资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．已知关于的一元二次方程的两根为，，则一元二次方程的根为( )
A．0，4 B．－3，5 C．－2，4 D．－3，1
2．如图，在中，点在边上，且，，过点作，交边于点，将沿着折叠，得，与边分别交于点．若的面积为，则四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的大小为（ ）
A．64° B．120° C．122° D．128°
4．如图，的半径为2，弦，点P为优弧AB上一动点，，交直线PB于点C，则的最大面积是
A． B．1 C．2 D．
5．一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，若∠ADE＝110°，则∠B＝（ ）
A．80° B．100° C．110° D．120°
7．《九章算术》是一本中国乃至东方世界最伟大的一本综合性数学著作，标志着中国古代数学形成了完整的体系.“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”朱老师根据原文题意，画出了圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道尺（1尺=10寸），则该圆材的直径长为（ ）
A．26寸 B．25寸 C．13寸 D．寸
8．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．两条线段可以组成一个三角形
B．打开电视机，它正在播放动画片
C．早上的太阳从西方升起
D．400人中有两个人的生日在同一天
9．下列选项中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列图形中不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，已知OB为⊙O的半径，且OB＝10cm，弦CD⊥OB于M，若OM：MB＝4：1，则CD长为（ ）
A．3cm B．6cm C．12cm D．24cm
12．如图，已知的周长等于 ，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．已知圆锥的侧面积为20πcm2，母线长为5cm，则圆锥底面半径为______cm．
14．反比例函数的图象在第 象限．
15．若，均为锐角，且满足，则__________．
16．如图,将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°,B点落在B'位置,A点落在A'位置,若AC⊥A'B',则∠BAC的度数是__.
17．地物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是______．
18．把一个小球以20米/秒的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（米）与时间t（秒），满足关系：h=20t-5t2，当小球达到最高点时，小球的运动时间为第_________秒时．
三、解答题（共78分）
19．（8分）某小区在绿化工程中有一块长为20m，宽为8m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为102m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示)，求人行通道的宽度.
20．（8分）为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉字的意识，某校举办了“汉字听写大赛”活动．经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时听写50个汉字，若每正确听写出一个汉字得1分，最终没有学生得分低于25分，也没有学生得满分．根据测试成绩绘制出频数分布表和频数分布直方图（如图）．
请结合图标完成下列各题：
（1）求表中a的值；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）若本次决赛的前5名是3名女生A、B、C和2名男生M、N，若从3名女生和2名男生中分别抽取1人参加市里的比赛，试用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到女生A和男生M的概率．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，点P从点A出发以lcm/s的速度沿折线AC﹣CB运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，当点P不与点A、B重合时，以线段PQ为边向右作正方形PQRS，设正方形PQRS与△ABC的重叠部分面积为S，点P的运动时间为t（s）．
（1）用含t的代数式表示CP的长度；
（2）当点S落在BC边上时，求t的值；
（3）当正方形PQRS与△ABC的重叠部分不是五边形时，求S与t之间的函数关系式；
（4）连结CS，当直线CS分△ABC两部分的面积比为1：2时，直接写出t的值．
22．（10分） (1)(x－5)2－9＝0 (2)x2＋4x－2＝0
23．（10分）如图，在中，，是边上的中线，平分交于点、交于点，，．
（1）求的长；
（2）证明：；
（3）求的值．
24．（10分）小明和小亮两同学做游戏，游戏规则是：有一个不透明的盒子，里面装有两张红卡片，两张绿卡片，卡片除颜色外其他均相同，两人先后从盒子中取出一张卡片（不放回），若两人所取卡片的颜色相同，则小明获胜，否则小亮获胜．
（1）请用画树状图或列表法列出游戏所有可能的结果；
（2）请根据你的计算结果说明游戏是否公平，若不公平，你认为对谁有利？
25．（12分）有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的3个扇形区，分别标有数字1，2，3，另有一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4（如图所示），小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一个人转动圆盘，另一人从口袋中摸出一个小球，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于4，那么小颖去；否则小亮去．
（1）用画树状图或列表的方法求出小颖参加比赛的概率；
（2）你认为该游戏公平吗？请说明理由．
26．如图，已知和中，，，，，；
（1）请说明的理由；
（2）可以经过图形的变换得到，请你描述这个变换；
（3）求的度数．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】先将，代入一元二次方程得出与的关系，再将用含的式子表示并代入一元二次方程求解即得．
【详解】∵关于的一元二次方程的两根为，
∴或
∴整理方程即得：
∴
将代入化简即得：
解得：，
故选：B．
本题考查了含参数的一元二次方程求解，解题关键是根据已知条件找出参数关系，并代入要求的方程化简为不含参数的一元二次方程．
2、B
【分析】由平行线的性质可得,，可设AH=5a，HP=3a，求出S△ADE=，由平行线的性质可得，可得S△FGM=2, 再利用S四边形DEGF= S△DEM- S△FGM,即可得到答案．
【详解】解：如图，连接AM，交DE于点H，交BC于点P，
∵DE∥BC，
∴，
∴
∵的面积为
∴S△ADE=×32=
设AH=5a，HP=3a
∵沿着折叠
∴AH=HM=5a，S△ADE=S△DEM=
∴PM=2a，
∵DE∥BC
∴
∴S△FGM=2
∴S四边形DEGF= S△DEM- S△FGM=-2=
故选：B．
本题考查了折叠变换，平行线的性质，相似三角形的性质，熟练运用平行线的性质是本题的关键．
3、C
【分析】根据圆周角定理可求∠CAD=32°，再根据三角形内心的定义可求∠BAC，再根据三角形内角和定理和三角形内心的定义可求∠EBC+∠ECB，再根据三角形内角和定理可求∠BEC的度数．
【详解】在⊙O中，
∵∠CBD=32°，
∴∠CAD=32°，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAC=64°，
∴∠EBC+∠ECB=(180°-64°)÷2=58°，
∴∠BEC=180°-58°=122°．
故选：C．
本题考查了三角形的内心，圆周角定理，三角形内角和定理，关键是得到∠EBC+∠ECB的度数．
4、B
【分析】连接OA、OB，如图1，由可判断为等边三角形，则，根据圆周角定理得，由于，所以，因为，则要使的最大面积，点C到AB的距离要最大；由，可根据圆周角定理判断点C在上，如图2，于是当点C在半圆的中点时，点C到AB的距离最大，此时为等腰直角三角形，从而得到的最大面积．
【详解】解：连接OA、OB，如图1，
，，
为等边三角形，
，
，
，要使的最大面积，则点C到AB的距离最大，
作的外接圆D，如图2，连接CD，
，点C在上，AB是的直径，
当点C半圆的中点时，点C到AB的距离最大，此时等腰直角三角形，
，，
ABCD，
的最大面积为1．
故选B．
本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的判断与性质；记住等腰直角三角形的面积公式．
5、C
【分析】画树状图求出共有12种等可能结果，符合题意得有2种，从而求解.
【详解】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两次都摸到白球的有2种情况，
∴两次都摸到白球的概率是：．
故答案为C．
本题考查画树状图求概率，掌握树状图的画法准确求出所有的等可能结果及符合题意的结果是本题的解题关键．
6、C
【分析】直接利用圆内接四边形的性质分析得出答案．
【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，∠ADE＝110°，
∴∠B＝∠ADE＝110°．故选：C．
本题考查圆内接四边形的性质. 熟练掌握圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；.圆内接四边形的外角等于它的内对角是解题的关键.
7、A
【分析】取圆心O，连接OP，过O作OH⊥PQ于H，根据垂径定理求出PH的长，再根据勾股定理求出OP的值，即可求出直径．
【详解】解：取圆心O，连接OP，过O作OH⊥PQ于H，
由题意可知MH=1寸，PQ=10寸，
∴PH=5寸，
在Rt△OPH中，OP2=OH2+PH2，设半径为x，
则x2=（x-1）2+52，
解得：x=13，
故圆的直径为26寸，
故选：A．
本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
8、D
【解析】一定会发生的事件为必然事件，即发生的概率是1的事件．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解：A、两条线段可以组成一个三角形是不可能事件；
B、打开电视机，它正在播放动画片是随机事件；
C、早上的太阳从西方升起是不可能事件；
D、400人中有两个人的生日在同一天是不必然事件；
故选：D．
本题考查的是必然事件.不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.
9、C
【解析】根据反比例函数的定义“一般的，如果两个变量x，y之间的关系可以表示成，其中为常数，，我们就叫y是x的反比例函数”判定即可.
【详解】A、x的指数是，不符定义
B、x的指数是1，y与x是成正比例的，不符定义
C、可改写成，符合定义
D、当是，函数为，是常数函数，不符定义
故选：C.
本题考查了反比例函数的定义，熟记定义是解题关键.
10、B
【分析】在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】A、C、D都是中心对称图形；不是中心对称图形的只有B．
故选B．
本题属于基础应用题，只需学生熟知中心对称图形的定义，即可完成．
11、C
【分析】根据OB＝10cm，OM：MB＝4：1，可求得OM的长，再根据垂径定理和勾股定理可计算出答案．
【详解】∵弦CD⊥OB于M，
∴CM＝DM＝CD，
∵OM：MB＝4：1，
∴OM＝OB＝8cm，
∴CM＝（cm），
∴CD＝2CM＝12cm，
故选：C．
本题考查了垂径定理和勾股定理，垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
12、C
【分析】过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，由⊙O的周长等于6πcm，可得⊙O的半径，又由圆的内接多边形的性质可得∠AOB=60°，即可证明△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质可求出OH的长，根据S正六边形ABCDEF=6S△OAB即可得出答案．
【详解】过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，设⊙O的半径为r，
∵⊙O的周长等于6πcm，
∴2πr=6π，
解得：r=3，
∴⊙O的半径为3cm，即OA=3cm，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=×360°=60°，OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB=OA=3cm，
∵OH⊥AB，
∴AH=AB，
∴AB=OA=3cm，
∴AH=cm，OH==cm，
∴S正六边形ABCDEF=6S△OAB=6××3×=（cm2）．
故选C.
此题考查了正多边形与圆的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【分析】由圆锥的母线长是5cm，侧面积是20πcm2，求圆锥侧面展开扇形的弧长，然后再根据锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求解．
【详解】解：由圆锥的母线长是5cm，侧面积是20πcm2，
根据圆锥的侧面展开扇形的弧长为：=8π，
再根据锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，
可得=1cm．
故答案为：1．
本题考查圆锥的计算，掌握公式正确计算是解题关键．
14、二、四
【解析】：∵k=-1＜0，∴反比例函数y="-1/x" 中，图象在第二、四象限
15、15
【分析】利用绝对值和二次根式的非负性求得的值，然后确定两个角的度数，从而求解.
【详解】解：由题意可知：
∴
∴∠α=60°，∠β=45°
∴∠α-∠β=15°
故答案为：15
本题考查绝对值及二次根式的非负性和特殊角的三角函数值，正确计算是本题的解题关键.
16、70°
【解析】由旋转的角度易得∠ACA′=20°，若AC⊥A'B'，则∠A′、∠ACA′互余，由此求得∠ACA′的度数，由于旋转过程并不改变角的度数，因此∠BAC=∠A′，即可得解．
【详解】解：由题意知：∠ACA′=20°；
若AC⊥A'B'，则∠A′+∠ACA′=90°，
得：∠A′=90°-20°=70°；
由旋转的性质知：∠BAC=∠A′=70°；
故∠BAC的度数是70°．
故答案是：70°
本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
17、或
【分析】根据二次函数的对称性即可得出二次函数与x轴的另一个交点为（3，0），当时，图像位于x轴的上方，故可以得出x的取值范围．
【详解】解：由图像可得：对称轴为x=1，二次函数与x轴的一个交点为（-1，0）
则根据对称性可得另一个交点为（3，0）
∴当或时，
故答案为：或
本题主要考查的是二次函数的对称性，二次函数的图像是关于对称轴对称的，掌握这个知识点是解题的关键．
18、1
【解析】h=10t-5t1=-5（t-1）1+10，
∵-5＜0，∴函数有最大值，
则当t=1时，球的高度最高．
故答案为1．
三、解答题（共78分）
19、人行通道的宽度为1米.
【分析】设人行通道的宽度为x米，根据矩形绿地的面积和为102平方米，列出关于x的一元二次方程，求解即可.
【详解】设人行通道的宽度为x米，根据题意得，
(20﹣3x)(8﹣2x)＝102，
解得：x1＝1，x2＝(不合题意，舍去).
答：人行通道的宽度为1米.
本题主要考查一元二次方程的实际应用----面积问题，根据题意，列出一元二次方程，是解题的关键.
20、（1）16；（2）见解析；（3）图见解析，
【解析】（1）利用总数50减去其它项的频数即可求得结果；
（2）根据第三组，第四组的人数，画出直方图即可；
（3）利用树状图方表示出所有可能的结果，然后利用概率公式即可求解．
【详解】（1）由频数分布表可得：a=50−4−6−14−10=16；
（2）频数分布直方图如图所示：
（3）根据题意画树状图如下：
从上图可知共有6种等可能情况，其中抽到女生A和男生M的情况有1种，所以恰好抽到女生A和男生M的概率．
本题考查树状图法求概率、读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
21、（1）当0＜t＜4时，CP＝4﹣t，当4≤t＜8时，CP＝t﹣4；（1）；（3）S＝；（4）或
【分析】（1）分两种情形分别求解即可．
（1）根据PA+PC＝4，构建方程即可解决问题．
（3）分两种情形：如图1中，当0＜t≤时，重叠部分是正方形PQRS，当4＜t＜8时，重叠部分是△PQB，分别求解即可．
（4）设直线CS交AB于E．分两种情形：如图4﹣1中，当AE＝AB＝时，满足条件．如图4﹣1中，当AE＝AB时，满足条件．分别求解即可解决问题．
【详解】解：（1）当0＜t＜4时，∵AC＝4，AP＝t，
∴PC＝AC﹣AP＝4﹣t；
当4≤t＜8时，CP＝t﹣4；
（1）如图1中，点S落在BC边上，
∵PA＝t，AQ＝QP，∠AQP＝90°，
∴AQ＝PQ＝PS＝t，
∵CP＝CS，∠C＝90°，
∴PC＝CS＝t，
∵AP+PC＝BC＝4，
∴t+t＝4，
解得t＝．
（3）如图1中，当0＜t≤时，重叠部分是正方形PQRS，S＝（t）1＝t1．
当4＜t＜8时，重叠部分是△PQB，S＝（8﹣t）1．
综上所述，S＝．
（4）设直线CS交AB于E．
如图4﹣1中，当AE＝AB＝时，满足条件，
∵PS∥AE，
∴，
∴，
解得t＝．
如图4﹣1中，当AE＝AB时，满足条件．
同法可得：，
解得t＝，
综上所述，满足条件的t的值为或．
此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
22、（1）x=8或x=1；（1）x=-1或x=--1
【分析】（1）先移项，利用直接开平方法解方程；
（1）利用配方法解方程即可求解．
【详解】解：（1）(x－5)1－9＝0
（x-5）1=9
∴x-5=3或x-5=-3
∴x=8或x=1；
（1）x1＋4x－1＝0
（x1+4x+4）-6=0
(x+1)1=6
∴x+1=或x+1=-
∴x=-1或x=--1．
本题考查一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
23、（1）13 （2）证明见解析 （3）
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得，结合，可得，根据勾股定理列式求解即可；
（2）根据直角三角形的斜边中线定理和等边对等角即可证明；
（3）通过证明F是△ABC的重心，即可得，根据勾股定理求出BE的长度，即可在Rt△BEF中求出的值．
【详解】（1）∵，平分交于点、交于点
∴
∵
∴在Rt△ABE中，
∴
∵
∴在Rt△ABE中，
∴
∵
∴；
（2）∵是边上的中线
∴
∴；
（3）∵，平分交于点、交于点
∴AE是BC边上的中线
∵BD是AC边上的中线
∴F是△ABC的重心
∵
∴
∴
∴在Rt△BEF中，
∴．
本题考查了三角形的综合问题，掌握等腰三角形三线合一的性质、勾股定理、锐角三角函数、三角形重心的性质是解题的关键．
24、（1）见解析；（2）不公平，对小亮有利，见解析.
【解析】（1）采用树状图法或者列表法解答均可；
（2）列举出所有情况，看两人所取卡片的颜色相同和不同的情况占总情况的多少即可判断．
【详解】解：（1）画树状图如下：
（2）不公平，理由如下：
由树状图知共有12种等可能结果，其中两种颜色相同的有4种结果，两种颜色不同的有8种结果，
所以小明获胜的概率为，小亮获胜的概率为，
因为 ＞，
所以小亮获胜的可能性大，
故此游戏不公平．
本题考查游戏的公平性，解题的关键是正确的列出表格或树状图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
25、（1）图见解析，概率为；（2）不公平，理由见解析
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两指针所指数字之和和小于4的情况，则可求得小颖参加比赛的概率；
（2）根据小颖获胜与小亮获胜的概率，比较概率是否相等，即可判定游戏是否公平．
【详解】（1）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，所指数字之和小于4的有3种情况，
∴P（和小于4）＝＝，
∴小颖参加比赛的概率为：；
（2）不公平，
∵P（小颖）＝，
P（小亮）＝．
∴P（和小于4）≠P（和大于等于4），
∴游戏不公平．
此题主要考查概率的求解，解题的关键是根据题意画出树状图进行求解.
26、（1）见解析 （2）绕点顺时针旋转，可以得到 （3）
【解析】（1）先利用已知条件∠B=∠E，AB=AE，BC=EF，利用SAS可证△ABC≌△AEF，那么就有∠C=∠F，∠BAC=∠EAF，那么∠BAC-∠PAF=∠EAF-∠PAF，即有∠BAE=∠CAF=25°；
（2）通过观察可知△ABC绕点A顺时针旋转25°，可以得到△AEF；
（3）由（1）知∠C=∠F=57°，∠BAE=∠CAF=25°，而∠AMB是△ACM的外角，根据三角形外角的性质可求∠AMB．
【详解】∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴；
通过观察可知绕点顺时针旋转，可以得到；
由知，，
∴．
本题利用了全等三角形的判定、性质，三角形外角的性质，等式的性质等．
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