资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，周长为28的菱形中，对角线、交于点，为边中点，的长等于( )
A．3.5 B．4 C．7 D．14
2．如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是
A．（6，0） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2）
3．如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，点在函数的图象上，轴于点.若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线
C．直线 D．直线
5．若点A（2，），B（-3，），C（-1，）三点在抛物线的图象上，则、、的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，已知AD＝2，BC＝5，则AB＋CD的值是
A．14 B．12 C．9 D．7
7．已知二次函数图象如图所示，对称轴为过点且平行于轴的直线，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．如果两个相似三角形的相似比为2：3，那么这两个三角形的面积比为（ ）
A．2：3 B．： C．4：9 D．9：4
9．把方程化成的形式，则的值分别是（ ）
A．4，13 B．-4，19 C．-4，13 D．4，19
10．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣2＝0，配方后得到的方程是（ ）
A．（x﹣3）2＝2 B．（x﹣3）2＝8 C．（x﹣3）2＝11 D．（x+3）2＝9
11．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，轴于点C，交C2于点A，轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，若∠AOD=120°，AB=6，则AC等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．18
二、填空题（每题4分，共24分）
13．某班级中有男生和女生各若干，如果随机抽取1人，抽到男生的概率是，那么抽到女生的概率是_____．
14．已知是方程的一个根，则代数式的值为__________．
15．已知，则的值是_____________．
16．方程（x﹣1）（x﹣3）＝0的解为_____．
17．如图,是以点为圆心的圆形纸片的直径，弦于点,.将阴影部分沿着弦翻折压平，翻折后，弧对应的弧为，则点与弧所在圆的位置关系为____________.
18．如图，圆锥的底面半径r为4，沿着一条母线l剪开后所得扇形的圆心角ɵ=90°，则该圆锥的母线长是_________________.
三、解答题（共78分）
19．（8分）某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼两次锻炼后数据如下表，与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的倍.设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为．注：步数平均步长距离．
项目
第一次锻炼
第二次锻炼
步数（步）
①_______
平均步长（米/步）
②_______
距离（米）
（1）根据题意完成表格；
（2）求．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB=10，AC＝8，D、E分别是AB、AC上的点，且AD＝4，∠BDE+∠C=180°．求AE的长．
21．（8分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣3，0），B（﹣2，3），C（0，3），顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点M（1，m），当MB+MD的值最小时，求m的值；
（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．
22．（10分）如图，是⊙的直径，，是的中点，连接并延长到点，使.连接交⊙于点，连接.
（1）求证：直线是⊙的切线；
（2）若，求⊙的半径.
23．（10分）如图①，在中，，是边上任意一点（点与点，不重合），以为一直角边作，，连接，.若和是等腰直角三角形.
（1）猜想线段，之间的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；
（2）现将图①中的绕着点顺时针旋转，得到图②，请判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
24．（10分）如图，在中，， 垂足为平分，交于点，交于点.
(1)若，求的长；
(2)过点作的垂线，垂足为，连接，试判断四边形的形状，并说明原因.
25．（12分）已知：如图，C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，且OD∥BC．求证：AD=DC．
26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，点．
(1)当时，求抛物线的顶点坐标及线段的长度；
(2)若点关于点的对称点恰好也落在抛物线上，求的值．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【解析】根据菱形的周长求出其边长，再根据菱形的性质得出对角线互相垂直，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可.
【详解】∵四边形是菱形，周长为28
∴AB=7,AC⊥BD
∴OH=
故选：A
本题考查的是菱形的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握菱形的性质是关键.
2、B
【解析】试题分析：△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=1．
A、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=1，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意；
B、当点E的坐标为（6，3）时，∠CDE=90°，CD=1，DE=1，则AB：BC≠CD：DE，△CDE与△ABC不相似，故本选项符合题意；
C、当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=1，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC，故本选项不符合题意；
D、当点E的坐标为（4，1）时，∠ECD=90°，CD=1，CE=1，则AB：BC=CD：CE，△DCE∽△ABC，故本选项不符合题意．
故选B．
3、A
【分析】设A的横坐标为a，则纵坐标为，根据题意得出点B的坐标为，代入y=（x＜0）即可求得k的值．
【详解】解：设A的横坐标为a，则纵坐标为，
∵AC=3BC，∴B的横坐标为-a，
∵AB⊥y轴于点C，∴AB∥x轴，∴B（-a，），
∵点B在函数y=（x＜0）的图象上，∴k=-a×=-1，
故选：A．
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，表示出点B的坐标是解题的关键．
4、C
【解析】用对称轴公式即可得出答案．
【详解】抛物线的对称轴，
故选：C．
本题考查了抛物线的对称轴，熟记对称轴公式是解题的关键.
5、C
【解析】首先求出二次函数的图象的对称轴x==2，且由a=1＞0，可知其开口向上，然后由A（2，）中x=2，知最小，再由B（-3，），C（-1，）都在对称轴的左侧，而在对称轴的左侧，y随x得增大而减小，所以．总结可得．
故选C．
点睛：此题主要考查了二次函数的图像与性质，解答此题的关键是（1）找到二次函数的对称轴；（2）掌握二次函数的图象性质．
6、D
【分析】根据切线长定理，可以证明圆的外切四边形的对边和相等，由此即可解决问题．
【详解】∵AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，
∴可以假设切点分别为E、H、G、F，
∴AF＝AE，BE＝BH，CH＝CG，DG＝DF，
∴AD＋BC＝AF＋DF＋BH＋CH＝AE＋BE＋DG＋CG＝AB＋CD，
∵AD＝2，BC＝5，
∴AB＋CD＝AD＋BC＝7，
故选D.
本题考查切线的性质、切线长定理等知识，解题的关键是证明圆的外切四边形的对边和相等，属于中考常考题型．
7、D
【分析】由抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴左侧即可判断a、c、b的符号，进而可判断A项；
抛物线的对称轴为直线x＝﹣，结合抛物线的对称轴公式即可判断B项；
由图象可知；当x=1时，a+b+c<0，再结合B项的结论即可判断C项；
由（1，0）与（﹣2，0）关于抛物线的对称轴对称，可知当x=－2时，y<0，进而可判断D项.
【详解】解：A、∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴左侧，∴a＞0，c＜0，＜0，∴b＞0，∴abc＜0，所以本选项错误；
B、∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣，∴，∴a﹣b＝0，所以本选项错误；
C、∵当x=1时，a+b+c<0，且a=b，∴，所以本选项错误；
D、∵（1，0）与（﹣2，0）关于抛物线的对称轴对称，且当x=1时，y<0，∴当x=－2时，y<0，即4a﹣2b+c<0，∴，所以本选项正确.
故选：D.
本题考查了二次函数的图象与性质，属于常考题型，熟练掌握抛物线的性质是解题关键.
8、C
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方解答．
【详解】∵两个相似三角形的相似比为2：3，
∴这两个三角形的面积比为4：9，
故选：C．
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
9、D
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
【详解】解：∵x2+8x-3=0,
∴x2+8x=3,
∴x2+8x+16=3+16,
∴（x+4）2=19,
∴m=4，n=19,
故选：D．
配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
10、C
【分析】根据配方法即可求出答案．
【详解】∵x2﹣6x﹣2＝0，
∴x2﹣6x＝2，
∴（x﹣3）2＝11，
故选：C．
考查了配方法解方程，配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
11、B
【解析】试题分析：∵PC⊥x轴，PD⊥y轴，
∴S矩形PCOD=4，S△AOC=S△BOD=×1=，
∴四边形PAOB的面积=S矩形PCOD-S△AOC-S△BOD=4--=1．
故选B．
考点：反比例函数系数k的几何意义．
12、C
【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA=OB=AC，根据邻补角的定义求出∠AOB，然后判断出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质可得OA=AB，然后求解即可．
【详解】∵矩形ABCD的两条对角线交于点O，
∴OA=OB=AC，
∵∠AOD=10°，
∴∠AOB=180°-∠AOD=180°-10°=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=6，
∴AC=2OA=2×6=1．
故选C．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记矩形的对角线互相平分且相等是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】由于抽到男生的概率与抽到女生的概率之和为1，据此即可求出抽到女生的概率．
【详解】解：∵抽到男生的概率是，
∴抽到女生的概率是1-＝．
故答案为：．
此题考查的是求概率问题，掌握抽到男生和抽到女生的概率之和等于1是解决此题的关键．
14、
【分析】根据方程的根的定义，得，结合完全平方公式，即可求解．
【详解】∵是方程的一个根，
∴，即：
∴=1+1=1．
故答案是：1．
本题主要考查方程的根的定义以及完全平方公式，，掌握完全平方公式，是解题的关键．
15、
【分析】设a=3k，则b=4k，代入计算即可．
【详解】设a=3k，则b=4k，
∴．
故答案为：．
本题考查了比例的性质．熟练掌握k值法是解答本题的关键．
16、x1＝3，x2＝1
【分析】利用因式分解法求解可得．
【详解】解：∵（x﹣1）（x﹣3）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝1，
故答案为：x1＝3，x2＝1．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
17、点在圆外
【分析】连接OC，作OF⊥AC于F，交弧于G，判断OF与FG的数量关系即可判断点和圆的位置关系.
【详解】解：如图，连接OC，作OF⊥AC于F，交弧于G，
∵，
∴OA=OB=OC=5,AE=7,OE=2,
∵,
∴，
∴，
∵OF⊥AC，
∴CF=AC,
∴,
∵，
∴,
∴,
∴,
∴点与弧所在圆的位置关系是点在圆外.
故答案是：点在圆外.
本题考查了点和圆位置关系，利用垂径定理进行有关线段的计算，通过构造直角三角形是解题的关键.
18、1
【分析】由题意首先求得展开之后扇形的弧长也就是圆锥的底面周长，进一步利用弧长计算公式求得扇形的半径，即圆锥的母线l．
【详解】解：扇形的弧长=4×2π=8π，
可得=8π
解得：l=1．
故答案为：1．
本题考查圆锥的计算及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．
三、解答题（共78分）
19、（1）①，②；（2）的值为．
【分析】（1）①直接利用王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍，得出第二次锻炼的步数；
②利用王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x，即可表示出第二次锻炼的平均步长（米/步）；
（2）根据题意第二次锻炼的总距离这一等量关系，建立方程求解进而得出答案.
【详解】解：（1）①根据题意可得第二次锻炼步数为：，
②第二次锻炼的平均步长（米/步）为：；
（2）由题意，得.
解得（舍去），.
答：的值为.
本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意正确表示出第二次锻炼的步数与步长是解题关键．
20、AE=5
【分析】根据∠BDE+∠C=180°可得出C=ADE，继而可证明△ADE∽△ACB，再利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵BDE+C=180°
BDE+ADE=180°
∴C=ADE
∵A=A
∴
∴
∴
∴AE=5
本题考查的知识点是相似三角形的判定及性质，利用已知条件得出C=ADE，是解此题的关键．
21、（1）；（2）；（3）.
【分析】将A，B，C点的坐标代入解析式，用待定系数法可得函数解析式；（2）求出顶点D的坐标为，作B点关于直线的对称点，可求出直线的函数关系式为，当在直线上时，的值最小；（3）作轴交AC于E点，求得AC的解析式为，设，，得，所以，，求函数的最大值即可.
【详解】将A，B，C点的坐标代入解析式，得方程组：
解得
抛物线的解析式为
配方，得，顶点D的坐标为
作B点关于直线的对称点，如图1
，
则，由得，
可求出直线的函数关系式为，
当在直线上时，的值最小，
则．
作轴交AC于E点，如图2
，
AC的解析式为，设，，
，
当时，的面积的最大值是；
本题考核知识点：二次函数综合运用.解题关键点：画出图形，数形结合分析问题，把问题转化为相应函数问题解决.
22、（1）见解析;（2）.
【分析】（1）连OC，根据“，AB是⊙O的直径”可得CO⊥AB，进而证明△OEC≌△BEF（SAS）即可得到∠FBE=∠COE=90°，从而证明直线是⊙的切线；
（2）由（1）可设⊙O的半径为r，则AB=2r，BF=r，在Rt∆ABF运用沟谷定理即可得.
【详解】（1）连OC.
∵，AB是⊙O的直径
∴CO⊥AB
∵E是OB的中点
∴OE=BE
又∵CE=EF，∠OEC=∠BEF
∴△OEC≌△BEF（SAS）
∴∠FBE=∠COE=90°
即AB⊥BF
∴BF是⊙O的切线.
（2）由（1）知=90°
设⊙O的半径为r，则AB=2r，BF=r
在Rt∆ABF中，由勾股定理得；，即 ，解得：r=
∴⊙O的半径为.
本题考查了切线的证明及圆中的计算问题，熟知切线的证明方法及题中的线段角度之间的关系是解题的关键.
23、（1）BE=AD，BE⊥AD ；（2）BE=AD，BE⊥AD仍然成立，理由见解析
【分析】（1）由CA=CB，CE=CD，∠ACB=90°易证△BCE≌△ACD，所以BE=AD，∠BEC=∠ADC，又因为∠EBC+∠BEC=90°，所以∠EBC+∠ADC=90°，即BE⊥AD；
（2）成立．设BE与AC的交点为点F，BE与AD的交点为点G，易证△ACD≌△BCE．得到AD=BE，∠CAD=∠CBE．再根据等量代换得到∠AFG+∠CAD=90°．即BE⊥AD．
【详解】（1）BE=AD，BE⊥AD；
在△BCE和△ACD中，
∵，
∴△BCE≌△ACD(SAS)，
∴BE=AD，∠BEC=∠ADC，
∵∠EBC+∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ADC=90°，
∴BE⊥AD.
故答案为：BE=AD，BE⊥AD.
（2）BE=AD，BE⊥AD仍然成立
设BE与AC的交点为F，BE与AD的交点为G，如图
∴，
∴.
在和中，
∵
∴.
∴
∵，
∴，
，
∴BE⊥AD
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.
24、（1）CE＝2；（2）菱形，理由见解析.
【分析】（1）根据题意易求得∠ACD＝∠CAF＝∠BAF＝30°，可得AE=CE，然后利用30°角的三角函数可求得CD的长、DE与AE的关系，进一步可得CE与CD的关系，进而可得结果；
（2）根据角平分线的性质可得CF＝GF，根据HL可证Rt△ACF≌Rt△AGF，从而得∠AFC＝∠AFG，由平行线的性质和等量代换可得∠CEF＝∠CFE，可得CE＝CF，进而得CE＝FG，根据一组对边平行且相等可得四边形CEGF是平行四边形，进一步即得结论．
【详解】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，
∵CD⊥AB，∴∠ACD＝30°，∵AC＝6，∴，
∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠BAF＝30°，
∴∠ACD＝∠CAF，，∴CE＝AE＝2DE，∴CE＝2；
（2）四边形CEGF是菱形．
证明：∵FG⊥AB，FC⊥AC，AF平分∠CAB，
∴∠ACF＝∠AGF＝90°，CF＝GF，
在Rt△ACF与Rt△AGF中，∵AF=AF，CF=GF，
∴Rt△ACF≌Rt△AGF（HL），∴∠AFC＝∠AFG，
∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴CD∥FG，
∴∠CEF＝∠EFG，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，
∴CE＝FG，∵CE∥FG，
∴四边形CEGF是平行四边形，
∵CE＝CF，∴平行四边形CEGF是菱形．
本题考查了直角三角形的性质、角平分线的性质、锐角三角函数、菱形的判定和直角三角形全等的判定和性质等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
25、见解析证明．
【解析】试题分析：连结OC，根据平行线的性质得到∠1=∠B，∠2=∠3，而∠B=∠3，所以∠1=∠2，则根据圆心角、弧、弦的关系即可得到结论．
试题解析：连结OC，如图，
∵OD∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠3，
又∵OB=OC，
∴∠B=∠3，
∴∠1=∠2，
∴AD=DC．
考点: 圆心角、弧、弦的关系．
26、（1）顶点坐标为（3，9），OA=6；（2）m=2
【解析】（1）把m代入抛物线，根据二次函数的图像与性质即可求出顶点，与x轴的交点，即可求解；
（2）先用含m的式子表示A点坐标，再根据对称性得到A’的坐标，再代入抛物线即可求出m的值．
【详解】解：（1）当y=0时，
，
即O（0，0），A（6，0）
∴OA=6
把x=3代入 y=-32+69
∴顶点坐标为（3，9）
（2）当y=0时，
，
即A（m，0）
∵点A关于点B的对称点A′
∴A′(-m，-8)
把A′(-m，-8)代入得m1=2,m2=-2（舍去）
∴m=2.
此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知坐标的对称性.
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