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2022-2023学年八下数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．下列各式从左边到右边的变形，是因式分解的为（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，直线y=ax+b过点A（0，2）和点B（﹣3，0），则方程ax+b=0的解是（ ）
A．x=2 B．x=0 C．x=﹣1 D．x=﹣3
3．已知、均为正整数，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（ ）
A． B． C． D．
5．下面是某同学在一次作业中的所做的部分试题：①3m+2n=5mn；②；③； ④； ⑤ ⑥，其中正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
6．点A(－2，5)关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．(2，5) B．(－2，－5) C．(2，－5) D．(5，－2)
7．（-a5）2+（-a2）5的结果是（ ）
A．0 B． C． D．
8．计算：的结果是( )
A． B．． C． D．
9．在一组数﹣4，0.5，0，π，﹣，0.1010010001…（相邻两个1之间依次增加1个0）中，无理数有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在△ABC 中，点 D 是边 BC 上的点（与 B、C 两点不重合），过点 D作 DE∥AC，DF∥AB，分别交 AB、AC 于 E、F 两点，下列说法正确的是（ ）
A．若 AD 平分∠BAC，则四边形 AEDF 是菱形
B．若 BD＝CD，则四边形 AEDF 是菱形
C．若 AD 垂直平分 BC，则四边形 AEDF 是矩形
D．若 AD⊥BC，则四边形 AEDF 是矩形
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知点P（a，b）在一次函数y=2x+1的图像上，则2a-b+1=______
12．如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为_______度．
13．如图是的平分线，于点，，，则的长是__________．
14．在正整数中，
利用上述规律，计算_____．
15．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，现在的传本共三卷，卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法；卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法；卷下记录算题，不但提供了答案，而且还给出了解法，其中记载：“今有木、不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文:“用一根绳子量一根长木，绳子还剩余尺，将绳子对折再量长木，长木还到余尺，问木长多少尺？”设绳长尺，木长尺.可列方程组为__________．
16．已知一个三角形的三边长为3、8、a，则a的取值范围是_____________．
17．因式分解：=______，=________．
18．《九章算术》勾股卷有一题目：今有垣高一丈.依木于垣，上于垣齐.引木却行四尺，其木至地，问木长几何？意即：一道墙高一丈，一根木棒靠于墙上，木棒上端与墙头齐平，若木棒下端向后退，则木棒上端会随着往下滑，当木棒下端向后退了四尺时，木棒上端恰好落到地上，则木棒长______尺(1丈=10尺).
三、解答题(共66分)
19．（10分）新春佳节来临之际，某商铺用1600元购进一款畅销礼盒，由于面市后供不应求，决定再用6000元购进同款礼盒，已知第二次购进的数量是第一次的3倍，但是第二次的单价比第一次贵2元.求第一次与第二次各购进礼盒多少个？
20．（6分）解方程：
（1）计算：
（2）计算：
（3）解方程组：
21．（6分）已知:如图，在四边形中，，点是的中点.
(1)求证:是等腰三角形:
(2)当= ° 时，是等边三角形.
22．（8分）中国海军亚丁湾护航十年，中国海军被亚丁湾上来往的各国商船誉为“值得信赖的保护伞”．如图，在一次护航行动中，我国海军监测到一批可疑快艇正快速向护航的船队靠近，为保证船队安全，我国海军迅速派出甲、乙两架直升机分别从相距40海里的船队首（点）尾（点）前去拦截，8分钟后同时到达点将可疑快艇驱离．己知甲直升机每小时飞行180海里，航向为北偏东，乙直升机的航向为北偏西，求乙直升机的飞行速度（单位：海里/小时）．
23．（8分）观察下列算式：
由上可以类似地推出：
用含字母的等式表示(1)中的一-般规律(为非零自然数)；
用以上方法解方程：
24．（8分）如图，∠1+∠2=180°，∠B=∠E，试猜想AB与CE之间有怎样的位置关系？并说明理由．
25．（10分）观察下列各式
（x-1）（x+1）=x2-1
（x-1）（x2+x+1）=x3-1
（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1
…
①根据以上规律，则（x-1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=______．
②你能否由此归纳出一般性规律：（x-1）（xn+xn-1+…+x+1）=______．
③根据②求出：1+2+22+…+234+235的结果．
26．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于F．
（1）求证：△ACD≌△CBF；
（2）求证：AB垂直平分DF．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．
【详解】A. ，结果不是整式积的形式，故错误；
B. ，正确；
C. ，是多项式乘法，不是因式分解，错误；
D. ，左边是单项式，不是因式分解，错误；
故选：B
本题的关键是理解因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，然后进行正确的因式分解．
2、D
【解析】∵方程ax+b=0的解是直线y=ax+b与x轴的交点横坐标，
∴方程ax+b=0的解是x=-3.
故选D.
3、C
【分析】根据幂的乘方，把变形为，然后把代入计算即可.
【详解】∵，
∴=.
故选C.
本题考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则是解答本题的关键．幂的乘方底数不变，指数相乘.
4、A
【分析】设索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二元一次方程组．
【详解】解：设索长为x尺，竿子长为y尺，
根据题意得：．
故选：A．
本题考查二元一次方程组的实际应用，属于和差倍分问题，只需要找准数量间的关系，难度较小.
5、C
【分析】根据合并同类项，整式的乘除法法则，幂的乘方，同底数幂除法，依次运算判断即可．
【详解】①3m+2n=3m+2n，不是同类项不能合并，故错误；
②，不是同类项不能合并，故错误；
③，故正确；
④，故正确；
⑤ ，故正确；
⑥，故错误；
∴正确的有③④⑤
故选：C
本题主要考查了同类项的合并，同底数幂的乘除，幂的乘方，熟悉掌握运算的法则进行运算是解题的关键．
6、B
【解析】分析：关于x轴对称的两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数．
详解：根据题意可得：点A(-2，5)关于x轴对称的点的坐标为(-2，-5)，
故选B.
点睛：本题主要考查的是关于x轴对称的点的性质，属于基础题型．关于x轴对称的两个点横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两个点纵坐标相等，横坐标互为相反数；关于原点对称的两个点横坐标和纵坐标都互为相反数．
7、A
【分析】直接利用幂的乘方运算法则化简进而合并求出答案．
【详解】（-a5）2+（-a2）5=a11-a11=1．
故选A．
此题主要考查了幂的乘方运算，正确化简各式是解题关键．
8、B
【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【详解】解：原式=
=
=
故选；B
本题考查分式的运算法则，解题关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
9、B
【分析】根据无理数的概念直接进行排除即可．
【详解】由无理数是无限不循环小数，可得：
在一组数﹣4，0.5，0，π，﹣，0.1010010001…（相邻两个1之间依次增加1个0）中，无理数有：π，0.1010010001…（相邻两个1之间依次增加1个0）两个；
故选B．
本题主要考查无理数的概念，熟练掌握无理数的概念是解题的关键．
10、A
【分析】由矩形的判定和菱形的判定即可得出结论．
【详解】解：A选项：若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；正确；
B选项：若BD=CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；错误；
C选项：若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；错误；
D选项：若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；错误；
故选A．
本题考查了矩形的判定、菱形的判定；熟记菱形和矩形的判定方法是解决问题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【分析】把点P代入一次函数y=2x+1中即可求解．
【详解】点P（a，b）在一次函数y=2x+1的图像上，
b=2a+1
即2a-b+1=1
故答案为：1．
本题考查了一次函数图象上点的坐标，得出b=2a+1是解题关键．
12、15
【分析】根据旋转的性质知∠DFC=60°，再根据EF=CF，EC⊥CF知∠EFC=45°，故∠EFD=∠DFC-∠EFC=15°.
【详解】∵△DCF是△BCE旋转以后得到的图形，
∴∠BEC=∠DFC=60°，∠ECF=∠BCE=90°，CF=CE．
又∵∠ECF=90°，
∴∠EFC=∠FEC=（180°﹣∠ECF）=（180°﹣90°）=45°，
故∠EFD=∠DFC﹣∠EFC=60°﹣45°=15°．
此题主要考查正方形的性质，解题的关键是熟知等腰直角三角形与正方形的性质.
13、1
【分析】过点D作DF⊥AC于点F，如图，根据角平分线的性质可得DF=DE=2，再利用三角形的面积公式即可求出结果．
【详解】解：过点D作DF⊥AC于点F，如图，∵是的平分线，，∴DF=DE=2，
∵，∴AC=1．
故答案为：1．
本题主要考查了角平分线的性质和三角形的面积，属于基础题型，熟知角平分线上的点到这个角两边的距离相等是解题的关键．
14、
【分析】先依据题例用平方差公式展开，再利用乘法分配律交换位置后，相乘进行约分计算即可．
【详解】解：
=
=
=
=
=，
故答案为：．
本题考查运用因式分解对有理数进行简便运算．熟练掌握平方差公式是解题关键．
15、
【解析】本题的等量关系是：绳长-木长=4.5；木长- 绳长=1，据此可列方程组求解．
【详解】设绳长x尺，长木为y尺，
依题意得，
故答案为：.
此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键在于列出方程.
16、5＜a＜1
【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得8-3＜a＜8+3，再解即可．
【详解】解：根据三角形的三边关系可得：8-3＜a＜8+3，
解得：5＜a ＜1，
故答案为：5＜a＜1．
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
17、（x+9）（x－9） 3a
【分析】(1).利用平方差公式分解因式；
(2).先提公因式，然后利用完全平方公式分解因式.
【详解】(1) （x+9）（x－9）；
(2) .
本题考查了利用提公因式法分解因式和利用公式法分解因式，解题的关键是根据式子特点找到合适的办法分解因式.
18、14.5
【分析】如图，若设木棒AB长为x尺，则BC的长是（x－4）尺，而AC=1丈=10尺，然后根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：如图所示，设木棒AB长为x尺，则木棒底端B离墙的距离即BC的长是（x－4）尺，
在直角△ABC中，∵AC2+BC2=AB2，∴，解得：．
故答案为：．
本题考查了勾股定理的应用，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键．
三、解答题(共66分)
19、第一次购进200个礼盒，第二次购进600个礼盒.
【分析】首先设第一次进购礼盒x个，则第二次进购3x，然后根据题意列出方程即可.
【详解】设第一次进购礼盒x个，则第二次进购3x
解得
经检验，是方程的解；
故
答：第一次购进200个礼盒，第二次购进600个礼盒.
此题主要考查分式方程的实际应用，解题关键是理解题意，找出等量关系.
20、（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）利用二次根式的性质和二次根式的乘除法化简，将所得的结果相加减即可；
（2）利用平方差公式和和二次根式的乘除法化简，将所得的结果相加减即可；
（3）利用加减消元法即可求解．
【详解】解：（1）原式=
=
=
=；
（2）原式=
=
=；
（3）
①×6得：③，
③－②得，解得，
将代入②得，解得，
即该方程组的解为：．
本题考查二次根式的混合运算和解方程组．（1）（2）中掌握二次根式的性质和二次根式的乘除法则是解题关键；（3）中掌握消元思想是解题关键．
21、（1）证明见解析；（2）150.
【解析】试题分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BE=AC，DE=AC，从而得到BE=DE．
（2）利用等边对等角以及三角形外角的性质得出∠DEB=∠DAB，即可得出∠DAB=30°，然后根据四边形内角和即可求得答案．
试题解析：证明：（1）∵∠ABC=∠ADC=90°，点E是AC边的中点，
∴BE=AC，DE=AC，
∴BE=DE，
∴△BED是等腰三角形；
（2）∵AE=ED，
∴∠DAE=∠EDA，
∵AE=BE，
∴∠EAB=∠EBA，
∵∠DAE+∠EDA=∠DEC，
∠EAB+∠EBA=∠BEC，
∴∠DAB=∠DEB，
∵△BED是等边三角形，
∴∠DEB=60°，
∴∠BAD=30°，
∴∠BCD=360°-90°-90°-30°=150°．
22、乙直升机的飞行速度为每小时飞行240海里．
【分析】根据已知条件得到∠ABO=25°+65°=90°,根据勾股定理即可得到结论．
【详解】∵甲直升机航向为北偏东25°,乙直升机的航向为北偏西65°,
∴∠ABO=25°+65°=90°,
∵OA=40,OB=180×=24(海里),
∴AB===32(海里),
∵32÷=240(海里/小时),
答:乙直升机的飞行速度为每小时飞行240海里．
本题考查了解直角三角形-方向角问题,正确的理解题意是解题的关键．
23、（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据题目给出数的规律即可求出答案
（2）观察发现，各组等式的分子分母均为1，分母中的第一个数与等式的个数n一致，第二个数为n+1，据此可得规律；
（3）按照所发现的规律，将各项展开后，合并后得，得出方程，然后解分式方程即可
【详解】解:由此推断得：
它的一般规律是：
将方程化为：，
即
解得:，
经检验是原分式方程的解．
本题考查了裂项法的规律发现及其应用，善于根据所给的几组等式，观察出其规律，是解题的关键．
24、AB//CE,理由见解析
【解析】利用平行线的性质及判定即可得出结论.
解：AB//CE，理由如下：
∵∠1+∠2=180°，
∴DE//BC（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠ADF=∠B(两直线平行，同位角相等) ，
∵∠B=∠E，
∴∠ADF=∠E，
∴AB//CE（内错角相等，两直线平行）.
25、 (1)x7－1；(2)xn＋1－1；（3）236－1.
【解析】①观察已知各式，得到一般性规律，化简原式即可；
②原式利用①中得出的规律化简即可得到结果；
③原式变形后，利用②中得出的规律化简即可得到结果．
【详解】解：①根据题意得：（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝x7﹣1；
②根据题意得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝xn+1﹣1；
③原式＝（2﹣1）（1+2+22+…+234+235）＝236﹣1．
故答案为①x7﹣1；②xn+1﹣1；③236﹣1
本题考查了规律型---数字类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
26、见解析
【分析】（1）根据∠ACB=90°，证∠CAD=∠BCF，再利用BF∥AC，证∠ACB=∠CBF=90°，然后利用ASA即可证明△ACD≌△CBF．
（2）先根据ASA判定△ACD≌△CBF得到BF=BD，再根据角度之间的数量关系求出∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分线，从而利用等腰三角形三线合一的性质求证即可．
【详解】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵CE⊥AD，
∴∠CAD=∠BCF，
∵BF∥AC，
∴∠FBA=∠CAB=45°
∴∠ACB=∠CBF=90°，
在△ACD与△CBF中，
∵，
∴△ACD≌△CBF；
（2）证明：∵∠BCE+∠ACE=90°，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠BCE=∠CAE．
∵AC⊥BC，BF∥AC．
∴BF⊥BC．
∴∠ACD=∠CBF=90°，
在△ACD与△CBF中，
∵，
∴△ACD≌△CBF，
∴CD=BF．
∵CD=BD=BC，
∴BF=BD．
∴△BFD为等腰直角三角形．
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠ABC=45°．
∵∠FBD=90°，
∴∠ABF=45°．
∴∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分线．
∴BA是FD边上的高线，BA又是边FD的中线，
即AB垂直平分DF．
考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．
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