资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．二次函数的图象向左平移个单位，得到新的图象的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC＝40°，则∠D的度数是（ ）
A．140° B．130° C．120° D．110°
3．如下是一种电子记分牌呈现的数字图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A． B． C． D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．经过三点可以做一个圆 B．平分弦的直径垂直于这条弦
C．等弧所对的圆心角相等 D．三角形的外心到三边的距离相等
5．如图，在⊙O中，若点C是 的中点，∠A=50°，则∠BOC=（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
6．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点O，设△OCD的面积为m，△OEB的面积为，则下列结论中正确的是（ ）
A．m=5 B．m= C．m= D．m=10
7．己知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（ ）
A．1 B． C．2 D．2
8．如图，线段与相交于点，连接，且，要使，应添加一个条件，不能证明的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3,AC=4，
则sinA的值为（ ）．
A． B．
C． D．
10．如图，在中，点D为AC边上一点，则CD的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．庆“元旦”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，求这次有多少队参加比赛？若设这次有x队参加比赛，则根据题意可列方程为_____．
12．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的坐标分别是（﹣3，0），（2，0），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解是_____．
13．某校九年1班共有45位学生，其中男生有25人，现从中任选一位学生，选中女生的概率是____．
14．已知一条抛物线，以下说法：①对称轴为，当时，随的增大而增大；②；③顶点坐标为；④开口向上.其中正确的是______.（只填序号）
15．如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在轴上，B在第二象限．△ABO沿轴正方向作无滑动的翻滚，经第一次翻滚后得△A1B1O，则翻滚10次后AB中点M经过的路径长为________
16．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12 m时，桥洞顶部离水面4 m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，求选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是_______．
17．如图在中，，，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，为的中点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，若，则阴影部分的面积为________．
18．如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为 ．
三、解答题(共66分)
19．（10分）一个不透明的盒子中装有2枚黑色的棋子和1枚白色的棋子，每枚棋子除了颜色外其余均相同．从盒中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回并搅匀，再从盒子中随机摸出一枚棋子，记下颜色，用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的棋子颜色不同的概率．
20．（6分）已知：如图，在四边形ABCD中，点G在边BC的延长线上，CE平分∠BCD，CF平分∠GCD，EF∥BC交CD于点O．
（1）求证：OE=OF；
（2）若点O为CD的中点，求证：四边形DECF是矩形．
21．（6分）某中学举行“中国梦，我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题.
（1）参加比赛的学生共有 名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为 度，图中m的值为 ；
（2）补全条形统计图；
（3）组委会决定分别从本次比赛中获利A、B两个等级的学生中，各选出1名学生培训后搭档去参加市中学生演讲比赛，已知甲的等级为A，乙的等级为B，求同时选中甲和乙的概率.
22．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C做⊙O 的切线，与AE的延长线交于点D，且AD⊥CD．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若AB=10，CD=4，求DE的长．
23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．
（1）求作⊙O，使得点O在边AB上，且⊙O经过B、D两点（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）证明AC与⊙O相切．
24．（8分）如图，是⊙的直径，是⊙的切线，点为切点，与⊙交于点，点是的中点，连结．
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若，，求阴影部分的面积．
25．（10分）王大伯几年前承包了甲、乙两片荒山，各栽100棵杨梅树，成活98%．现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他分别从两山上随意各采摘了4棵树上的杨梅，每棵的产量如折线统计图所示．
（1）分别计算甲、乙两山样本的平均数，并估算出甲、乙两山杨梅的产量总和；
（2）试通过计算说明，哪个山上的杨梅产量较稳定？
26．（10分）为了解学生的艺术特长发展情况，某校决定围绕“在舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动项目中，你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请你根据统计图解答下列问题：
（1）扇形统计图中“戏曲”部分对应的扇形的圆心角为 度；
（2）若在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲”项目中任选两项成立课外兴趣小组，请用列举法求恰好选中“舞蹈、声乐”这两项的概率．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】根据向左平移横坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【详解】解：∵二次函数的图象向左平移个单位，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（-2，0），
∴新的图象的二次函数表达式是：；
故选择：C.
本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便，平移的规律：左加右减，上加下减．
2、B
【分析】根据圆周角定理求出∠ACB，根据三角形内角和定理求出∠B，求出∠D+∠B=180°，再代入求出即可.
【详解】∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=40°，
∴∠B=180°﹣∠ACB﹣∠BAC=50°，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠D+∠B=180°，
∴∠D=130°，
故选：B．
此题主要考查圆周角定理以及圆内接四边形的性质，熟练掌握，即可解题.
3、C
【分析】根据轴对称和中心对称图形的概念可判别.
【详解】（A）既不是轴对称也不是中心对称;
（B）是轴对称但不是中心对称；
（C）是轴对称和中心对称；
（D）是中心对称但不是轴对称
故选：C
4、C
【解析】根据确定圆的条件、垂径定理的推论、圆心角、弧、弦的关系、三角形的外心的知识进行判断即可．
【详解】解：A、经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，A错误；
B、平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，B错误；
C、等弧所对的圆心角相等，C正确；
D、三角形的外心到各顶点的距离相等，D错误；
故选：C．
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、确定圆的条件、垂径定理的推论和三角形外心的知识，掌握相关定理并灵活运用是解题的关键．
5、A
【解析】试题解析：
∵点C是 的中点，
故选A.
点睛：垂直于弦的直径，平分弦并且平分弦所对的两条弧.
6、B
【解析】试题分析：∵AB∥CD，∴△OCD∽△OEB，又∵E是AB的中点，∴2EB=AB=CD，∴，即，解得m=．故选B．
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质．
7、B
【解析】
由题意得,∠AOB==60°，
∴∠AOC=30°，
∴OC=2⋅cos30°=2×=，
故选B.
8、D
【分析】根据三角形全等的判定定理逐项判断即可.
【详解】A、在和中，
则，此项不符题意
B、在和中，
则，此项不符题意
C、在和中，
则，此项不符题意
D、在和中，，但两组相等的对应边的夹角和未必相等，则不能证明，此项符合题意
故选：D.
本题考查了三角形全等的判定定理，熟记各定理是解题关键.
9、C
【分析】根据勾股定理求出AB，并根据正弦公式：sinA= 求解即可.
【详解】∵∠C=90°，BC=3,AC=4
∴
∴
故选C.
本题主要是正弦函数与勾股定理的简单应用，正确理解正弦求值公式即可.
10、C
【解析】根据∠DBC=∠A，∠C=∠C，判定△BCD∽△ACB，根据相似三角形对应边的比相等得到代入求值即可.
【详解】∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，
∴△BCD∽△ACB，
∴
∴
∴CD=2.
故选:C.
主要考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、＝45
【分析】设这次有x队参加比赛，由于赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），则此次比赛的总场数为：场．根据题意可知：此次比赛的总场数＝45场，依此等量关系列出方程．
【详解】解：设这次有x队参加比赛，则此次比赛的总场数为场，
根据题意列出方程得：＝45，
故答案是：．
考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题的关键在于理解清楚题意，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．需注意赛制是“单循环形式”，需使两两之间比赛的总场数除以1．
12、.x1＝－3，x2＝2
【详解】解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标分别是(−3,0)，(2,0)，
∴当x=−3或x=2时，y=0，
即方程的解为
故答案为：
13、
【详解】解:选中女生的概率是： .
14、①④
【分析】先确定顶点及对称轴，结合抛物线的开口方向逐一判断．
【详解】因为y=2(x﹣3)2+1是抛物线的顶点式，顶点坐标为(3，1)，
①对称轴为x=3，当x＞3时，y随x的增大而增大，故①正确；
②，故②错误；
③顶点坐标为(3，1)，故③错误；
④∵a=1＞0，
∴开口向上，故④正确．
故答案为：①④．
本题考查了二次函数的性质以及函数的单调性和求抛物线的顶点坐标、对称轴及最值的方法．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
15、 (4+)
【分析】根据题意先作B3E⊥x轴于E，观察图象可知为三次一个循环，求点M的运动路径，进而分析求得翻滚10次后AB中点M经过的路径长．
【详解】解：如图作B3E⊥x轴于E，
可知OE=5，B3E=，
观察图象可知为三次一个循环，一个循环点M的运动路径为：
，
则翻滚10次后AB中点M经过的路径长为：
.
故答案为：(4+).
本题考查规律题，解题的关键是灵活运用弧长公式、等边三角形的性质等知识解决问题.
16、
【分析】以A为坐标原点建立坐标系，求出其它两点的坐标，用待定系数法求解析式即可．
【详解】解：以A为原点建立坐标系，则A（0，0），B（12，0），C（6，4）
设y=a（x-h）2+k，
∵C为顶点，
∴y=a（x-6）2+4，
把A（0，0）代入上式，
36a+4=0，
解得：，
∴；
故答案为：．
本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，恰当的选取坐标原点，求出各点的坐标是解决问题的关键．
17、
【分析】过D作DM⊥AB，根据计算即得．
【详解】过D作DM⊥AB，如下图：
∵为的中点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点
∴AD=ED=CD
∴，
∵
∴
∴
∵在中，
∴
∵
∴
∴
∴，，
∴，，
∴
故答案为：
本题考查了求解不规则图形的面积，解题关键是通过容斥原理将不规则图形转化为规则图形．
18、1.
【解析】试题分析：根据圆的确定先做出过A，B，C三点的外接圆，从而得出答案．
如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，
以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，
由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这1个格点，
故答案为1．
考点：圆的有关性质.
三、解答题(共66分)
19、.
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的棋子颜色不同的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次摸出的棋子颜色不同的有4种情况，
∴两次摸出的棋子颜色不同的概率为：．
20、证明见解析
【解析】（1）由于CE平分∠BCD，那么∠DCE=∠BCE，而EF∥BC，于是∠OEC=∠BCE，等量代换∠OEC=∠DCE，那么OE=OC，同理OC=OF，等量代换有OE=OF；
（2）由于O是CD中点，故OD=OC，而OE=OF，那么易证四边形DECF是平行四边形，又CE、CF是∠BCD、∠DCG的角平分线，∠BCD+∠DCG=180°那么易得∠ECF=90°，从而可证四边形DECF是矩形．
【详解】解：（1）∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，
∴∠BCE=∠DCE，∠DCF=∠GCF．
∵EF∥BC，
∴∠BCE=∠FEC，∠EFC=∠GCF，
∴∠DCE=∠FEC，∠EFC=∠DCF，
∴OE=OC，OF=OC，
∴OE=OF；
（2）∵点O为CD的中点，
∴OD=OC．
又∵OE=OF，
∴四边形DECF是平行四边形．
∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，
∴∠DCE=∠BCD，∠DCF=∠DCG，
∴∠DCE+∠DCF=（∠BCD+∠DCG）=90°，
即∠ECF=90°，
∴四边形DECF是矩形．
本题主要考查平行线的性质及矩形的判定，证得OE=OF，得出四边形DECF是平行四边形是解题的关键，注意角平分线的应用．
21、（1）20，72，1;（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据等级为A的人数除以所占的百分比求出总人数，用360°乘以D等级对应比例可得其圆心角度数，根据百分比的概念可得m的值；
（2）求出等级B的人数，补全条形统计图即可；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】解：（1）根据题意得：3÷15%=20（人），
表示“D等级”的扇形的圆心角为×360°=72°；
C级所占的百分比为×100%=1%，
故m=1，
故答案为：20，72，1．
（2）等级B的人数为20-（3+8+4）=5（人），
补全统计图，如图所示：
（3）列表如下：
乙
B
B
B
B
甲
甲、乙
甲、B
甲、B
甲、B
甲、B
A
A、乙
A、B
A、B
A、B
A、B
A
A、乙
A、B
A、B
A、B
A、B
所有等可能的结果有15种，同时选中甲和乙的情况有1种，
所以同时选中甲和乙的概率为．
此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及列表法与树状图法，弄清题意是解本题的关键．
22、（1）见解析；（1）DE=1
【分析】（1）连接OC，利用切线的性质可得出OC∥AD，再根据平行线的性质得出∠DAC=∠OCA，又因为∠OCA=∠OAC，继而可得出结论；
（1）方法一：连接BE交OC于点H，可证明四边形EHCD为矩形，再根据垂径定理可得出，得出，从而得出，再通过三角形中位线定理可得出，继而得出结论；方法二：连接BC、EC，可证明△ADC∽△ACB，利用相似三角形的性质可得出AD=8，再证△DEC∽△DCA，从而可得出结论；方法三：连接BC、EC，过点C做CF⊥AB，垂足为F，利用已知条件得出OF=3，再证明△DEC≌△CFB，利用全等三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：（1）证明：连接OC，
∵CD切☉O于点C
∴OC⊥CD
∵AD⊥CD
∴∠D=∠OCD=90°
∴∠D+∠OCD=180°
∴OC∥AD
∴∠DAC=∠OCA
∵OA=OC
∴∠OCA=∠OAC
∴∠DAC=∠OAC
∴AC平分DAB
（1）方法1：连接BE交OC于点H
∵AB是☉O直径
∴∠AEB=90°
∴∠DEC=90°
∴四边形EHCD为矩形
∴CD=EH=4
DE=CH
∴∠CHE=90°
即OC⊥BH
∴EH=BE=4
∴BE=8
∴在Rt△AEB中
AE=6
∵EH=BH
AO=BO
∴OH=AE=3
∴CH=1
∴DE=1
方法1：
连接BC、EC
∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∴∠D=∠ACB
∵∠DAC=∠CAB
∴△ADC∽△ACB
∴
∠B=∠DCA
∴AC1=10·AD
∵AC1=AD1+CD1
∴10·AD=AD1+16
∴AD=1舍AD=8
∵四边形ABCE内接于☉O
∴∠B+∠AEC=180°
∵∠DEC+∠AEC=180°
∴∠B=∠DEC
∴∠DEC=∠DCA
∵∠D=∠D
∴△DEC∽△DCA
∴
∴CD1=AD·DE
∴16=8·DE
∴DE=1；
方法3：
连接BC、EC，过点C做CF⊥AB，垂足为F
∵CD⊥AD，∠DAC=∠CAB
∴CD=CF=4，∠D=∠CFB=90°
∵AB=10
∴OC=OB=5
∴OF=3
∴BF=OB-OF=5-3=1
∵四边形ABCE内接于☉O
∴∠B+∠AEC=180°
∵∠DEC+∠AEC=180°
∴∠B=∠DEC
∴△DEC≌△CFB
∴DE=FB=1．
本题是一道关于圆的综合题目，涉及的知识点有切线的性质、平行线的性质、矩形的性质、相似三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质等，综合利用以上知识点是解此题的关键．
23、（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）作BD的垂直平分线交AB于O，再以O点为圆心，OB为半径作圆即可；
（2）证明OD∥BC得到∠ODC=90°，然后根据切线的判定定理可判断AC为⊙O的切线．
【详解】解：（1）如图，⊙O为所作；
（2）证明：连接OD，如图，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠CBD=∠ODB，
∴OD∥BC，
∴∠ODA=∠ACB，
又∠ACB=90°，
∴∠ODA=90°，
即OD⊥AC，
∵点D是半径OD的外端点，
∴AC与⊙O相切．
本题考查了作图—复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定．
24、（1）见解析；（2）．
【解析】（1）连结OC，AC，由切线性质知Rt△ACP中DC=DA，即∠DAC=∠DCA，再结合∠OAC=∠OCA知∠OCD=∠OCA+∠DCA=∠OAC+∠DAC=90°，据此即可得证；
（2）先求出OA=1，BP=2AB=4，AD＝,再根据S阴影=S四边形OADC-S扇形AOC即可得．
【详解】（1）连结，如图所示：
∵是⊙的直径，是切线，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∴是⊙的切线；
（2）∵在中，，
∴，
∴，
∴，，，
∴．
本题考查了切线的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定与性质、直角三角形的性质、扇形面积的计算等知识点．
25、（1）甲、乙样本的平均数分别为：40kg，40kg；产量总和为7840千克（2）乙．
【分析】（1）根据折线图先求出甲山和乙山的杨梅的总数就可以求出样本的平均数；利用样本平均数代替总体平均数即可估算出甲、乙两山杨梅的产量总和；
（2）根据甲乙两山的样本数据求出方差，比较大小就可以求出结论．
【详解】解：（1）甲山上4棵树的产量分别为：50千克、36千克、40千克、34千克，
所以甲山产量的样本平均数为：千克；
乙山上4棵树的产量分别为：36千克、40千克、48千克、36千克，
所以乙山产量的样本平均数为千克．
答：甲、乙两片山上杨梅产量数样本的平均数分别为：40kg，40kg；
甲、乙两山的产量总和为：100×98%×2×40=7840千克．
（2）由题意，得
S甲2=（千克2）；
S乙2=（千克2）
∵38＞24
∴S2甲＞S2乙
∴乙山上的杨梅产量较稳定．
本题考查了折线统计图、方差、平均数和极差，从图中找到所需的统计量是解题的关键．
26、（1）28.8；（2）
【分析】（1）用喜欢声乐的人数除以它所占百分比即可得到调查的总人数，用总人数分别减去喜欢舞蹈、乐器、和其它的人数得到喜欢戏曲的人数，即可得出答案；
（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好选中“①舞蹈、③声乐”两项活动的结果数，然后根据概率公式计算．
【详解】（1）抽查的人数＝8÷16%＝50（名）；
喜欢“戏曲”活动项目的人数＝50﹣12﹣16﹣8﹣10＝4（人）；
扇形统计图中“戏曲”部分对应的扇形的圆心角为360°×＝28.8°；
故答案为：28.8；
（2）舞蹈、乐器、声乐、戏曲的序号依次用①②③④表示，
画树状图：
共有12种等可能的结果数，其中恰好选中“①舞蹈、③声乐”两项活动的有2种情况，
所有故恰好选中“舞蹈、声乐”两项活动的概率＝＝．
本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了扇形统计图和条形统计图．
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