资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，在△ABC中，∠A＝75°，AB＝6，AC＝8，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知点在同一个函数的图象上，这个函数可能是（ ）
A． B． C． D．
3．已知下列命题：①等弧所对的圆心角相等；②90°的圆周角所对的弦是直径；③关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则ac< 0；④若二次函数y= 的图象上有两点（－1，y1）、（2，y2），则>；其中真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列各数中是无理数的是（ ）
A．0 B． C． D．0.5
5．小明在太阳光下观察矩形木板的影子，不可能是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．线段 D．梯形
6．已知二次函数y=mx2+x+m（m-2）的图像经过原点，则m的值为（ ）
A．0或2 B．0 C．2 D．无法确定
7．某校办工厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得三年的总产量达到1 400件．若设这个百分数为，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
8．下列一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A．x2 = 0 B．x2 = 4 C．x2﹣2x﹣1 = 0 D．x2 +1 = 0
9．二次函数的部分图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④，其中错误结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．抛物线的顶点坐标是( )
A．(3，5) B．(-3，-5) C．(-3，5) D．(3，-5)
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点落在上的点处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点恰好落在上的点处，为折痕，连接并延长交于点，若，，则线段的长等于_____．
12．方程2x2-x=0的根是______.
13．如图是圆心角为，半径为的扇形，其周长为_____________.
14．当_____时，是关于的一元二次方程.
15．已知线段AB=4，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＜BP，那么AP的长为_____．
16．计算：2sin30°+tan45°＝_____．
17．将6×4的正方形网格如图所示放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，若点在第一象限内，且在正方形网格的格点上，若是钝角的外心，则的坐标为__________．
18．函数和在第一象限内的图象如图，点是的图象上一动点，轴于点，交的图象于点；轴于点，交的图象于点，则四边形的面积为______．
三、解答题(共66分)
19．（10分）小红想利用阳光下的影长测量学校旗杆AB的高度．如图，他在某一时刻在地面上竖直立一个2米长的标杆CD，测得其影长DE=0.4米．
（1）请在图中画出此时旗杆AB在阳光下的投影BF．
（2）如果BF=1.6，求旗杆AB的高．
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x1+1x+a交x轴于点A，B，交y轴于点C，点A的横坐标为﹣1．
（1）求抛物线的对称轴和函数表达式．
（1）连结BC线段，BC上有一点D，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，F，若EF＝6，求点D的坐标．
21．（6分）如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，＝，OB＝6，S△AOC＝50，
求：（1）AO的长；
（2）求S△BOD
22．（8分）如图，点P是上一动点，连接AP，作∠APC=45°，交弦AB于点C．AB=6cm．
小元根据学习函数的经验，分别对线段AP，PC，AC的长度进行了测量．
下面是小元的探究过程，请补充完整：
（1）下表是点P是上的不同位置，画图、测量，得到线段AP，PC，AC长度的几组值，如下表：
AP/cm
0
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
PC/cm
0
1.21
2.09
2.69
m
2.82
0
AC/cm
0
0.87
1.57
2.20
2.83
3.61
6.00
①经测量m的值是 （保留一位小数）．
②在AP，PC，AC的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和 的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当△ACP为等腰三角形时，AP的长度约为 cm（保留一位小数）．
23．（8分）某果园有100棵橙子树，平均每棵结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就要减少．根据经验估计，每增种1棵树，平均每棵树就少结5个橙子．设果园增种x棵橙子树，果园橙子的总产量为y个．
（1）求y与x之间的关系式；
（2）增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60 420个以上？
24．（8分）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中，.
（1）若直线经过、两点，求直线和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标；
（3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标.
25．（10分）已知关于的一元二次方程有两个实数根，．
（1）求的取值范围：
（2）当时，求的值．
26．（10分）一次函数y＝x+2与y＝2x﹣m相交于点M（3，n），解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【详解】A、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．
D、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；
故选：D．
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
2、D
【解析】由点的坐标特点，可知函数图象关于轴对称，于是排除选项；再根据的特点和二次函数的性质，可知抛物线的开口向下，即，故选项正确．
【详解】
点与点关于轴对称；
由于的图象关于原点对称，因此选项错误；
由可知，在对称轴的右侧，随的增大而减小，
对于二次函数只有时，在对称轴的右侧，随的增大而减小，
选项正确
故选．
考查正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，可以采用排除法，直接法得出答案．
3、B
【分析】利用圆周角定理、一元二次方程根的判别式及二次函数的增减性分别判断正误后即可得到正确的选项．
【详解】解：①等弧所对的圆心角也相等，正确，是真命题；
②90°的圆周角所对的弦是直径，正确，是真命题；
③关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，
则b2－ac＞0，但不能够说明ac< 0，所以原命题错误，是假命题；
④若二次函数的图象上有两点（－1，y1）（2，y2），则y1＞y2，不确定，因为a 的正负性不确定，所以原命题错误，是假命题；
其中真命题的个数是2，
故选：B．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆周角定理、一元二次方程根的判别式及二次函数的增减性，难度不大．
4、C
【分析】根据无理数的定义，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，是无理数；
0，，0.5是有理数；
故选：C．
本题考查了无理数的定义，解题的关键是熟记无理数的定义进行解题．
5、D
【分析】根据平行投影的特点可确定矩形木板与地面平行且与光线垂直时所成的投影为矩形；当矩形木板与光线方向平行且与地面垂直时所成的投影为一条线段；除以上两种情况矩形在地面上所形成的投影均为平行四边形，据此逐一判断即可得答案.
【详解】A.将木框倾斜放置形成的影子为平行四边形，故该选项不符合题意，
B.将矩形木框与地面平行放置时，形成的影子为矩形，故该选项不符合题意，
C.将矩形木框立起与地面垂直放置时，形成的影子为线段，
D.∵由物体同一时刻物高与影长成比例，且矩形对边相等，梯形两底不相等，
∴得到投影不可能是梯形，故该选项符合题意，
故选：D.
本题考查了平行投影特点：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例，平行物体的影子仍旧平行或重合．灵活运用平行投影的性质是解题的关键．
6、C
【分析】根据题意将（0，0）代入解析式，得出关于m的方程，解之得出m的值，由二次函数的定义进行分析可得答案．
【详解】解：∵二次函数y=mx1+x+m（m-1）的图象经过原点，
∴将（0，0）代入解析式，得：m（m-1）=0，
解得：m=0或m=1，
又∵二次函数的二次项系数m≠0，
∴m=1．
故选：C．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的定义，熟练掌握二次函数图象上的点满足函数解析式及二次函数的定义是解题的关键．
7、B
【分析】根据题意：第一年的产量+第二年的产量+第三年的产量=1且今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数x．
【详解】解：已设这个百分数为x．
200+200（1+x）+200（1+x）2=1．
故选B．
本题考查对增长率问题的掌握情况，理解题意后以三年的总产量做等量关系可列出方程．
8、A
【分析】根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的解法，逐一判断选项，即可．
【详解】A. x2 = 0，解得：x1=x2=0，故本选项符合题意；
B. x2 = 4，解得：x1=2，x2=-2，故本选项不符合题意；
C. x2﹣2x﹣1 = 0，，有两个不相等的根，故不符合题意；
D. x2 +1 = 0，方程无解，故不符合题意．
故选A．
本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义，是解题的关键．
9、A
【分析】①对称轴为，得；
②函数图象与x轴有两个不同的交点，得；
③当时，，当时，，得；
④由对称性可知时对应的y值与时对应的y值相等，当时
【详解】解：由图象可知，对称轴为，
，
，
①正确；
∵函数图象与x轴有两个不同的交点，
，
②正确；
当时，，
当时，，
③正确；
由对称性可知时对应的y值与时对应的y值相等，
∴当时，
④错误；
故选A．
考查二次函数的图象及性质；熟练掌握从函数图象获取信息，将信息与函数解析式相结合解题是关键．
10、C
【解析】由题意根据二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的顶点坐标是（h，k），求出顶点坐标即可．
【详解】解：∵；
∴顶点坐标为：（-3，5）．
故选：C．
本题考查二次函数的性质和二次函数的顶点式．熟悉二次函数的顶点式方程y=a（x-h）2+k中的h、k所表示的意义是解决问题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、．
【分析】根据折叠可得是正方形，，，，可求出三角形的三边为3，4，5，在中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证∽，三边占比为3：4：5，设未知数，通过，列方程求出待定系数，进而求出的长，然后求的长．
【详解】过点作，，垂足为、，
由折叠得：是正方形，，
，，，
∴，
在中，，
∴，
在中，设，则，由勾股定理得，
，
解得：，
∵，，
∴∽，
∴，
设，则，，
∴，，
解得：，
∴，
∴，
故答案为．
考查折叠轴对称的性质，矩形、正方形的性质，直角三角形的性质等知识，知识的综合性较强，是有一定难度的题目．
12、x1=, x2=0
【分析】利用因式分解法解方程即可.
【详解】2x2-x=0，
x（2x-1）=0，
x=0或2x-1=0，
∴x1=， x2=0.
故答案为x1=， x2=0.
本题考查了一元二次方程的解法-因式分解法，熟练运用因式分解法将方程化为x（2x-1）=0是解决问题的关键.
13、
【分析】先根据弧长公式算出弧长,再算出周长.
【详解】弧长=,周长==.
故答案为: .
本题考查弧长相关的计算,关键在于记住弧长公式.
14、
【分析】根据一元二次方程的定义得到m−1≠0，解不等式即可．
【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程，
∴m−1≠0，
∴m≠1，
故答案为：.
本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程．
15、（6﹣2）cm．
【解析】根据黄金分割点的定义和AP＜BP得出PB=AB，代入数据即可得出BP的长度．
【详解】解：由于P为线段AB=4的黄金分割点，且AP＜BP，
则BP=×4=（2 -2）cm．
∴AP=4-BP=
故答案为：()cm．
【点评】
本题考查了黄金分割．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的 ．
16、1．
【分析】根据解特殊角的三角函数值即可解答．
【详解】原式＝1×+1＝1．
本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是牢记这些特殊三角函数值．
17、或
【解析】由图可知P到点A，B的距离为，在第一象限内找到点P的距离为的点即可．
【详解】解：由图可知P到点A，B的距离为，在第一象限内找到点P的距离为的点，如图所示，由于是钝角三角形，故舍去（5，2），
故答案为或．
本题考查了三角形的外心，即到三角形三个顶点距离相等的点，解题的关键是画图找到C点．
18、3
【解析】根据反比例函数系数k的几何意义可分别求得△OBD、△OAC、矩形PDOC的面积，据此可求出四边形PAOB的面积.
【详解】解：如图，
∵A、B是反比函数上的点，
∴S△OBD=S△OAC= ，
∵P是反比例函数上的点，
∴S矩形PDOC=4，
∴S四边形PAOB=S矩形PDOC-S△ODB--S△OAC=4--=3，
故答案是：3.
本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中系数k的几何意义是解答此题的关键．
三、解答题(共66分)
19、 (1)见解析 (2) 8m
【详解】试题分析：（1）利用太阳光线为平行光线作图：连结CE，过A点作AF∥CE交BD于F，则BF为所求；
（2）证明△ABF∽△CDE，然后利用相似比计算AB的长．
试题解析：（1）连结CE，过A点作AF∥CE交BD于F，则BF为所求，如图；
（2）∵AF∥CE，
∴∠AFB=∠CED，
而∠ABF=∠CDE=90°，
∴△ABF∽△CDE，
∴， 即，
∴AB=8（m）,
答：旗杆AB的高为8m．
20、（1）y＝﹣x1+1x+6；对称轴为x=1；（1）点D的坐标为（1.5，3.5）．
【分析】（1）将点A的坐标代入函数的解析式求得a的值后即可确定二次的解析式，代入对称轴公式即可求得对称轴；
（1）首先根据点A的坐标和对称轴求得点B的坐标，然后求得直线BC的解析式，从而设出点D的坐标并表示出点EF的坐标，表示出EF的长后根据EF＝6求解即可．
【详解】解：如图：
（1）∵A点的横坐标为﹣1，
∴A（﹣1，0），
∵点A 在抛物线y＝﹣x1+1x+a上，
∴﹣1﹣4+a＝0，
解得：a＝6，
∴函数的解析式为：y＝﹣x1+1x+6，
∴对称轴为x＝﹣＝﹣＝1；
（1）∵A（﹣1，0），对称轴为x＝1，
∴点B的坐标为（6，0），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6，
∵点D在BC上，
∴设点D的坐标为（m，﹣m+6），
∴点E和点F的纵坐标为﹣m+6，
∴y＝﹣x1+1x+6＝﹣m+6，
解得：x＝1±，
∴EF＝1+﹣（1﹣）＝1，
∵EF＝6，
∴1＝6，
解得：m＝1.5，
∴点D的坐标为（1.5，3.5）．
考查了待定系数法确定二次函数的解析式及抛物线与坐标轴的交点问题，解题的关键是正确的求得函数的解析式，难度不大．
21、 (1)10;(2)1.
【分析】（1）根据相似三角形对应边之比相等可得＝＝，再代入BO＝6可得AO长；
（2）根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可得＝，进而可得S△BOD．
【详解】解：（1）∵△OBD∽△OAC，
∴＝＝
∵BO＝6，
∴AO＝10；
（2）∵△OBD∽△OAC，＝
∴＝
∵S△AOC＝50，
∴S△BOD＝1．
此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是熟知相似三角形的面积之比等于相似比的平方.
22、（1）①3.0；②AP的长度是自变量，PC的长度和AC的长度都是这个自变量的函数；（答案不唯一）;(2)见解析; （3）2.3或4.2
【分析】（1）①根据题意AC的值分析得出PC的值接近于半径；
②由题意AP的长度是自变量，分析函数值即可；
（2）利用描点法画出函数图像即可；
（3）利用数形结合的思想解决问题即可.
【详解】解：（1）①AC=2.83可知PC接近于半径3.0；
②AP的长度是自变量，PC的长度和AC的长度都是这个自变量的函数；（答案不唯一）
（2）如图（答案不唯一，和（1）问相对应）；
（3）结合图像根据AP=PC以及AC=PC进行代入分析可得AP为2.3或4.2
本题考查函数图像的相关性质，利用描点法画出函数图像以及利用数形结合的思想进行分析求解.
23、（1）y=600-5x（0≤x＜120）；（2）7到13棵
【分析】（1）根据增种1棵树，平均每棵树就会少结5个橙子列式即可；（2）根据题意列出函数解析式，然后根据函数关系式y=-5x2+100x+60000=60420，结合一元二次方程解法得出即可．
【详解】解：（1）平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系为：
y=600-5x（0≤x＜120）；
（2）设果园多种x棵橙子树时，可使橙子的总产量为w，
则w=（600-5x）（100+x）
=-5x2+100x+60000
当y=-5x2+100x+60000=60420时，
整理得出：x2-20x+84=0，
解得：x1=14，x2=6，
∵抛物线对称轴为直线x==10，
∴增种7到13棵橙子树时，可以使果园橙子的总产量在60420个以上．
此题主要考查了二次函数的应用，准确分析题意，列出y与x之间的二次函数关系式是解题关键．
24、（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为.（2）；（3）的坐标为或或或.
【解析】分析：（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式；
（2）设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，此时MA+MC的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y的值，即可求出点M坐标；
（3）设P（-1，t），又因为B（-3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2，PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标．
详解：（1）依题意得：，解得：，
∴抛物线的解析式为.
∵对称轴为，且抛物线经过，
∴把、分别代入直线，
得，解之得：，
∴直线的解析式为.
（2）直线与对称轴的交点为，则此时的值最小，把代入直线得，
∴.即当点到点的距离与到点的距离之和最小时的坐标为.
（注：本题只求坐标没说要求证明为何此时的值最小，所以答案未证明的值最小的原因）.
（3）设，又，，
∴，，，
①若点为直角顶点，则，即：解得：，
②若点为直角顶点，则，即：解得：，
③若点为直角顶点，则，即：解得：
，.
综上所述的坐标为或或或.
点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．
25、（1）；（2）
【分析】（1）由条件可知该方程的判别式大于或等于0，可得到关于m的不等式，可求得m的取值范围;
（2）利用根与系数的关系可用m表示出已知等式，可求得m的值．
【详解】解：（1）原方程有两个实数根，
整理，得：
解得：
（2），，
即
解得：
又
的值为.
本题考查了根据一元二次方程的根与判别式的关系来确定未知系数的取值范围，以及根据根与系数的关系来确定未知系数的值．
26、﹣1＜x≤3，见解析
【分析】根据已知条件得到2x﹣m≤x+2的解集为x≤3，求得不等式组的解集为﹣1＜x≤3，把解集在数轴上表示即可．
【详解】解：∵一次函数y＝x+2与y＝2x﹣m相交于点M（3，n），
∴2x﹣m≤x+2的解集为：x≤3，
不等式x+1＞0的解集为：x＞﹣1，
∴不等式组的解集为：﹣1＜x≤3，
把解集在数轴上表示为：
本题考查了一次函数与一元一次不等式，不等式组的解法，正确的理解题意是解题的关键．
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