为（1，0），
∴OC=1，即⊙C的半径为1，
∴CD=OC=1．
又∵点A的坐标为（—1，0），
∴AC=2，
∴∠CAD=30°,
在Rt△AOB中，，
即，
设直线l解析式为：y=kx+b（k≠0），则
解得
∴直线l的函数解析式为，
同理可得，当直线l在x轴的下方时，直线l的函数解析式为.
故直线l的函数解析式为或.
这是一道圆与直角坐标系的综合题，求直线的解析式，通常用待定系数法（知道图象上两个点的坐标即可），题目已给出点A的坐标，再求出一个点即可，抓住点D是直线与⊙C的切点，由C点坐标为（1，0）及圆的性质易求点B的坐标为（0，），由点A和点B的坐标易求直线的解析式
22、（1）100；（2）30，0.3；（3）1500人
【分析】（1）用B组的人数除以B组的频率可以求得本次的样本容量；
（2）用样本容量×A组的频率可求出a的值，用C组的频数除以样本容量可求出b的值；
（3）用5000×A组的频率可求出在本次检测中达到“(优秀)”等级的学生人数．
【详解】解：（1）本次随机抽取的样本容量为：35÷0.35=100，
故答案为：100；
（2）a=100×0.3=30，
b=30÷100=0.3，
故答案为：30，0.3；
（3）5000×0.3=1500（人），
答：达到“(优秀)”等级的学生人数是1500人．
本题考查条形统计图、统计表、样本容量、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
23、 (1)；(2).
【分析】（1）过D点作DE⊥AB于点E，根据相似三角形的判定易证△BDE∽△BAC，可得，再根据角平分线的性质可得DE=CD，利用等量代换即可得到tan∠DAC的值；
（2）先利用特殊角的三角形函数得到∠CAD=30°，进而得到∠B=30°，根据直角三角形中30°角所对直角边为斜边的一半得到DE的长，进而得到CD与AC的长，再利用三角形的面积公式求解即可.
【详解】解：（1）如图，过D点作DE⊥AB于点E，
在△BDE与△BAC中，
∠BED=∠C=90°，∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC，
∴，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE=CD，
∴，
∴tan∠DAC；
（2）∵tan∠DAC，
∴∠DAC=30°，
∴∠BAC=2∠DAC=60°，
∴∠B=90°﹣∠BAC=30°，
∴DE=BD=2，
∴CD=DE=2，
∴BC=BD+CD=6，
∵，
∴，
∴S△ABC=.
本题主要考查锐角三角函数，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，解此题的关键在于熟练掌握根据角平分线的性质作出辅助线.
24、（1）见解析；（2）1
【分析】（1）连接OE，由知∠1＝∠2，由∠2＝∠1可证OE∥BF，根据BF⊥GF得OE⊥GF，得证；
（2）设OA＝OE＝r，在Rt△GOE中由勾股定理求得r＝1．
【详解】解：（1）如图，连接OE，
∵，
∴∠1＝∠2，
∵∠2＝∠1，
∴∠1＝∠1，
∴OE∥BF，
∵BF⊥GF，
∴OE⊥GF，
∴GF是⊙O的切线；
（2）设OA＝OE＝r，
在Rt△GOE中，∵AG＝6，GE＝6，
∴由OG2＝GE2+OE2可得（6+r）2＝（6）2+r2，
解得：r＝1，
故⊙O的半径为1．
本题考查圆切线的性质,关键在于熟记基本性质,结合图形灵活运用.
25、斜拉索顶端A点到海平面B点的距离AB约为93.7米．
【分析】在Rt△ACD和Rt△BCD中，根据锐角三角函数求出AD、BD，即可求出AB．
【详解】如图，
由题意得，在△ABC中，CD=100，∠ACD=30°，∠DCB=20°，CD⊥AB，
在Rt△ACD中，AD=CD•tan∠ACD=100×≈57.73(米)，
在Rt△BCD中，BD=CD•tan∠BCD≈100×0.36≈36(米)，
∴AB=AD+DB=57.73+36=93.73≈93.7(米)，
答：斜拉索顶端A点到海平面B点的距离AB约为93.7米．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题问题，掌握锐角三角函数的意义是解题的关键．
26、（1）， ；（2），
【分析】（1）根据公式法即可求解；
（2）根据因式分解法即可求解.
【详解】（1）
a=2,b=-5,c=1
∴b2-4ac=25-8=17＞0
故x=
∴，
（2）
∴3x-2=0或-x+4=0
故，.
此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知公式法及因式分解法的运用.
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