资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．下列关于一元二次方程（，是不为的常数）的根的情况判断正确的是（ ）
A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根
C．方程没有实数根 D．方程有一个实数根
2．羽毛球运动是一项非常受人喜欢的体育运动.某运动员在进行羽毛球训练时，羽毛球飞行的高度与发球后球飞行的时间满足关系式，则该运动员发球后时，羽毛球飞行的高度为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，若AB是⊙0的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=56°， 则∠BCD是( )
A．34° B．44° C．54° D．56°
4．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC＝40°，则∠D的度数为( )
A．140° B．135° C．130° D．125°
6．二次函数的图象可以由二次函数的图象平移而得到，下列平移正确的是（ ）
A．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位
B．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
C．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位
D．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
7．已知x=1是方程x2+px+1=0的一个实数根，则p的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．﹣2
8． “2020年的6月21日是晴天”这个事件是（ ）
A．确定事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．不确定事件
9．已知二次函数y＝kx2-7x-7的图象与x轴没有交点，则k的取值范围为（ ）
A．k＞ B．k≥且k≠0 C．k＜ D．k＞且k≠0
10．如图，正三角形ABC的边长为4cm，D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，以A，B，C三点为圆心，2cm为半径作圆．则图中阴影部分面积为（ ）
A．（2-π）cm2 B．（π-）cm2 C．（4-2π）cm2 D．（2π-2）cm2
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图：在△ABC中，AB=13，BC=12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE=2.5，那么△ACD的周长是_____．
12．如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，AB＝2km，从A测得灯塔P在北偏东60°的方向，从B测得灯塔P在北偏东45°的方向，则灯塔P到海岸线l的距离为_____km．
13．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．
14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC∥EF，EF分别与AB，AC，CD相交于点E，M，F，若EM：BC＝2：5，则FC：CD的值是_____．
15．在一个不透明的口袋中装有5个除了标号外其余都完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号小于4的概率为_____．
16．如图，若点P在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，则矩形PMON的面积为_____．
17．在中，，，，则的长是__________．
18．如图，直线y＝kx与双曲线y＝(x＞0)交于点A(1，a)，则k＝_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，高为74米，为测量居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37°，大厦底部B的俯角为48°．
（1）求∠ACB的度数；
（2）求小明家所在居民楼与大厦之间的距离．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin48°≈，cos48°≈，tan48°≈）
20．（6分）如图，在平行四边形中，为边上一点，平分，连接，已知，.
求的长；
求平行四边形的面积；
求.
21．（6分）如图1，抛物线y = ax2+bx-3经过A、B、C三点，己知点A(-3，0)、C (1， 0)．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不与A、B重合)．
①过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线AB于点E，动点P在什么位置时，PE最大，求 出此时P点的坐标；
②如图2，连接AP，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，当它恰好有一个顶点落在抛物 线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．
22．（8分）如图，四边形是正方形，连接，将绕点逆时针旋转得，连接，为的中点，连接，.
（1）如图1，当时，求证：；
（2）如图2，当时，（1）还成立吗？请说明理由.
23．（8分）如图，∠1=∠3，∠B=∠D，AB=DE=5，BC=1．
（1）请证明△ABC∽△ADE．
（2）求AD的长．
24．（8分）如图，二次函数的图像经过，两点.
（1）求该函数的解析式；
（2）若该二次函数图像与轴交于、两点，求的面积；
（3）若点在二次函数图像的对称轴上，当周长最短时，求点的坐标.
25．（10分）先化简，再求代数式的值，其中
26．（10分）如图,点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，连接，的面积为1．点的坐标为．若一次函数的图象经过点，交双曲线的另一支于点，交轴点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(1)若为轴上的一个动点，且的面积为5，请求出点的坐标．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】首先用表示出根的判别式，结合非负数的性质即可作出判断．
【详解】由题可知二次项系数为，一次项系数为，常数项为，
，
是不为的常数，
，
方程有两个不相等的实数根，
故选：B.
本题主要考查了根的判别式的知识，解答此题要掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：①△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；②△=0⇔方程有两个相等的实数根③△＜0⇔方程没有实数根．
2、C
【分析】根据函数关系式，求出t=1时的h的值即可．
【详解】
t=1s时，h=-1+2+1.5=2.5
故选C.
本题考查了二次函数的应用，知道t=1时满足函数关系式是解题的关键.
3、A
【分析】根据圆周角定理由AB是⊙O的直径可得∠ADB=90°，再根据互余关系可得∠A=90°-∠∠ABD=34°，最后根据圆周角定理可求解．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=56°，
∴∠A=90°-∠ABD=34°，
∴∠BCD=∠A=34°，
故答案选A．
本题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半．解题的关键是正确利用图中各角之间的关系进行计算．
4、B
【分析】由题意根据根与系数的关系以及方程的解的概念即可求出答案．
【详解】解：由根与系数的关系可知：，
∴1+n=-m，n=3，
∴m=-4，n=3，
∴.
故选：B．
本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系求值与代入求值.
5、C
【分析】根据圆周角定理可知，再由三角形的内角和可得，最后根据圆内接四边形的性质即可得.
【详解】 AB是半圆O的直径
（圆周角定理）
（圆内接四边形的对角互补）
故选：C.
本题考查了圆周角定理、三角形的内角和定理、圆内接四边形的性质，掌握灵活运用各定理和性质是解题关键.
6、C
【解析】二次函数平移都是通过顶点式体现，将转化为顶点式，与原式对比，利用口诀左加右减，上加下减，即可得到答案
【详解】解：∵，∴ 的图形是由的图形，向左平移2个单位，然后向上平移1个单位
本题主要考查二次函数图形的平移问题，学生熟练掌握左加右减，上加下减即可解决这类题目
7、D
【分析】把x=1代入x2+px+1=0，即可求得p的值.
【详解】把x=1代入把x=1代入x2+px+1=0，得
1+p+1=0，
∴p=-2.
故选D.
本题考查了一元二次方程的解得定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解得定义是解答本题的关键.
8、D
【分析】在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
【详解】“2020年的6月21日是晴天”这个事件是随机事件，属于不确定事件，
故选：D．
本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
9、C
【分析】根据二次函数图像与x轴没有交点说明 ，建立一个关于k的不等式，解不等式即可.
【详解】∵二次函数的图象与x轴无交点，
∴
即
解得
故选C．
本题主要考查一元二次方程根的判别式和二次函数图像与x轴交点个数的关系，掌握根的判别式是解题的关键.
10、C
【分析】连接AD，由等边三角形的性质可知AD⊥BC，∠A=∠B=∠C=60°，根据S阴影=S△ABC-3S扇形AEF即可得出结论．
【详解】连接AD，
∵△ABC是正三角形，
∴AB=BC=AC=4，∠BAC=∠B=∠C=60°，
∵BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴AD==，
∴S阴影=S△ABC-3S扇形AEF=×4×2﹣=(4﹣2π)cm2，
故选C．
本题考查了有关扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【分析】根据三角形中位线定理得到AC=2DE=5，AC∥DE，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，根据线段垂直平分线的性质得到DC=BD，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴AC=2DE=5，AC∥DE，
AC2+BC2=52+122=169，
AB2=132=169，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∵AC∥DE，
∴∠DEB=90°，又∵E是BC的中点，
∴直线DE是线段BC的垂直平分线，
∴DC=BD，
∴△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=1，
故答案为1．
本题考查的是三角形中位线定理、线段垂直平分线的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
12、
【分析】作PD⊥AB，设PD=x，根据∠CBP=∠BPD=45°知BD=PD=x、AD=AB+BD=2+x，由sin∠PAD=列出关于x的方程，解之可得答案．
【详解】如图所示，过点P作PD⊥AB，交AB延长线于点D，
设PD＝x，
∵∠PBD＝∠BPD＝45°，
∴BD＝PD＝x，
又∵AB＝2，
∴AD＝AB+BD＝2+x，
∵∠PAD＝30°，且sin∠PAD＝，
∴，
解得：x＝1+，
即船P离海岸线l的距离为（1+）km，
故答案为1+．
本题主要考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是根据题意构建合适的直角三角形及三角函数的定义及其应用．
13、
【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．
【详解】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k的不等式，求出k的取值范围.
，，方程有两个不相等的实数根，
，
.
故答案为：．
本题考查了根的判别式．
总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
14、
【解析】首先得出△AEM∽△ABC，△CFM∽△CDA，进而利用相似三角形的性质求出即可．
【详解】∵AD∥BC∥EF，
∴△AEM∽△ABC，△CFM∽△CDA，
∵EM：BC=2：5，
∴，
设AM=2x，则AC=5x，故MC=3x，
∴，
故答案为：．
此题主要考查了相似三角形的判定与性质，得出是解题关键．
15、
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．
【详解】解：根据题意可得：标号小于4的有1，2，3三个球，共5个球，
任意摸出1个，摸到标号小于4的概率是．
故答案为：
本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．
16、1
【分析】设PN＝a，PM＝b，根据P点在第二象限得P（﹣a，b），根据矩形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：设PN＝a，PM＝b，
∵P点在第二象限，
∴P（﹣a，b），代入y＝中，得
k＝﹣ab＝﹣1，
∴矩形PMON的面积＝PN•PM＝ab＝1，
故答案为：1．
本题考查了反比例函数的几何意义，即S矩形PMON=
17、
【分析】根据cosA=可求得AB的长．
【详解】解：由题意得，cosA=，∴cos45°=，解得AB=．
故答案为：．
本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
18、1
【解析】解：∵直线y=kx与双曲线y=（x＞0）交于点A（1，a），∴a=1，k=1．故答案为1．
三、解答题(共66分)
19、（1）85°；（2）小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度是40米．
【分析】（1）结合图形即可得出答案；
（2）利用所给角的三角函数用CD表示出AD、BD；根据AB＝AD+BD＝74米，即可求得居民楼与大厦的距离．
【详解】解：（1）由图知∠ACB＝37°+48°＝85°；
（2）设CD＝x米．
在Rt△ACD中，tan37°＝，
则＝，
∴AD＝x；
在Rt△BCD中，
tan48°＝，则＝，
∴BD＝x．
∵AD+BD＝AB，
∴x+x＝74，
解得：x＝40，
答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度是40米．
本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
20、 (1)10;(2)128;(3)
【分析】（1）先根据平行四边形的性质和角平分线的性质求得，然后根据等角对等边即可解答；
（2）先求出CD=10，再根据勾股定理逆定理可得，即可说明CE是平行四边形的高，最后求面积即可；
（3）先求出BC的长，再根据勾股定理求出BE的长，最后利用余弦的定义解答即可.
【详解】解：四边形是平行四边形
又平分
四边形是平行四边形.
在中，
.
四边形是平行四边形
且
中，
本题考查了平行四边形、勾股定理以及锐角的三角函数等知识，其中掌握平行四边形的性质是解答本题的关键.
21、（1）y = x2+2x﹣3；（2）①（﹣，），②（﹣－1，2）或（，）或(-1，-4)
【分析】（1）直接用待定系数法求解即可；
（2）①由抛物线解析式y = x2+2x﹣3，令x=0，y=﹣3，求出点B（0，-3），设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（﹣3,0）和B（0，﹣3）代入y =kx+b求出k=-1，b=-3，直线AB的解析式为y=﹣x﹣3，设E（x，﹣x﹣3），则PE=﹣（x+）2+，从而得当PE最大时，P点坐标为（﹣，）；
②抛物线对称轴为直线x=﹣1，A（﹣3,0），正方形APMN的顶点落在抛物线对称轴上的情况有两种情况，i) 当点N在抛物线对称轴直线x=﹣1上；ii）当点M在抛物线对称轴直线x=﹣1；根据这两种情况，作出图形，找到线段之间的等量关系，解之即可．.
【详解】（1）把A（﹣3,0）和C（1,0）代入y = ax2+bx﹣3得，
，解得，
∴抛物线解析式为y = x2+2x﹣3；
（2）设P（x，x2+2x﹣3），直线AB的解析式为y=kx+b，
①由抛物线解析式y = x2+2x﹣3，令x=0，y=﹣3，
∴B（0，﹣3），
把A（﹣3,0）和B（0，﹣3）代入y =kx+b得，
解得，
∴直线AB的解析式为y=﹣x﹣3，
∵PE⊥x轴，
∴E（x，﹣x﹣3），
∵P在直线AB下方，
∴PE=﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+，
当x=﹣时，y= x2+2x﹣3=，
∴当PE最大时，P点坐标为（﹣，）.
②抛物线对称轴为直线x=﹣1，A（﹣3,0），正方形APMN的顶点落在抛物线对称轴上的情况有三种：
i)当点N在抛物线对称轴直线x=﹣1上时，作PR⊥x轴于点R，设对称轴与x轴的交点为L，如图①，
∵四边形APMN为正方形，
∴AN=AP，∠PAR+∠RAN=90°，
∵∠PAR+∠APR=90°，
∴∠APR=∠RAN，
在△APR和△NAL中
∴△APR≌△NAL（AAS），
∴PR=AL，
∵AL=﹣1－（﹣3）=2，
∴PR=2，此时x2+2x﹣3=2，解得x1=－1，x2=﹣－1，
∵P在直线AB下方，
∴x=﹣－1，
∴P（﹣－1，2）；
ii)当点M在抛物线对称轴直线x=﹣1上时，如图②，过点P作PH⊥对称轴于点H、作AG⊥HP于点G，
∵四边形APMN为正方形，
∴PA=PM，∠APM=90°，
∴∠APG+∠MPH=90°，
∵∠APG+∠GAP=90°，
∴∠GAP=∠HPM，
在△APG和△PMH中
∴△APG≌△PMH（AAS），
∴AG=PH，PG=MH，
∴GH=PG+PH
∵P(x，x2+2x-3)
∴x+3+（-x2-2x+3）=2，解得x1=，x2=，
∵P在直线AB下方，
∴x=，
∴P（，）
ⅲ) 当点P在抛物线对称轴直线x=-1.上时,P(-1，-4)，
终上所述，点P对应的坐标为（﹣－1，2）或（，）或(-1，-4).
本题考查了待定系数法求一次函数与二次函数解析式、配方法求二次函数最值、全等三角形的判定与性质等知识点，有一定综合性，难度适中．第（3）问的两种情况当中，根据图形，构造全等三角形是关键．
22、（1）详见解析；（2）当时，成立，理由详见解析.
【分析】（1）由旋转的性质得：，根据直角三角形斜边中线的性质可得OD=CF，OE=CF，进而可得OD=OE；
（2）连接CE、DF，根据等腰三角形的性质可得，利用角的和差关系可得，利用SAS可证明△ACE≌△AFD，可得CE=DF，∠ECA=∠DFA，利用角的和差关系可得，利用SAS可证明△EOC≌△DOF，即可证明OD=OE，可得（1）结论成立.
【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴∠BAC=45°，
∵将绕点逆时针旋转得，=45°，
∴点E在AC上，
∴，为的中点，
∴
同理：
∴.
（2）当时，成立，理由如下：
连接，如图所示：
∵在正方形中，，AB=AE，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵=45°，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴.
本题考查正方形的性质、旋转的性质及全等三角形的判定与性质，正确得出对应边和对应角，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键.
23、（1）见解析；（2）
【分析】（1）由∠1=∠3，依据等式的基本性质，得，结合∠B=∠D，依据两组角分别相等的三角形相似可证；
（2）依据相似的性质可求.
【详解】解：∵∠1=∠3，
∴∠1+∠2=∠3+∠2，
即,
又∵∠B=∠D，
∴△ABC∽△ADE．
（2）∵△ABC∽△ADE，
∴,
又∵AB=DE=5，BC=1，
∴，
∴．
本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似的判定定理和性质定理，并熟悉基本图形.
24、（1）；（2）6；（3）
【解析】（1）将M,N两点代入求出b,c值，即可确定表达式；
（2）令y=0求x的值，即可确定A、B两点的坐标，求线段AB长，由三角形面积公式求解.
（3）求出抛物线的对称轴，确定M关于对称轴的对称点G的坐标，直线NG与对称轴的交点即为所求P点，利用一次函数求出P点坐标.
【详解】解：将点，代入中得，
，
解得，，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）如图，当y=0时，，
∴x1=3,x2= -1,
∴A(-1,0),B(3,0),
∴AB=4,
∴S△ABM= .
即的面积是6.
（3）如图，抛物线的对称轴为直线 ，
点关于直线x=1的对称点坐标为G(2，3),
∴PM=PG,
连MG交抛物线对称轴于点P，此时NP+PM=NP+PG最小，即周长最短.
设直线NG的表达式为y=mx+n,
将N(-2,-5),G(2,3)代入得，
，
解得， ，
∴y=2m-1,
∴P点坐标为(1,1).
本题考查抛物线与图形的综合题，涉及待定系数法求解析式，图象的交点问题，利用对称性解决线段和的最小值问题，利用函数观点解决图形问题是解答此题的关键.
如图，二次函数y=-x²+bx+c的图像经过M(0,3)，N(-2,-5)两点.
25、，
【分析】先去括号，再算乘法约去公约数，即可完成化简，化简，先算三角函数值，再算乘法，再算减法，再将化简后x的值代入原式求解即可．
【详解】原式
当时
原式
本题考查了整式的混合运算，掌握整式混合运算的法则是解题的关键．
26、 (1) ，；(1)P(0，5)或(0，1) ．
【分析】（1）根据“点A是反比例函数图象上的一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，△AOB的面积为1”即可求得k的值，从而得到反比例函数的解析式，分别将点A和点D的坐标代入反比例函数的解析式，即可求得点A和点D的坐标，用待定系数法求出a和b的值，即能求得一次函数的解析式，
（1）△PAC可以分成△PAD和△PCD，分别求出点A和点C到y轴的距离，根据“△PAC的面积为5”，求出PD的长度，结合点D的坐标，求出点P的坐标即可．
【详解】解：（1）根据题意得：
k=-1×1=-4，
即反比例函数的解析式为，解得：
m=4，n=-1，
即点A（-1，4），点C（4，-1），
把点A（-1，4），C（4，-1）代入y=ax+b得：，
解得：，
即一次函数的解析式为：y=-x+3，
（1）把x=0代入y=-x+3得：y=3，
即点D（0，3），
点A到y轴的距离为1，点C到y轴的距离为4，
S△PAD=×PD×1=PD，
S△PCD=×PD×4=1PD，
S△PAC=S△PAD+S△PCD=PD=5，
PD=1，
∵点D（0，3），
∴点P的坐标为（0，1）或（0，5）．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意和图示找出正确的等量关系式解决本题的关键．
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