资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（每题4分，共48分）
1．中国在夏代就出现了相当于砝码的“权”，此后的多年间，不同朝代有不同形状和材质的“权”作为衡量的量具.下面是一个“”形增砣砝码，其俯视图如下图所示，则其主视图为（ ）
A． B． C． D．
2．若方程x2+3x+c＝0有实数根，则c的取值范围是（ ）
A．c≤ B．c≤ C．c≥ D．c≥
3．如图2，在平面直角坐标系中，点的坐标为（1，4）、（5，4）、（1、），则外接圆的圆心坐标是
A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1）
4．如图，是由7个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，若从标有①、②、③、④的四个小正方体中取走一个后，余下几何体与原几何体的主视图相同，则取走的正方体是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
5．小明家1至6月份的用水量统计如图所示，关于这组数据，下列说法错误的是（ ）．
A．众数是6吨 B．平均数是5吨 C．中位数是5吨 D．方差是
6．若抛物线与坐标轴有一个交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②b2﹣4ac＞0；③b＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤a+c＜，其中正确结论的个数是（ ）
A．②③④ B．①②⑤ C．①②④ D．②③⑤
8． “射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（ ）
A．确定事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．不确定事件
9．某厂2017年产值3500万元，2019年增加到5300万元.设平均每年增长率为，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，点是上的点，，则是（ ）
A． B． C． D．
11．已知一块圆心角为的扇形纸板，用它做一个圆锥形的圣诞帽(接缝忽略不计)圆锥的底面圆的直径是，则这块扇形纸板的半径是( )
A． B． C． D．
12．二次根式中x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣2 B．x≥2 C．x≥0 D．x＞﹣2
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，点A、B、C为⊙O上的三个点，∠BOC=2∠AOB，∠BAC=40°，则∠ACB= 度．
14．等边三角形中，，将绕的中点逆时针旋转，得到，其中点的运动路径为，则图中阴影部分的面积为__________．
15．已知关于x的一元二次方程的常数项为零，则k的值为_____．
16．如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD上的一动点，连接PC，过点P作PE⊥PC交AB于点E．以CE为直径作⊙O，当点P从点A移动到点D时，对应点O也随之运动，则点O运动的路程长度为_____．
17．如图，在▱ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，则CD的长为___________．
18．如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连结，若，则的度数是____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）已知
（1）求的值；
（2）若，求的值．
20．（8分）综合与探究
如图，抛物线经过点A(-2,0)，B(4,0)两点，与轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为.连接AC，BC，DB，DC，
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求的值；
(3)在(2)的条件下，若点M是轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
21．（8分）为促进新旧功能转换，提高经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为25万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量（台）和销售单价（万元）满足如图所示的一次函数关系．
（1）求月销售量与销售单价的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于35万元，如果该公司想获得130万元的月利润，那么该设备的销售单价应是多少万元？
22．（10分）（1）计算：；
（2）解分式方程：；
（3）解不等式组：．
23．（10分）如图，是圆外一点，是圆一点，交圆于点，．
（1）求证：是圆的切线；
（2）已知，，求点到直线的距离．
24．（10分）如图，在正方形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，AB=4，AM=1，BN=.
(1)求证:ΔADM∽ΔBMN；
(2)求∠DMN的度数.
25．（12分）某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为16元，每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的函数关系如下表格所示：
销售单价x(元)
…
25
30
35
40
…
每月销售量y(万件)
…
50
40
30
20
…
（1）求每月的利润W(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，厂商每月获得的总利润为480万元？
（3）如果厂商每月的制造成本不超过480万元，那么当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？
26．如图，已知抛物线经过点、，且与轴交于点，抛物线的顶点为，连接，点是线段上的一个动点（不与、）重合.
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点的坐标；
（2）过点作轴于点，求面积的最大值及取得最大值时点的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由.
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】从正面看中间的矩形的左右两边是虚的直线，
故选：A.
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
2、A
【分析】由方程x2+3x+c=0有实数解，根据根的判别式的意义得到△≥0，即32-4×1×c≥0，解不等式即可得到c的取值范围．
【详解】解：∵方程x2+3x+c＝0有实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×c≥0，
解得：c≤，
故选：A．
本题考查了根的判别式，需要熟记：当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根.
3、D
【解析】根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．
解答：解：根据垂径定理的推论，则
作弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，且坐标是（3，1）．
故选D．
4、A
【分析】根据题意得到原几何体的主视图，结合主视图选择．
【详解】解：原几何体的主视图是：
．
视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，左侧的图形只需要两个正方体叠加即可．
故取走的正方体是①．
故选A．
本题考查了简单组合体的三视图,中等难度,作出几何体的主视图是解题关键.
5、C
【解析】试题分析：根据众数、平均数、中位数、方差：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．数据：3,4,5,6,6,6，中位数是5.5，
故选C
考点：1、方差；2、平均数；3、中位数；4、众数
6、A
【分析】根据抛物线y=x2+（2m-1）x+m2与坐标轴有一个交点，可知抛物线只与y轴有一个交点，抛物线与x轴没有交点，据此可解．
【详解】解：∵抛物线y=x2+（2m-1）x+m2与坐标轴有一个交点，
抛物线开口向上，m2≥0，
∴抛物线与x轴没有交点，与y轴有1个交点，
∴（2m-1）2-4m2＜0
解得
故选：A．
本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，解决本题的关键是掌握判别式和抛物线与x轴交点的关系．
7、B
【分析】令x＝1，代入抛物线判断出①正确；根据抛物线与x轴的交点判断出②正确；根据抛物线的对称轴为直线x＝﹣1列式求解即可判断③错误；令x＝﹣2，代入抛物线即可判断出④错误，根据与y轴的交点判断出c＝1，然后求出⑤正确．
【详解】解：由图可知，x＝1时，a+b+c＜0，故①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△＝＞0，故②正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝＝﹣1，
∴b＝2a＜0，故③错误；
由图可知，x＝﹣2时，4a﹣2b+c＞0，故④错误；
当x＝0时，y＝c＝1，
∵a+b+c＜0，b＝2a，
∴3a+1＜0，
∴a＜
∴a+c＜，故⑤正确；
综上所述，结论正确的是①②⑤．
故选：B．
本题主要考查二次函数的图像与性质，关键是根据题意及图像得到二次函数系数之间的关系，熟记知识点是前提．
8、D
【解析】试题分析：“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是随机事件，属于不确定事件，
故选D．
考点：随机事件．
9、D
【分析】由题意设每年的增长率为x，那么第一年的产值为3500（1+x）万元，第二年的产值3500（1+x）（1+x）万元，然后根据今年上升到5300万元即可列出方程．
【详解】解：设每年的增长率为x，依题意得
3500（1+x）（1+x）=5300，
即．
故选：D．
本题考查列出解决问题的方程，解题的关键是正确理解“利润每月平均增长率为x”的含义以及找到题目中的等量关系．
10、A
【分析】本题利用弧的度数等于所对的圆周角度数的2倍求解优弧度数，继而求解劣弧度数，最后根据弧的度数等于圆心角的度数求解本题．
【详解】如下图所示：
∵∠BDC=120°，
∴优弧的度数为240°，
∴劣弧度数为120°．
∵劣弧所对的圆心角为∠BOC，
∴∠BOC=120°．
故选：A．
本题考查圆的相关概念，解题关键在于清楚圆心角、圆周角、弧各个概念之间的关系．
11、B
【分析】利用底面周长＝展开图的弧长可得
【详解】设这个扇形铁皮的半径为rcm，由题意得
解得r＝1．
故这个扇形铁皮的半径为1cm，
故选：B．
本题考查了圆锥的计算，解答本题的关键是确定圆锥的底面周长＝展开图的弧长这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值．
12、A
【解析】根据二次根式有意义的条件即可求出x的范围．
【详解】由题意可知：x+2≥0，
∴x≥﹣2，
故选：A．
本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1．
【分析】根据圆周角定理进行分析可得到答案.
【详解】解：
∵∠BAC=∠BOC，∠ACB=∠AOB，
∵∠BOC=2∠AOB，
∴∠ACB=∠BAC=1°．
故答案为1．
考点：圆周角定理．
14、
【分析】先利用勾股定理求出OB，再根据 ，计算即可．
【详解】解：在等边三角形中，O为的中点，
∴OB⊥OC，,
∴∠BOC=90°
∴
∵将绕的中点逆时针旋转，得到
∴
∴三点共线
∴
故答案为：
本题考查旋转变换、扇形面积公式，三角形的面积公式，以及勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
15、1
【分析】由一元二次方程（k﹣1）x1+6x+k1﹣3k+1＝0的常数项为零，即可得 ，继而求得答案．
【详解】解：∵一元二次方程（k﹣1）x1+6x+k1﹣3k+1＝0的常数项为零，
∴，
由①得：（k﹣1）（k﹣1）＝0，
解得：k＝1或k＝1，
由②得：k≠1，
∴k的值为1，
故答案为：1．
本题是对一元二次方程根的考查，熟练掌握一元二次方程知识是解决本题的关键.
16、．
【分析】连接AC，取AC的中点K，连接OK．设AP＝x，AE＝y，求出AE的最大值，求出OK的最大值，由题意点O的运动路径的长为2OK，由此即可解决问题．
【详解】解：连接AC，取AC的中点K，连接OK．设AP＝x，AE＝y，
∵PE⊥CP
∴∠APE+∠CPD＝90°，且∠AEP+∠APE＝90°
∴∠AEP＝∠CPD，且∠EAP＝∠CDP＝90°
∵△APE∽△DCP
∴，
即x（3﹣x）＝2y，
∴y＝x（3﹣x）＝﹣x2+x＝﹣GXdjs4436236（x﹣）2+，
∴当x＝时，y的最大值为，
∴AE的最大值＝，
∵AK＝KC，EO＝OC，
∴OK＝AE＝，
∴OK的最大值为，
由题意点O的运动路径的长为2OK＝，
故答案为：．
考查了轨迹、矩形的性质、三角形的中位线定理和二次函数的应用等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题．
17、1．
【详解】解：∵EF∥AB,∴△DEF∽△DAB,∴EF：AB=DE：DA=DE：（DE+EA）=2：5,∴AB=1,∵在▱ABCD中AB=CD．
∴CD=1．
故答案为：1
本题考查①相似三角形的判定；②相似三角形的性质；③平行四边形的性质．
18、
【分析】先根据旋转的性质得出，然后得出，进而求出的度数，再利用即可求出答案．
【详解】∵绕直角顶点顺时针旋转，得到
∵
故答案为：70°．
本题主要考查旋转的性质，直角三角形两锐角互余，掌握旋转的性质是解题的关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）3；（2）a=-4，b=-6，c=-8.
【解析】（1）设，可得，，，代入原式即可解答；（2）把，，，带入（2）式即可计算出k的值，从而求解.
【详解】（1）设，
则，，
∴
（2）由（1）
解得，
，，
本题考查比例的性质，设是解题关键.
20、 (1)；(2)3；(3).
【分析】(1)利用待定系数法进行求解即可；
(2)作直线DE⊥轴于点E，交BC于点G，作CF⊥DE，垂足为F，先求出S△OAC=6，再根据S△BCD=S△AOC，得到S△BCD =，然后求出BC的解析式为，则可得点G的坐标为，由此可得，再根据S△BCD=S△CDG+S△BDG=，可得关于m的方程，解方程即可求得答案；
(3)存在，如下图所示，以BD为边或者以BD为对角线进行平行四边形的构图，以BD为边时，有3种情况，由点D的坐标可得点N点纵坐标为±，然后分点N的纵坐标为和点N的纵坐标为两种情况分别求解；以BD为对角线时，有1种情况，此时N1点与N2点重合，根据平行四边形的对边平行且相等可求得BM1=N1D=4，继而求得OM1= 8，由此即可求得答案.
【详解】(1)抛物线经过点A(-2,0)，B(4,0)，
∴，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
(2)作直线DE⊥轴于点E，交BC于点G，作CF⊥DE，垂足为F，
∵点A的坐标为(-2,0)，∴OA=2，
由，得，∴点C的坐标为(0,6)，∴OC=6，
∴S△OAC=，
∵S△BCD=S△AOC，
∴S△BCD =，
设直线BC的函数表达式为，
由B，C两点的坐标得，解得，
∴直线BC的函数表达式为，
∴点G的坐标为，
∴，
∵点B的坐标为(4,0)，∴OB=4，
∵S△BCD=S△CDG+S△BDG=，
∴S△BCD =，
∴，
解得(舍)，，
∴的值为3；
(3)存在，如下图所示，以BD为边或者以BD为对角线进行平行四边形的构图，
以BD为边时，有3种情况，
∵D点坐标为，∴点N点纵坐标为±，
当点N的纵坐标为时，如点N2，
此时，解得：(舍)，
∴，∴；
当点N的纵坐标为时，如点N3，N4，
此时，解得：
∴，，
∴，；
以BD为对角线时，有1种情况，此时N1点与N2点重合，
∵，D(3，)，
∴N1D=4，
∴BM1=N1D=4，
∴OM1=OB+BM1=8，
∴M1(8，0)，
综上，点M的坐标为：.
本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
21、（1）与的函数关系式为；（2）该设备的销售单价应是27 万元．
【分析】（1）根据图像上点坐标,代入,用待定系数法求出即可.
（2）根据总利润=单个利润销售量列出方程即可.
【详解】解：（1）设与的函数关系式为，
依题意，得解得
所以与的函数关系式为．
（2）依题知．
整理方程，得．
解得．
∵此设备的销售单价不得高于35万元，
∴（舍），所以．
答：该设备的销售单价应是27 万元．
本题考查了一次函数以及一元二次方程的应用.
22、（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，以及二次根式性质计算即可求出值；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
（3）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集即可．
【详解】解：（1），
，
，
．
（2），
去分母得：，
解得：，
经检验是原方程的根．
（3），
解不等式①得，
解不等式②得，
∴原不等式组的解集为为：．
此题考查了解分式方程，以及实数的运算、不等式组的解法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23、（1）详见解析；（2）．
【分析】（1）作于点，结合，得，进而得，即可得到结论；
（2）作于点，设圆的半径为，根据勾股定理，列出关于的方程，求出的值，再根据三角形的面积法，即可得到答案．
【详解】（1）作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，即：，
∴是圆的切线．
（2）作于点，设圆的半径为，则，
在中，，解得：，
∴，
∵，
∴，
即点到直线的距离为：．
本题主要考查圆的切线的判定和性质定理以及勾股定理，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．
24、（1）见解析；（2）90°
【分析】（1）根据，，即可推出，再加上∠A=∠B=90°，就可以得出△ADM∽△BMN；
（2）由△ADM∽△BMN就可以得出∠ADM=∠BMN，又∠ADM+∠AMD=90°，就可以得出∠AMD+∠BMN=90°，从而得出∠DMN的度数．
【详解】(1)∵AD=4，AM=1
∴MB=AB-AM=4-1=3
∵，
∴
又∵∠A=∠B=90°
∴ΔADM∽ΔBMN
(2)∵ΔADM∽ΔBMN
∴∠ADM=∠BMN
∴∠ADM+∠AMD=90°
∴∠AMD+∠BMN=90°
∴∠DMN=180°-∠BMN-∠AMD=90°
本题考查了正方形的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时证明△ADM∽△BMN是解答的关键．
25、（1）；（2）26元或40元；（3）当销售单价为35元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为570万元．
【分析】（1）先根据表格求出y与x之间的函数关系式，再根据“利润（单价单件成本）销售量”即可得；
（2）令代入（1）的结论求出x的值即可得；
（3）先根据“制造成本不超过480万元”求出y的取值范围，从而可得x的取值范围，再利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）由表格可知，y与x之间的函数关系是一次函数，
设y与x之间的函数关系式为，
将和代入得：，解得，
则y与x之间的函数关系式为，
因此，，
即；
（2）由题意得：，
整理得：，
解得或，
答：当销售单价为26元或40元时，厂商每月获得的总利润为480万元；
（3）由题意得：，
则，
解得，
将二次函数化成顶点式为，
由二次函数的性质可知，在范围内，随x的增大而减小，
则当时，取得最大值，最大值为（万元），
答：当销售单价为35元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为570万元．
本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的性质、解一元二次方程、解一元一次不等式组等知识点，较难的是题（3），熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
26、（1），D的坐标为（1，4）；（2）当m=时 △BPE的面积取得最大值为，P的坐标是（，3）；（3）存在，M点的坐标为；；；；；
【分析】（1）先根据抛物线经过A（-1，0）B（3，0）两点，分别求出a、b的值，再代入抛物线即可求出二次函数的解析式并得出顶点的坐标；
（2）先设出BD解析式y=kx+b，再把B、D两点坐标代入求出k、b的值，得出BD解析式，再根据面积公式即可求出最大值以及点的坐标；
（3）根据题意利用平行四边形的性质进行分析求值，注意分类讨论.
【详解】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）
∴
所以二次函数的解析式为：
D的坐标为（1，4）
（2）设BD的解析式为y=kx+b
∵过点B（3，0），D（1，4）
∴解得
BD的解析式为y = -2x+6
设P（m，）
PE⊥y轴于点E
∴ △BPE的PE边上的高h=
S△BPE=×PE×h
=m()
=
=
∵a=-1<0 当m=时 △BPE的面积取得最大值为
当m=时，y=-2×+6=3
P的坐标是（，3）
（3）存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，
当点，，，为顶点的四边形是平行四边形，可得BM平行于PN，则有N点纵坐标等于P点纵坐标，把y=3代入求出N的坐标（0，3）或（2，3），
当N的坐标（0，3）或（2，3）时，根据平行四边形性质求得M点的坐标为 ；，；
当BP平行于MN时，根据平行四边形性质求得M点的坐标为；；.
M点的坐标为： ；；；；.
本题考查运用待定系数法求得函数的解析式，根据二次函数的解析式求得函数的最值，平行四边形的性质进行计算，注意数形结合的思想．
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