资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，公园中一正方形水池中有一喷泉，喷出的水流呈抛物线状，测得喷出口高出水面0.8m，水流在离喷出口的水平距离1.25m处达到最高，密集的水滴在水面上形成了一个半径为3m的圆，考虑到出水口过高影响美观，水滴落水形成的圆半径过大容易造成水滴外溅到池外，现决定通过降低出水口的高度，使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面（ ）
A．0.55米 B．米 C．米 D．0.4米
2．一元二次方程的左边配成完全平方后所得方程为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，数轴上的点，，，表示的数分别为，，，，从，，，四点中任意取两点，所取两点之间的距离为的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．任意一个五边形的外角和等于540°
B．通常情况下，将油滴入水中，油会浮在水面上
C．随意翻一本120页的书，翻到的页码是150
D．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯
5．如果，、分别对应、，且，那么下列等式一定成立的是（ ）
A． B．的面积：的面积
C．的度数：的度数 D．的周长：的周长
6．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．2x2－5x+3 B．2x2－y+1=0 C．x2=0 D．+ x=2
7．如图，阳光透过窗户洒落在地面上，已知窗户高，光亮区的顶端距离墙角，光亮区的底端距离墙角，则窗户的底端距离地面的高度()为( )
A． B． C． D．
8．已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
9． “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为
A．9 B．6 C．4 D．3
10．下列计算正确的是（ ）
A．3x﹣2x＝1 B．x2+x5＝x7
C．x2•x4＝x6 D．（xy）4＝xy4
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．菱形有一个内角为60°，较短的对角线长为6，则它的面积为_____．
12．已知抛物线，当时，的取值范围是______________
13．已知3是一元二次方程x2﹣2x+a＝0的一个根，则a=_____．
14．在Rt△ABC 中，∠C是直角，sinA=，则cosB=__________
15．已知x＝2y﹣3，则代数式4x﹣8y+9的值是_____．
16．化简：__________．
17．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间x(单位：s)之间具有函数关系y＝﹣5x2+20x，在飞行过程中，当小球的行高度为15m时，则飞行时间是_____．
18．抛物线y=x2+2x+3的顶点坐标是_____________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．
（1）求证：AB=AF；
（2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．
20．（6分）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为P，且与y轴交于点A，与直线交于点B，C（点B在点C的左侧）.
（1）求抛物线的顶点P的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线与线段AC围成的封闭区域（不含边界）为“W区域”.
①当时，请直接写出“W区域”内的整点个数；
②当“W区域”内恰有2个整点时，结合函数图象，直接写出a的取值范围.
21．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0
（1）试判断上述方程根的情况．
（2）已知△ABC的两边AB、AC的长是关于上述方程的两个实数根，BC的长为5，当k为何值时，△ABC是等腰三角形．
22．（8分）已知:如图，正方形为边上一点，绕点逆时针旋转后得到．
如果，求的度数；
与的位置关系如何?说明理由．
23．（8分）定义：如果函数C：（）的图象经过点（m，n）、（-m，-n），那么我们称函数C为对称点函数，这对点叫做对称点函数的友好点．
例如：函数经过点（1，2）、（-1，-2），则函数是对称点函数，点（1，2）、（-1，-2）叫做对称点函数的友好点．
（1）填空：对称点函数一个友好点是（3，3），则b= ，c= ；
（2）对称点函数一个友好点是（2b，n），当2b≤x≤2时，此函数的最大值为，最小值为，且=4，求b的值；
（3）对称点函数（）的友好点是M、N（点M在点N的上方），函数图象与y轴交于点A．把线段AM绕原点O顺时针旋转90°，得到它的对应线段A′M′．若线段A′M′与该函数的图象有且只有一个公共点时，结合函数图象，直接写出a的取值范围．
24．（8分）计算:．
25．（10分）如图，在矩形中，是上一点，连接的垂直平分线分别交于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若为的中点，连接，求的长．
26．（10分）如图，是的弦，过的中点作，垂足为，过点作直线交的延长线于点，使得.
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的边上的高.
（3）在（2）的条件下，求的面积.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】如图，以O为原点，建立平面直角坐标系，由题意得到对称轴为x＝1.25＝，A（0，0.8），C（3，0），列方程组求得函数解析式，即可得到结论．
【详解】解：如图，以O为原点，建立平面直角坐标系，
由题意得，对称轴为x＝1.25＝，A（0，0.8），C（3，0），
设解析式为y＝ax2+bx+c，
∴，
解得：，
所以解析式为：y＝x2+x+，
当x＝2.75时，y＝，
∴使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面08﹣＝，
故选：B．
本题考查了二次函数的实际应用，根据题意建立合适的坐标系，找到点的坐标，用待定系数法解出函数解析式是解题的关键
2、B
【解析】把常数项﹣5移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．
【详解】把方程x2﹣2x﹣5＝0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x＝5，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到：x2﹣2x+（﹣1）2＝5+（﹣1）2，配方得：（x﹣1）2＝1．
故选B．
本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
3、D
【分析】利用树状图求出可能结果即可解答.
【详解】解: 画树状图为:
共有12种等可能的结果数,其中所取两点之间的距离为2的结果数为4,
所取两点之间的距离为2的概率==．
故选D.
本题考查画树状图或列表法求概率，掌握画树状图的方法是解题关键.
4、D
【分析】根据随机事件的定义，逐一判断选项，即可得到答案．
【详解】∵任意一个五边形的外角和等于540°，是必然事件，
∴A不符合题意，
∵通常情况下，将油滴入水中，油会浮在水面上，是必然事件，
∴B不符合题意，
∵随意翻一本120页的书，翻到的页码是150，是不等能事件，
∴C不符合题意，
∵经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯，是随机事件，
∴D符合题意，
故选D．
本题主要考查随机事件的定义，掌握必然事件，随机事件，不可能事件的定义，是解题的关键．
5、D
【解析】相似三角形对应边的比等于相似比，面积之比等于相似比的平方,对应角相等.
【详解】根据相似三角形性质可得：A：BC和DE不是对应边，故错；B：面积比应该是，故错；C:对应角相等，故错；D：周长比等于相似比，故正确.
故选：D
考核知识点：相似三角形性质.理解基本性质是关键.
6、C
【解析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是1；（1）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】A、不是方程，故本选项错误；
B、方程含有两个未知数，故本选项错误；
C、符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
D、不是整式方程，故本选项错误．
故选：C．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是1．
7、A
【分析】根据光沿直线传播的原理可知AE∥BD，则∽，根据相似三角形的对应边成比例即可解答．
【详解】解：∵AE∥BD
∴∽
∴
∵，，
∴
解得：
经检验是分式方程的解．
故选：A．
本题考查了相似三角形的判定及性质，解题关键是熟知：平行于三角形一边的直线和其他两边或延长线相交，所截得的三角形与原三角形相似．
8、B
【分析】根据圆心到直线的距离5等于圆的半径5，即可判断直线和圆相切．
【详解】∵圆心到直线的距离5cm=5cm，
∴直线和圆相切，
故选B．
本题考查了直线与圆的关系，解题的关键是能熟练根据数量之间的关系判断直线和圆的位置关系．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
9、D
【分析】已知ab＝8可求出四个三角形的面积，用大正方形面积减去四个三角形的面积得到小正方形的面积，根据面积利用算术平方根求小正方形的边长.
【详解】
故选D.
本题考查勾股定理的推导，有较多变形题，解题的关键是找出图形间面积关系，同时熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．
10、C
【分析】分别根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方逐一判断即可．
【详解】解：3x﹣2x＝x，故选项A不合题意；
x2与x5不是同类项，故不能合并，故选项B不合题意；
x2•x4＝x6，正确，故选项C符合题意；
，故选项D不合题意．
故选：C．
本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、18
【分析】根据菱形对角线垂直且互相平分，且每条对角线平分它们的夹角，即可得出菱形的另一条对角线长，再利用菱形的面积公式求出即可．
【详解】解：如图所示：∵菱形有一个内角为60°，较短的对角线长为6，
∴设∠BAD＝60°，BD＝6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC＝∠DAC＝30°，DO＝BO＝3，
∴AO＝＝3，
∴AC＝6，
则它的面积为：×6×6＝18．
故答案为：18．
本题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的面积公式以及对角线之间的关系是解题关键．
12、1≤y＜9
【分析】根据二次函数的图象和性质求出抛物线在上的最大值和最小值即可．
【详解】
∴抛物线开口向上
∴当时，y有最小值，最小值为1
当时，y有最大值，最小值为
∴当时，的取值范围是
故答案为：．
本题主要考查二次函数在一定范围内的最大值和最小值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
13、-3
【分析】根据一元二次方程解的定义把代入x2﹣2x+a＝0即可求得答案.
【详解】将代入x2﹣2x+a＝0得：
，
解得：，
故答案为：．
本题考查了一元二次方程解的定义，本题逆用一元二次方程解的定义是解题的关键.
14、
【分析】由题意直接运用直角三角形的边角间关系进行分析计算即可求解得出结论.
【详解】解：如图，
解：在Rt△ABC中，
∵∠C是直角，
∴，
又∵,
∴.
本题考查直角三角形的边角关系，熟练掌握正弦和余弦所对应的边角关系是解题的关键.
15、-1．
【分析】根据x＝2y﹣1，可得：x﹣2y＝﹣1，据此求出代数式4x﹣8y+9的值是多少即可．
【详解】∵x＝2y﹣1，
∴x﹣2y＝﹣1，
∴4x﹣8y+9
＝4（x﹣2y）+9
＝4×（﹣1）+9
＝﹣12+9
＝﹣1
故答案为：﹣1．
本题考查的是求代数式的值，解题关键是由x＝2y﹣1得出x﹣2y＝﹣1.
16、0
【分析】根据cos（90°-A）=sinA，以及特殊角的三角函数值，进行化简，即可.
【详解】原式=
=
=
=0.
故答案是：0
本题主要考查三角函数常用公式以及特殊角三角函数值，掌握三角函数的常用公式，是解题的关键.
17、1s或3s
【解析】根据题意可以得到15=﹣5x2+20x，然后求出x的值，即可解答本题．
【详解】∵y=﹣5x2+20x，
∴当y=15时，15=﹣5x2+20x，得x1=1，x2=3，
故答案为1s或3s．
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和一元二次方程的知识解答．
18、（﹣1，2）
【详解】
解：将二次函数转化成顶点式可得：y=，则函数的顶点坐标为(－1，2)
故答案为：（-1，2）
本题考查二次函数的顶点坐标．
三、解答题(共66分)
19、（1）证明见解析；（2）结论：四边形ACDF是矩形．理由见解析.
【分析】（1）只要证明AB=CD，AF=CD即可解决问题；
（2）结论：四边形ACDF是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可；
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠AFC=∠DCG，
∵GA=GD，∠AGF=∠CGD，
∴△AGF≌△DGC，
∴AF=CD，
∴AB=AF．
（2）解：结论：四边形ACDF是矩形．
理由：∵AF=CD，AF∥CD，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD=120°，
∴∠FAG=60°，
∵AB=AG=AF，
∴△AFG是等边三角形，
∴AG=GF，
∵△AGF≌△DGC，
∴FG=CG，∵AG=GD，
∴AD=CF，
∴四边形ACDF是矩形．
本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.
20、（1）顶点P的坐标为；（2）① 6个；② ，．
【分析】（1）由抛物线解析式直接可求；
（2）①由已知可知A（0，2），C（2+ ，-2），画出函数图象，观察图象可得；
②分两种情况求：当a＞0时，抛物线定点经过（2，-2）时，a=1，抛物线定点经过（2，-1）时，a= ，则＜a≤1；当a＜0时，抛物线定点经过（2，2）时，a=-1，抛物线定点经过（2，1）时，a=-，则-1≤a<-．
【详解】解：（1）∵y=ax2-4ax+2a=a（x-2）2-2a，
∴顶点为（2，-2a）；
（2）如图，①∵a=2，
∴y=2x2-8x+2，y=-2，
∴A（0，2），C（2+，-2），
∴有6个整数点；
②当a＞0时，抛物线定点经过（2，-2）时，a=1，
抛物线定点经过（2，-1）时，，；
∴ ．
当时，抛物线顶点经过点（2，2）时，；
抛物线顶点经过点（2，1）时，；
∴ ．
∴综上所述：，．
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
21、（1）方程有两个不相等的实数根；（2）3或1.
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式判断即可；（2）用k表示出方程的两个根，分AB=BC和AC=BC两种情况，分别求出k值即可.
【详解】（1）∵方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0，
∴△=b2﹣1ac＝（2k+3）2﹣1（k2+3k+2）＝1k2+12k+9﹣1k2﹣12k﹣8＝1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0，
x1＝k+1，x2＝k+2，
当AB＝k+1，AC＝k+2，BC＝5，由（1）知AB≠AC，
故有两种情况：
（i）当AC＝BC＝5时，k+2＝5，即k＝3；
（ii）当AB＝BC＝5时，k+1＝5，即k＝1．
故当k为3或1时，△ABC是等腰三角形．
本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，△>0时，方程有两个不相等的实数根；△=0时，方程有两个相等的实数根；△<0时，方程没有实数根．熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是解题关键.
22、（1）20°，（2），详见解析
【分析】（1）根据旋转的性质可知△AFD≌△AEB，则有AE＝AF，∠DAF＝90°，∠AEB＝∠DFA＝65°，然后利用∠DFE＝∠DFA－∠EFA即可求出答案．
（2）由旋转的性质得∠EBA＝∠FDA，通过等量代换即可得出∠DFA＋∠EBA＝90°，即BG⊥DF．
【详解】解：（1）根据旋转的性质可知：△AFD≌△AEB，
即AE＝AF，∠DAF＝90°，∠AEB＝∠DFA＝65°，
∴∠AFE＝45°，
∴∠DFE＝∠DFA－∠EFA＝20°
（2）延长BE与DF相交于点G．
∵∠DAF＝90°，
∴∠DFA＋∠ADF＝90°，
∵∠EBA＝∠FDA，
∴∠DFA＋∠EBA＝90°，
∴BG⊥DF，即BE与DF互相垂直．
本题主要考查旋转的性质和全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
23、（1）b=1，c=9；（2）b=0或b=或b=；（3） 或
【分析】（1）由题可知函数图象过点（3，3），（-3，-3），代入即可求出b，c的值；
（2）代入函数的友好点，求出函数解析式y=x2+2bx-4b2=（x+b）2-5b2，再根据二次函数的图象及性质分三种情况分析讨论；
（3）由 推出 ，再根据“友好点”是M（2，2）N（-2，-2）旋转后M′（2，-2） A′（-4a，0），将（-4a，0）代 得出，根据图象即可得出结论．
【详解】解：（1）由题可知函数图象过点（3，3），（-3，-3），代入函数（），得
解得：b=1，c=9；
（2）由题意得另一个友好数为（-2b，-n）
∴-n=4b2-4b2+c
∴c=-n
∴y=x2+2bx-n
把（2b，n）代入y=x2+2bx-n
n=4b2+4b2-n
∴n=4b2
∴y=x2+2bx-4b2=（x+b）2-5b2
当-b<2b即b>0时
∵抛物线开口向上
∴在对称轴右侧，y随x增大而增大
∴当x=2b时，y1=4b2
当x=2时，y2=-4b2+4b+4
∵y1-y2=4
∴-4b2+4b+4-4b2=4
∴-8b2+4b=0
∴b1=0（舍）b2=
当2<-b，即b<-2时
在对称轴左侧，y随x增大而减小
∴当x=2b时，y1=4b2
当x=2时，y2=-4b2+4b+4
∵y1-y2=4
∴4b2+4b2-4b-4=4
∴8b2-4b-8=0
∴2b2-b-2=0
b=（舍）
当2b≤-b≤2，即-2≤b≤0时y2=-5b2
当x=2时，y1=-4b2+4b+4
∵y1-y2=4
∴-4b2+4b+4+5b2=4
∴b2+4b=0
∴b1=0，b2=-4（舍）
当x=2b时，y1=4b2
∵y1-y2=4
∴9b2=4
∴b=（舍）b=
∴b=0或b=或b= ；
（3） 推出
“友好点”是M（2，2）N（-2，-2）旋转后M’（2，-2） A’（-4a，0）
将（-4a，0）代入
当a>0时 当抛物线经过A′后有两个交点 ∴
当a<0时，当抛物线经过A′点以后，开始于抛物线有一个交点 ∴
综上：或．
本题是一道关于二次函数的综合题目，难度很大，理解“友好点”概念，综合利用二次函数的图象及其性质以是解此题的关键．解决此题还需要较强的数形结合的能力以及较强的计算能力．
24、2﹣1
【分析】首先计算乘方、开方、特殊三角函数值，再计算乘法，最后实数的加减法即可．
【详解】
．
本题考查了幂的乘方、二次根式、特殊三角函数值等知识点，熟记各运算法则和特殊三角函数值是解题关键．
25、（1）证明见解析；（2）1．
【分析】（1）先根据矩形的性质、平行线的性质可得，再根据垂直平分线的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据平行四边形的判定、菱形的判定即可得证；
（2）先根据三角形中位线定理可得，再根据矩形的性质可得，然后在中，利用勾股定理即可得．
【详解】（1）四边形是矩形
垂直平分
四边形是平行四边形
又
四边形是菱形；
（2）垂直平分
是的中点
是的中点，
（三角形中位线定理）
．
本题考查了矩形的性质、菱形的判定、三角形全等的判定定理与性质、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握并灵活运用各判定定理与性质是解题关键．
26、（1）见解析；（2）4.5；（3）27
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，结合切线的判定方法可得结论；
（2）过点作于点，连接，结合中点及等腰三角形的性质可得，利用勾股定理可得DF的长；
（3）根据两组对应角分别相等的两个三角形相似可得，利用相似三角形对应线段成比例可求得EO长，由三角形面积公式求解即可.
【详解】（1）证明：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴
∵是圆的半径，
∴是的切线；
（2）如图，过点作于点，连接，
∵点是的中点，，
∴，，
又∵，，，，
∴，
∴，
（3）∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
由（2）得
即，得，
∴的面积是：.
本题是圆与三角形的综合题，涉及的知识点主要有切线的判定与性质、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质，明确题意，确定所求问题的条件是解题的关键.
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