资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．下列命题正确的是( )
A．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等
D．同弧或等弧所对的圆周角相等
2．把二次函数化成的形式是下列中的 ( )
A． B．
C． D．
3．如图，已知⊙O的半径是4，点A,B,C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
4．13名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前6名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（ ）
A．方差 B．众数 C．平均数 D．中位数
5．如图，的直径的长为，弦长为，的平分线交于，则长为（ ）
A．7 B．7 C．8 D．9
6．如图，⊙是的外接圆，已知平分交⊙于点，交于点，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．计算的结果是
A．﹣3 B．3 C．﹣9 D．9
8．二次函数的图象是一条抛物线，下列说法中正确的是（ ）
A．抛物线开口向下 B．抛物线经过点
C．抛物线的对称轴是直线 D．抛物线与轴有两个交点
9．一元二次方程的解为（ ）
A． B． ， C． ， D．，
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以点C为中心，把△ABC逆时针旋转45°，得到△A′B′C，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2 B．2π C．4 D．4π
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，正方形ABEF与正方形BCDE有一边重合，那么正方形BCDE可以看成是由正方形ABEF绕点O旋转得到的，则图中点O的位置为_____．
12．点A(1,-2)关于原点对称的点A1的坐标为________．
13．一元二次方程x2﹣4=0的解是．_________
14．如图一次函数的图象分别交x轴、y轴于A、B，P为AB上一点且PC为△AOB的中位线，PC的延长线交反比例函数的图象于Q，，则Q点的坐标为_____________
15．设a，b是方程x2+x﹣2018＝0的两个实数根，则（a﹣1）（b﹣1）的值为_____．
16．抛掷一枚质地均匀的硬币一次，正面朝上的概率是_____．
17．请你写出一个函数，使它的图象与直线无公共点，这个函数的表达式为_________．
18．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1640张相片．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现：每月的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的关系可近似地看作一次函数y＝－10x＋500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%.
(1)设小明每月获得利润为w(元)，求每月获得利润w(元)与销售单价x(元/件)之间的函数表达式，并确定自变量x的取值范围；
(2)当销售单价定为多少元/件时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
20．（6分）某软件开发公司开发了A、B两种软件，每种软件成本均为1400元，售价分别为2000元、1800元，这两种软件每天的销售额共为112000元，总利润为28000元．
（1）该店每天销售这两种软件共多少个？
（2）根据市场行情，公司拟对A种软件降价销售，同时提高B种软件价格．此时发现，A种软件每降50元可多卖1件，B种软件每提高50元就少卖1件．如果这两种软件每天销售总件数不变，那么这两种软件一天的总利润最多是多少？
21．（6分）解答下列各题：
（1）计算：2cos31°﹣tan45°﹣；
（2）解方程：x2﹣11x+9＝1．
22．（8分）如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
（1）请直接写出D点的坐标．
（2）求二次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
23．（8分）根据广州市垃圾分类标准，将垃圾分为“厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾”四类．小明将分好类的两袋垃圾准确地投递到小区的分类垃圾桶里．请用列举法求小明投放的两袋垃圾是“厨余垃圾和有害垃圾”的概率．
24．（8分）为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A，B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元。设购进A种树苗x棵，购买两种树苗的总费用为w元。
（1）写出w（元）关于x（棵）的函数关系式；
（2）若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用。
25．（10分）岚山区地处黄海之滨，渔业资源丰富，海产品深受消费者喜爱．某海产品批发超市对进货价为40元/千克的某品牌小黄鱼的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若不考虑其它因素，则销售总利润=每千克的利润×总销量，那么当销售价格定为多少时，该品牌小黄鱼每天的销售利润最大？最大利润是多少？
26．（10分）如图，P是正方形ABCD的边CD上一点，∠BAP的平分线交BC于点Q，求证：AP＝DP＋BQ.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】根据圆的对称性、圆周角定理、垂径定理逐项判断即可．
【详解】解：A．圆是轴对称图形,它有无数条对称轴,其对称轴是直径所在的直线或过圆心的直线，此命题不正确；
B． 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，此命题不正确；
C． 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，此命题不正确；
D． 同弧或等弧所对的圆周角相等，此命题正确；
故选：D．
本题考查的知识点是圆的对称性、圆周角定理以及垂径定理，需注意的是对称轴是一条直线并非是线段，而圆的两条直径互相平分但不一定垂直．
2、C
【分析】先提取二次项系数，然后再进行配方即可．
【详解】．
故选：C．
考查了将一元二次函数化成y=a（x-h）2+k的形式，解题关键是正确配方．
3、B
【分析】连接OB和AC交于点D，根据菱形及直角三角形的性质先求出AC的长及∠AOC的度数，然后求出菱形ABCO及扇形AOC的面积，则由S扇形AOC-S菱形ABCO可得答案．
【详解】连接OB和AC交于点D，如图所示：
∵圆的半径为4，
∴OB=OA=OC=4，
又四边形OABC是菱形，
∴OB⊥AC，OD=OB=2，
在Rt△COD中利用勾股定理可知：CD=,
∵sin∠COD=
∴∠COD=60°，∠AOC=2∠COD=120°，
∴S菱形ABCO=,
∴S扇形=,
则图中阴影部分面积为S扇形AOC-S菱形ABCO=.
故选B.
考查扇形面积的计算及菱形的性质，解题关键是熟练掌握菱形的面积=a•b（a、b是两条对角线的长度）；扇形的面积=.
4、D
【解析】由于有13名同学参加歌咏比赛，要取前6名参加决赛，故应考虑中位数的大小．
【详解】共有13名学生参加比赛，取前6名，所以小红需要知道自己的成绩是否进入前六．
我们把所有同学的成绩按大小顺序排列，第7名学生的成绩是这组数据的中位数，所以小红知道这组数据的中位数，才能知道自己是否进入决赛．
故选D．
本题考查了用中位数的意义解决实际问题．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
5、B
【解析】作DF⊥CA，交CA的延长线于点F，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．由CD平分∠ACB，根据角平分线的性质得出DF=DG，由HL证明△AFD≌△BGD，△CDF≌△CDG，得出CF=7，又△CDF是等腰直角三角形，从而求出CD=7.
【详解】作DF⊥CA，垂足F在CA的延长线上，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD
∴DF=DG，，
∴DA=DB，
∵∠AFD=∠BGD=90°，
∴△AFD≌△BGD，
∴AF=BG．
易证△CDF≌△CDG，
∴CF=CG，
∵AC=6，BC=8，
∴AF=1，
∴CF=7，
∵△CDF是等腰直角三角形，
∴CD=7，
故选B．
本题综合考查了圆周角的性质，圆心角、弧、弦的对等关系，全等三角形的判定，角平分线的性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、熟练应用相关知识是解题的关键.
6、A
【分析】先根据角平分线的定义、圆周角定理可得，再根据相似三角形的判定定理得出，然后根据相似三角形的性质即可得．
【详解】平分
弧BD与弧CD相等
又
，即
解得
故选：A．
本题考查了角平分线的定义、圆周角定理、相似三角形的判定定理与性质，利用圆周角定理找到两个相似三角形是解题关键．
7、B
【分析】利用二次根式的性质进行化简即可.
【详解】=|﹣3|=3.
故选B.
8、D
【分析】根据二次函数的性质对A、C进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对B进行判断；利用方程2x2-1=0解的情况对D进行判断．
【详解】A. a=2,则抛物线y=2x2−1的开口向上，所以A选项错误；
B. 当x=1时,y=2×1−1=1,则抛物线不经过点(1,-1)，所以B选项错误；
C. 抛物线的对称轴为直线x=0，所以C选项错误；
D. 当y=0时,2x2−1=0，此方程有两个不相等的实数解，所以D选项正确.
故选D.
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，结合图像是解题的关键.
9、C
【分析】通过因式分解法解一元二次方程即可得出答案.
【详解】
∴或
∴ ，
故选C
本题主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键.
10、B
【解析】根据阴影部分的面积是（扇形CBB'的面积﹣△CA'B'的面积）+（△ABC的面积﹣扇形CAA'的面积），代入数值解答即可．
【详解】∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，
∴BC＝ ，∠ACB＝∠A'CB'＝45°，
∴阴影部分的面积＝＝2π，
故选B．
本题考查了扇形面积公式的应用，观察图形得到阴影部分的面积是（扇形CBB'的面积﹣△CA'B'的面积）+（△ABC的面积﹣扇形CAA'的面积）是解决问题的关键.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、点B或点E或线段BE的中点．
【分析】由旋转的性质分情况讨论可求解；
【详解】解：∵正方形BCDE可以看成是由正方形ABEF绕点O旋转得到的，
∴若点A与点E是对称点，则点B是旋转中心是点B；
若点A与点D是对称点，则点B是旋转中心是BE的中点；
若点A与点E是对称点，则点B是旋转中心是点E；
故答案为：点B或点E或线段BE的中点．
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，利用分类讨论是本题的关键．
12、（-1,2）
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
【详解】解：∵点A（1，-2）与点A1（-1，2）关于原点对称，
∴A1（-1，2）．
故答案为：（-1，2）．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．
13、x=±1
【解析】移项得x1=4，
∴x=±1．
故答案是：x=±1．
14、 (2,)
【解析】因为三角形OQC的面积是Q点的横纵坐标乘积的一半，所以可求出k的值，PC为中位线，可求出C的横坐标，也是Q的横坐标，代入反比例函数可求出纵坐标
【详解】解：设A点的坐标为（a，0），B点坐标为（0，b），
分别代入，
解方程得a=4，b=-2，
∴A（4，0），B（0，-2）
∵PC是△AOB的中位线，
∴PC⊥x轴，即QC⊥OC，
又Q在反比例函数的图象上，
∴2S△OQC=k，
∴k＝2×＝3，
∵PC是△AOB的中位线，
∴C（2，0），
可设Q（2，q）
∵Q在反比例函数的图象上，
∴q＝，
∴点Q的坐标为(2 ， )．
点睛：本题考查反比例函数的综合运用，关键是知道函数上面取点后所得的三角函数的面积和点的坐标之间的关系．
15、﹣1
【分析】由根与系数的关系可求得a+b与ab的值，代入求值即可．
【详解】∵a，b是方程x2+x﹣2018＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣1，ab＝﹣2018，
∴（a﹣1）（b﹣1）＝ab﹣a﹣b+1＝ab﹣（a+b）+1＝﹣2018﹣（﹣1）+1＝﹣1，
故答案为﹣1．
本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．
16、
【分析】抛掷一枚质地均匀的硬币，其等可能的情况有2个，求出正面朝上的概率即可．
【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币，等可能的情况有：正面朝上，反面朝上，则P（正面朝上）=．
故答案为．
本题考查了概率公式，概率=发生的情况数÷所有等可能情况数．
17、（答案不唯一）
【分析】直线经过一三象限，所以只要找到一个过二、四象限的函数即可.
【详解】∵直线经过一三象限，图象在二、四象限
∴两个函数无公共点
故答案为
本题主要考查正比例函数的图象与性质，掌握正比例函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键.
18、x（x-1）=1
【解析】试题分析:每人要赠送（x﹣1）张相片,有x个人,所以全班共送:（x﹣1）x=1．
故答案是（x﹣1）x=1．
考点:列一元二次方程．
三、解答题(共66分)
19、 (1)w＝－10x2＋700x－10000(20≤x≤32)；(2)当销售单价定为32元/件时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．
【解析】分析：（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润=（定价-进价）×销售量，从而列出关系式；
（2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可；
详解：（1）由题意，得：w=（x-20）•y=（x-20）•（-10x+500）=-10x2+700x-10000，即w=-10x2+700x-10000（20≤x≤32）.
(2)w＝－10x2＋700x－10000＝－10(x－35)2＋2250.对称轴为：x=35，又∵a＝－10＜0，抛物线开口向下，
∴当20≤x≤32时，w随着x的增大而增大，
∴当x＝32时，w最大＝2160.
答：当销售单价定为32元/件时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．
点睛：二次函数的应用.重点在于根据题意列出函数关系式.
20、（1）60；（2）1
【分析】（1）设每天销售A种软件个，B种软件个，分别根据每天的销售额共为112000元，总利润为28000元，列方程组即可解得；
（2）由这两种软件每天销售总件数不变，则设A种软件每天多销售个，则B种软件每天少销售个，总利润为，根据：每种软件的总利润＝每个利润销量，得到二次函数求最值即可．
【详解】（1）设每天销售A种软件个，B种软件个．
由题意得：，
解得： ，．∴该公司每天销售这两种软件共60个．
（2）设这两种软件一天的总利润为，A种软件每天多销售个，则B种软件每天少销售个．
W＝
＝（0≤m≤12）．
当时，的值最大，且最大值为1．
∴这两种软件一天的总利润最多为1元．
本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，解题的关键是读懂题目的意思，根据题干找出合适的等量关系.
21、（1）1；（2）x1=1，x2=2．
【分析】（1）利用特殊角的三角函数值得到原式=2×﹣1﹣（﹣1），然后进行二次根式的混合运算；
（2）利用因式分解法解方程．
【详解】（1）原式=2×﹣1﹣（﹣1）
=﹣1﹣+1
=1；
（2）（x﹣1）（x﹣2）=1，
x﹣1=1或x﹣2=1，
∴方程的解为x1=1，x2=2．
此题主要考查锐角三角函数相关计算以及一元二次方程的求解，熟练掌握，即可解题.
22、（1）D（﹣2，3）；
（2）二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；
（3）一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．
【详解】试题分析：（1）由抛物线的对称性来求点D的坐标；
（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），把点A、B、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数a、b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；
（3）由图象直接写出答案．
试题解析：（1）∵如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，
∴对称轴是x==﹣1．
又点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，
∴D（﹣2，3）；
（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），
根据题意得，
解得，
所以二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；
（3）如图，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．
考点：1、抛物线与x轴的交点；2、待定系数法；3、二次函数与不等式（组）．
23、见解析，
【分析】首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案．
【详解】解：分别记厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾为A、B、C、D，
画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中小明投放的两袋垃圾是“厨余垃圾和有害垃圾”的结果有2种，
所以小明投放的两袋垃圾是“厨余垃圾和有害垃圾”的概率为＝．
本题主要考查的是利用树状图求解概率，解此题需要正确的运用树状图，所以掌握树状图是解此题的关键.
24、（1）w＝20x＋1020；（2）费用最省方案为：购进A种树苗9棵，B种树苗8棵，所需费用为1200元．
【分析】（1）根据题意可得等量关系：费用W＝A种树苗a棵的费用＋B种树苗（17−a）棵的费用可得函数关系式；
（2）根据一次函数的性质与不等式的性质得到当x=9时，w有最小值．
【详解】解：(1)w= 80x＋60(17－x) ＝20x＋1020
(2) ∵k=20>0，w随着x的增大而增大
又∵17－x＜x，解得x＞8.5，
∴8.5<x<17,且x为整数
∴当x=9时，w有最小值20×9＋1020＝1200(元)
答：费用最省方案为：购进A种树苗9棵，B种树苗8棵，所需费用为1200元．
此题主要考查了一次函数和一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出函数关系式进行求解．
25、（1）y=-2x+140；（2）当该种小黄鱼销售价定为55元/千克时，每天的销售利润有最大值1元
【分析】（1）直接利用待定系数法，即可求出一次函数的解析式；
（2）先求出利润与销售价格之间的关系式，然后利用二次函数的最值问题，即可得到答案．
【详解】解：（1）由图象，设函数解析式为y=kx+b，把（60，20）、（70，0）代入，得
解得：k=﹣2，b=140 ，
∴函数解析式为y=-2x+140；
（2）设该品牌小黄鱼每千克的售价为x元，总利润为W元，根据题意，得
当x==55时，W有最大值=1．
即当该种小黄鱼销售价定为55元/千克时，每天的销售利润有最大值1元．
本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的性质，以及一次函数的性质，求一次函数的解析式，解题的关键是熟练掌握题意，正确求出关系式，从而进行解题．
26、证明见解析.
【解析】试题分析：根据旋转的性质得出∠E=∠AQB，∠EAD=∠QAB，进而得出∠PAE=∠E，即可得出AP=PE=DP+DE=DP+BQ．
试题解析：证明：将△ABQ绕A逆时针旋转90°得到△ADE，由旋转的性质可得出∠E=∠AQB，∠EAD=∠QAB，又∵∠PAE=90°﹣∠PAQ=90°﹣∠BAQ=∠DAQ=∠AQB=∠E，在△PAE中，得AP=PE=DP+DE=DP+BQ．
点睛：此题主要考查了旋转的性质，根据已知得出PE=DP+DE是解题关键．
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