湖北省鄂州市五校2024-2025学年九上数学期末考试试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．一人乘雪橇沿坡度为1：的斜坡滑下，滑下距离S（米）与时间t（秒）之间的关系为S=10t+2t2，若滑动时间为4秒，则他下降的垂直高度为（　　）
A．72米 B．36米 C．米 D．米
2．如图是二次函数的图象，其对称轴为x=1，下列结论：①abc>0；②2a+b=0；③4a+2b+c<0；④若(，y1)，(，y2)是抛物线上两点，则y1<y2，其中正确的结论有( )个

A．1 B．2 C．3 D．4
3．一元二次方程的根是　　
A． B． C．， D．，
4．二次函数y=kx2+2x+1的部分图象如图所示，则k的取值范围是（ ）

A．k≤1 B．k≥1 C．k<1 D．0<k < 1
5．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，若OA＝2，∠P＝60°，则的长为( )

A．π B．π C．π D．π
6．小明在太阳光下观察矩形木板的影子，不可能是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．线段 D．梯形
7．一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm、30cm、36cm，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm、45cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边．截法有（ ）
A．0种 B．1种 C．2种 D．3种
8．如图，二次函数()图象的顶点为，其图象与轴的交点，的横坐标分别为和1．下列结论：
①；②；③；④当时，是等腰直角三角形．其中结论正确的个数是(　　)

A．4个 B．1个 C．2个 D．1个
9．将半径为5的圆形纸片，按如图方式折叠，若和都经过圆心，则图中阴影部分的面积是( )

A． B． C． D．
10．如图，中，中线AD，BE相交于点F，，交于AD于点G，下列说法①；②；③与面积相等；④与四边形DCEF面积相等.结论正确的是( )

A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．方程x2﹣2x+1＝0的根是_____．
12．二次函数中的自变量与函数值的部分对应值如下表：

…

…

…

…
则的解为________．
13．若为一锐角，且，则 ．
14．如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE＝2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C，D分别落在边BC下方的点C′，D′处，且点C′，D′，B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D′F与BE交于点G.设AB＝t，那么△EFG的周长为___(用含t的代数式表示)．

15．如图，在中，，是三角形的角平分线，如果，，那么点到直线的距离等于___________.

16．如图，正方形的边长为8，点在上，交于点.若，则长为__．

17．如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH.若OB=4，S菱形ABCD=24，则OH的长为______________.

18．有4根细木棒，它们的长度分别是2cm、4cm、6cm、8cm．从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，求抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于A、B两点．

（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）设点P为该抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
（提示：若平面直角坐标系内有两点P（x1，y1）、Q（x2，y2），则线段PQ的长度PQ=）．
20．（6分）如图，已知线段，于点，且，是射线上一动点，，分别是，的中点，过点，，的圆与的另一交点（点在线段上），连结，.

（1）当时，求的度数；
（2）求证：；
（3）在点的运动过程中，当时，取四边形一边的两端点和线段上一点，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且为锐角顶点，求所有满足条件的的值.
21．（6分）在毕业晚会上，同学们表演哪一类型的节目由自己摸球来决定.在一个不透明的口袋中，装有除标号外其它完全相同的A、B、C三个小球，表演节目前，先从袋中摸球一次（摸球后又放回袋中），如果摸到的是A球，则表演唱歌；如果摸到的是B球，则表演跳舞；如果摸到的是C球，则表演朗诵.若小明要表演两个节目，则他表演的节目不是同一类型的概率是多少？
22．（8分）某商场“六一”期间进行一个有奖销售的活动,设立了一个可以自由转动的转盘(如图),并规定:顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会,当转盘停止时,指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品(若指针落在两个区域的交界处,则重新转动转盘).下表是此次促销活动中的一组统计数据:

转动转盘的次数n
100
200
400
500
800
1 000
落在“可乐”区域
的次数m
60
122
240
298

604
落在“可乐”
区域的频率
0.6
0.61
0.6

0.59
0.604
(1)计算并完成上述表格;
(2)请估计当n很大时,频率将会接近__________;假如你去转动该转盘一次,你获得“可乐”的概率约是__________;(结果精确到0.1)
(3)在该转盘中,表示“车模”区域的扇形的圆心角约是多少度?
23．（8分）如图，△ABC．
（1）尺规作图：
①作出底边的中线AD；
②在AB上取点E，使BE＝BD；
（2）在（1）的基础上，若AB＝AC，∠BAC＝120°，求∠ADE的度数．

24．（8分）如图，，DB平分∠ADC，过点B作交AD于M．连接CM交DB于N．

（1）求证：；（2）若，求MN的长．
25．（10分）如图，已知中，，.求的面积.

26．（10分）如图①，在中，，是边的中点，以点为圆心的圆经过点．

（1）求证：与相切；
（2）在图①中，若与相交于点，与相交于点，连接，，，如图②，则________．
参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】求滑下的距离，设出下降的高度，表示出水平高度，利用勾股定理即可求解.
【详解】当时，，
设此人下降的高度为米，过斜坡顶点向地面作垂线，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
解得.
故选：.
此题主要考查了坡角问题，理解坡比的意义，使用勾股定理，设未知数，列方程求解是解题关键.
2、A
【分析】①由抛物线的开口方向、对称轴即与y轴交点的位置，可得出a＜0、b＞0、c＞0，进而即可得出abc＜0，结论①错误；②由抛物线的对称轴为直线x=1，可得出2a+b=0，结论②正确；③由抛物线的对称性可得出当x=2时y＞0，进而可得出4a+2b+c＞0，结论③错误；④找出两点离对称轴的距离，比较后结合函数图象可得出y1=y2，结论④错误．综上即可得出结论．
【详解】解：①∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，=1，c＞0，
∴b=-2a＞0，
∴abc＜0，结论①错误；
②抛物线对称轴为直线x=1，
∴=1，
∴b=-2a，
∴2a+b=0，结论②正确；
③∵抛物线的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标是（-1，0），
∴另一个交点坐标是（3，0），
∴当x=2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，结论③错误；
④=，，
∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线开口向下，
∴y1=y2，结论④错误；
综上所述：正确的结论有②，1个，
故选择：A．
本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
3、B
【分析】方程两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】（x﹣2）2＝0，
则x1＝x2＝2，
故选B．
本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是掌握要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．
4、D
【分析】由二次函数y=kx2+2x+1的部分图象可知开口朝上以及顶点在x轴下方进行分析.
【详解】解：由图象可知开口朝上即有0<k，又因为顶点在x轴下方，所以顶点纵坐标从而解得k < 1，所以k的取值范围是0<k < 1.
故选D.
本题考查二次函数图像性质，根据开口朝上以及顶点在x轴下方分别代入进行分析.
5、C
【解析】试题解析：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
在四边形APBO中，∠P=60°，
∴∠AOB=120°，
∵OA=2，
∴的长l=.
故选C.
6、D
【分析】根据平行投影的特点可确定矩形木板与地面平行且与光线垂直时所成的投影为矩形；当矩形木板与光线方向平行且与地面垂直时所成的投影为一条线段；除以上两种情况矩形在地面上所形成的投影均为平行四边形，据此逐一判断即可得答案.
【详解】A.将木框倾斜放置形成的影子为平行四边形，故该选项不符合题意，
B.将矩形木框与地面平行放置时，形成的影子为矩形，故该选项不符合题意，
C.将矩形木框立起与地面垂直放置时，形成的影子为线段，
D.∵由物体同一时刻物高与影长成比例，且矩形对边相等，梯形两底不相等，
∴得到投影不可能是梯形，故该选项符合题意，
故选：D.
本题考查了平行投影特点：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例，平行物体的影子仍旧平行或重合．灵活运用平行投影的性质是解题的关键．
7、B
【解析】先判断出两根铝材哪根为边，需截哪根，再根据相似三角形的对应边成比例求出另外两边的长，由另外两边的长的和与另一根铝材相比较即可．
【详解】∵两根铝材的长分别为27cm、45cm，若45cm为一边时，
则另两边的和为27cm，27<45，不能构成三角形，
∴必须以27cm为一边，45cm的铝材为另外两边，
设另外两边长分别为x、y，则
(1)若27cm与24cm相对应时，
，
解得：x=33.75cm，y=40.5cm，
x+y=33.75+40.5=74.25cm>45cm，故不成立；
(2)若27cm与36cm相对应时，
，
解得：x=22.5cm，y=18cm，x+y=22.5+18=40.5cm<45cm，成立；
(3)若27cm与30cm相对应时，
，
解得：x=32.4cm，y=21.6cm，x+y=32.4+21.6=54cm>45cm，故不成立；
故只有一种截法.
故选B.
8、C
【分析】①x＝1＝−，即b＝−2a，即可求解；
②当x＝1时，y＝a＋b＋c＜0，即可求解；
③分别判断出a,b,c的取值，即可求解；
④时，函数的表达式为：y＝（x＋1）（x−1）=，则点A、B、D的坐标分别为：（−1，0）、（1，0）（1，−2），即可求解．
【详解】其图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为−1和1，则函数的对称轴为：x＝1，
①x＝1＝−，即b＝−2a，故不符合题意；
②当x＝1时，y＝a＋b＋c＜0，符合题意；
③由图可得开口向上，a＞0，
对称轴x=1,
∴a,b异号，b＜0，
图像与y轴交于负半轴，c＜0
∴＞0，不符合题意；
④时，函数的表达式为：y＝（x＋1）（x−1）=，则点A、B、D的坐标分别为：（−1，0）、（1，0）（1，−2），AB2＝（-1-1）2+02=16，AD2＝（-1-1）2+（0-2）2＝8，BD2＝（1-1）2+（0-2）2＝8，故△ABD是等腰直角三角形符合题意；
故选：C．
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
9、B
【解析】如图（见解析），先利用翻折的性质、直角三角形的性质求出的度数，再根据垂径定理、等腰三角形的性质得出度数，从而得出的度数，最后根据翻折的性质得出，利用扇形的面积公式即可得．
【详解】如图，过点O作，并延长OD交圆O与点E，连接OA、OB、OC
（垂径定理）
由翻折的性质得

（等腰三角形的三线合一）
同理可得

故选：B．

本题考查了垂径定理、翻折的性质、扇形的面积公式等知识点，利用翻折的性质得出的度数是解题关键．
10、D
【分析】为BC,AC中点，可得 由于可得；可证故①正确.②由于则可证,故②正确.设，可得可判断③错，④正确.
【详解】解：①∵为BC,AC中点，

；
故①正确.
②
,故②正确.
③④设，
故③错，④正确.
本题考查了平行线段成比例，解题的关键是掌握平行线段成比例以及面积与比值的关系.

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、x1＝x2＝1
【解析】方程左边利用完全平方公式变形，开方即可求出解．
【详解】解：方程变形得：（x﹣1）2＝0，
解得：x1＝x2＝1．
故答案是：x1＝x2＝1.
考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解．
12、或
【分析】由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）过点（-1，-2），（0，-2），可求得此抛物线的对称轴，又由此抛物线过点（1，0），即可求得此抛物线与x轴的另一个交点．继而求得答案.
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）过点（-1，-2），（0，-2），
∴此抛物线的对称轴为：直线x=-，
∵此抛物线过点（1，0），
∴此抛物线与x轴的另一个交点为：（-2，0），
∴ax2+bx+c=0的解为：x=-2或1．
故答案为x=-2或1.
此题考查了抛物线与x轴的交点问题．此题难度适中，注意掌握二次函数的对称性是解此题的关键.
13、30°
【详解】试题分析：∵，
∴.
∵为一锐角，∴.
考点：特殊角的三角函数值.
14、2t
【分析】根据翻折的性质，可得CE=，再根据直角三角形30度所对的直角边等于斜边的一半判断出，然后求出，根据对顶角相等可得，根据平行线的性质得到，再求出，然后判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质表示出EF，即可解题．
【详解】由翻折的性质得，CE=

是等边三角形，

的周长=
故答案为：．
本题考查折叠问题、等边三角形的判定与性质、含30度的直角三角形、平行线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
15、1
【分析】作DE⊥AB于E，如图，利用勾股定理计算出BC=5，再根据角平分线的性质得DC=DE，然后利用面积法得到 ×5，从而可求出DE．
【详解】作DE⊥AB于E，如图，

在Rt△ABC中，BC= =5，
∵AD是三角形的角平分线，
∴DC=DE，
∵S△ACD+S△ABD=S△ABC，
∴×5，
∴DE=1，
即点D到直线AB的距离等于1．
故答案为1．
此题考查角平分线的性质，解题关键在于掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
16、6
【分析】根据正方形的性质可得OC∥AB，OB=，从而证出△COQ∽△PBQ，然后根据相似三角形的性质即可求出，从而求出的长．
【详解】解：∵正方形的边长为8，
∴OC∥AB，OB=
∴△COQ∽△PBQ
∴
∴
∴
故答案为：6．
此题考查的是正方形的性质、相似三角形的判定及性质，掌握正方形的性质、利用平行证相似和相似三角形的面积比等于相似比的平方是解决此题的关键．
17、3
【分析】由四边形ABCD是菱形，OB=4，根据菱形的性质可得BD=8，在根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半求得AC=6，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求得OH的长.
【详解】∵四边形ABCD是菱形，OB=4，
∴OA=OC，BD=2OB=8；
∵S菱形ABCD=24，
∴AC=6；
∵AH⊥BC，OA=OC，
∴OH=AC=3.
故答案为3.
本题考查了菱形的性质及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的性质，根据菱形的面积公式（菱形的面积等于两条对角线乘积的一半）求得AC=6是解题的关键.
18、
【分析】根据题意列举出所有4种等可能的结果数，再根据题意得出能够构成三角形的结果数，最后根据概率公式即可求解．
【详解】从中任取3根共有4种等可能的结果数，它们为2、4、6；2、4、8；2、6、8；、4、6、8，
其中恰好能搭成一个三角形为4、6、8，
所以恰好能搭成一个三角形的概率＝．
故答案为．
本题考查列表法或树状图法和三角形三边关系，解题的关键是通过列表法或树状图法展示出所有等可能的结果数及求出构成三角形的结果数．

三、解答题(共66分)
19、（1）y=x+3；y=﹣x2﹣2x+3；（2）M的坐标是（﹣1，2）；（3）P的坐标是（﹣1，）或（﹣1，）或（﹣1，4）或（﹣1，﹣2）．
【分析】（1）用待定系数法即可求出直线BC和抛物线的解析式；
（2）设直线BC与对称轴x＝−1的交点为M，则此时MA＋MC的值最小．把x＝−1代入直线y＝x＋3得y的值，即可求出点M坐标；
（3）设P（−1，t），又因为B（−3，0），C（0，3），所以可得BC2＝18，PB2＝（−1＋3）2＋t2＝4＋t2，PC2＝（−1）2＋（t−3）2＝t2−6t＋10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标．
【详解】（1）A（1，0）关于x=﹣1的对称点是（﹣3，0），
则B的坐标是（﹣3，0）
根据题意得：
解得
则直线的解析式是y=x+3；
根据题意得：
解得：
则抛物线的解析式是y=﹣x2﹣2x+3
（2）设直线BC与对称轴x＝−1的交点为M，则此时MA＋MC的值最小．
把x＝−1代入直线y＝x＋3得，y＝−1＋3＝2，
∴M（−1，2），
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（−1，2）；
（3）如图，设P（−1，t），
又∵B（−3，0），C（0，3），
∴BC2＝18，PB2＝（−1＋3）2＋t2＝4＋t2，PC2＝（−1）2＋（t−3）2＝t2−6t＋10，
①若点B为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2即：18＋4＋t2＝t2−6t＋10解之得：t＝−2；
②若点C为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2即：18＋t2−6t＋10＝4＋t2解之得：t＝4，
③若点P为直角顶点，则PB2＋PC2＝BC2即：4＋t2＋t2−6t＋10＝18解之得：t1＝，t2＝；
∴P的坐标是（﹣1，）或（﹣1，）或（﹣1，4）或（﹣1，﹣2）．

本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数的解析式，利用轴对称性质确定线段的最小长度，两点间的距离公式的运用，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
20、（1）75°；（2）证明见解析；（3）或或．
【分析】（1）根据三角形ABP是等腰三角形，可得∠B的度数；
（2）连接MD，根据MD为△PAB的中位线，可得∠MDB=∠APB，再根据∠BAP=∠ACB，∠BAP=∠B，即可得到∠ACB=∠B，进而得出△ABC∽△PBA，得出答案即可；
（3）记MP与圆的另一个交点为R，根据AM2+MR2=AR2=AC2+CR2，即可得到PR=，MR=，再根据Q为直角三角形锐角顶点，分四种情况进行讨论：当∠ACQ=90°时，当∠QCD=90°时，当∠QDC=90°时，当∠AEQ=90°时，即可求得MQ的值．
【详解】解：（1）∵MN⊥AB，AM=BM，
∴PA=PB，
∴∠PAB=∠B，
∵∠APB=30°，
∴∠B=75°，
（2）如图1，连接MD，

∵MD为△PAB的中位线，
∴MD∥AP，
∴∠MDB=∠APB，
∵∠BAC=∠MDC=∠APB，
又∵∠BAP=180°-∠APB-∠B，∠ACB=180°-∠BAC-∠B，
∴∠BAP=∠ACB，
∵∠BAP=∠B，
∴∠ACB=∠B，
∴AC=AB，由（1）可知PA=PB，
∴△ABC∽△PBA，
∴ ，
∴AB2=BC•PB；
（3）如图2，记MP与圆的另一个交点为R，

∵MD是Rt△MBP的中线，
∴DM=DP，
∴∠DPM=∠DMP=∠RCD，
∴RC=RP，
∵∠ACR=∠AMR=90°，
∴AM2+MR2=AR2=AC2+CR2，
∴12+MR2=22+PR2，
∴12+（4-PR）2=22+PR2，
∴PR=，
∴MR=，
（一）当∠ACQ=90°时，AQ为圆的直径，
∴Q与R重合，
∴MQ=MR=；
（二）如图3，当∠QCD=90°时，

在Rt△QCP中，PQ=2PR=，
∴MQ=；
（三）如图4，当∠QDC=90°时，

∵BM=1，MP=4，
∴BP=，
∴DP=BP=，
∵cos∠MPB= ，
∴PQ=，
∴MQ=；
（四）如图5，当∠AEQ=90°时，

由对称性可得∠AEQ=∠BDQ=90°，
∴MQ=；
综上所述，MQ的值为或或．
此题主要考查了圆的综合题、等腰三角形的性质、三角形中位线定理，勾股定理，圆周角定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，运用旋转的性质以及含30°角的直角三角形的性质进行计算求解，解题时注意分类思想的运用．
21、见解析
【分析】列举出所有情况，看他表演的节目不是同一类型的情况占总情况的多少即可．
【详解】法一：列表如下：

A
B
C
A
AA
AB
AC
B
BA
BB
BC
C
CA
CB
CC
法二：画树状图如下：

画树状图或列表
由上述树状图或表格知：所有可能出现的结果共有9种其中不是同一类型有6种因此他表演的节目不是同一类型的概率是
22、（1）472，0.596；（2）0.6，0.6；（3）144°.
【解析】试题分析: 在同样条件下,做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数,可以估计这个事件发生的概率,
（1）当试验的可能结果不是有限个,或各种结果发生的可能性不相等时,一般用统计频率的方法来估计概率,
（2）利用频率估计概率的数学依据是大数定律:当试验次数很大时,随机事件A出现的频率,稳定地在某个数值P附近摆动.这个稳定值P,叫做随机事件A的概率,并记为P(A)=P,
（3）利用频率估计出的概率是近似值.
试题解析: (1)如下表:
转动转盘的次数n
100
200
400
500
800
1 000
落在“可乐”区域的次数m
60
122
240
298
472
604
落在“可乐”区域的频率
0.6
0.61
0.6
0.596
0.59
0.604
(2)0.6;0.6
(3)由(2)可知落在“车模”区域的概率约是0.4,
从而得到圆心角的度数约是360°×0.4=144°.
23、（1）①详见解析；②详见解析；（2）15°．
【分析】（1）①作线段BC的垂直平分线可得BC的中点D，连接AD即可；
②以B为圆心，BD为半径画弧交AB于E，点E即为所求．
（2）根据题意利用等腰三角形的性质，三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：（1）如图，线段AD，点E即为所求．

（2）如图，连接DE．

∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED＝（180°﹣30°）＝75°，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADE＝90°﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．
本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关的基本知识．
24、（1）见解析；（2）.
【分析】（1）通过证明，可得，可得结论；
（2）由平行线的性质可证即可证，由和勾股定理可求MC的长，通过证明，可得，即可求MN的长．
【详解】证明：（1）∵DB平分，
，且，

（2）

，且

，且，
，

且

考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求MC的长度是本题的关键．
25、
【分析】过点A作AD⊥BC,垂足为点D，构造直角三角形，利用三角函数值分别求出AD、BD、CD的值即可求三角形面积．
【详解】解：过点A作AD⊥BC,垂足为点D，
在Rt△ADB中，∵，
∴=
∵，
∴
在Rt△ADC中，∵，
∴，
∴AD=DC=4
∴

本题考查的知识点是利用勾股定理求三角形面积，通过作辅助线构造直角三角形结合三角函数值是解此题的关键．
26、（1）见解析；（2）
【分析】(1)连接OC,利用等腰三角形的三线合一性质证明即可.
(2)利用30°的特殊三角形的性质求出即可.
【详解】（1）证明：连接.
，是边的中点，
.
又点在上，
与相切.
图①
（2）
∵∠AOB=120°,OA=OB,
∴∠A=30°,
又∵OD=6
∴OA=12
∴AC=,AB=
∵DE是三角形OAB的中位线,
∴DE=.
图②
本题考查圆与三角形的结合,关键在于熟悉基础知识.