资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．服装店将进价为每件100元的服装按每件x（x＞100）元出售，每天可销售（200﹣x）件，若想获得最大利润，则x应定为（ ）
A．150元 B．160元 C．170元 D．180元
2．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE＝AF，AC与EF相交于点G，下列结论：①AC垂直平分EF；②BE+DF＝EF；③当∠DAF＝15°时，△AEF为等边三角形；④当∠EAF＝60°时，S△ABE＝S△CEF，其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④
3．如图，在半径为的中，弦长，则点到的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．二次函数的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的最大值为（ ）
A．-7 B．7 C．-10 D．10
5．已知圆锥的母线长是12，它的侧面展开图的圆心角是120°，则它的底面圆的直径为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．如图所示，某同学拿着一把有刻度的尺子，站在距电线杆30m的位置，把手臂向前伸直，将尺子竖直，看到尺子遮住电线杆时尺子的刻度为12cm，已知臂长60cm，则电线杆的高度为（ ）
A．2.4m B．24m C．0.6m D．6m
7．若，两点均在函数的图象上，且，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，直线与反比例函数的图象相交于、两点，过、两点分别作轴的垂线，垂足分别为点、，连接、，则四边形的面积为( )
A．4 B．8 C．12 D．24
9．已知命题“关于的一元二次方程必有两个实数根”，则能说明该命题是假命题的的一个值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知二次函数y=（a≠0）的图像如图所示，对称轴为x= -1，则下列式子正确的个数是（ ）
（1）abc＞0
（2）2a+b=0
（3）4a+2b+c＜0
（4）b2-4ac＜0
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．一个不透明的袋子中装有21个红球和若干个白球，这些球除了颜色外都相同，若小英每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次重复试验，小英发现摸到红球的频率逐渐稳定于1．4，则小英估计袋子中白球的个数约为（ ）
A．51 B．31 C．12 D．8
12．如图所示，在中，，，，则长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图所示的抛物线形拱桥中，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．如果以拱顶为原点建立直角坐标系，且横轴平行于水面，那么拱桥线的解析式为_____．
14．把抛物线y=2x2先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，得到的抛物线的解析式是_______.
15．如图，物理课上张明做小孔成像试验，已知蜡烛与成像板之间的距离为24cm，要使烛焰的像A′B′是烛焰AB的2倍，则蜡烛与成像板之间的小孔纸板应放在离蜡烛_____cm的地方．
16．随即掷一枚均匀的硬币三次次，三次正面朝上的概率是______________．
17．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的长为__________.
18．二次函数y=2(x﹣1)2+3的图象的顶点坐标是_________
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，已知点在的直径延长线上，点为上，过作，与的延长线相交于，为的切线，，．
（1）求证：；
（2）求的长；
（3）若的平分线与交于点，为的内心，求的长．
20．（8分）如图是反比例函数的图象的一个分支．
比例系数的值是________；
写出该图象的另一个分支上的个点的坐标：________、________；
当在什么范围取值时，是小于的正数？
如果自变量取值范围为，求的取值范围．
21．（8分）如图，是线段上--动点，以为直径作半圆，过点作交半圆于点，连接.已知，设两点间的距离为，的面积为.(当点与点或点重合时，的值为)请根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行探究. (注: 本题所有数值均保留一位小数)
通过画图、测量、计算，得到了与的几组值，如下表:
补全表格中的数值: ； ； .
根据表中数值，继续描出中剩余的三个点，画出该函数的图象并写出这个函数的一条性质;
结合函数图象，直接写出当的面积等于时，的长度约为___ _.
22．（10分）如图，为了测得旗杆AB的高度，小明在D处用高为1m的测角仪CD，测得旗杆顶点A的仰角为45°，再向旗杆方向前进10m，又测得旗杆顶点A的仰角为60°，求旗杆AB的高度．
23．（10分）（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：
如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=，BO：CO=1：3，求AB的长．
经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）．
请回答：∠ADB= °，AB= ．
（2）请参考以上解决思路，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO=，∠ABC=∠ACB=75°，BO：OD=1：3，求DC的长．
24．（10分）已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．
（1）如图甲，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是（写出两种情况，不需要证明）：① 或② ；
（2）如图乙，AB是非直径的弦，若∠CAF=∠B，求证：EF是⊙O的切线．
（3）如图乙，若EF是⊙O的切线，CA平分∠BAF，求证：OC⊥AB．
25．（12分）某数学兴趣小组，利用树影测量树高，如图（1），已测出树AB的影长AC为12米，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角．
（1）求出树高AB；
（2）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变．求树的最大影长．（用图（2）解答）
26．如图，在中，，过点作的平行线交的平分线于点，过点作的平行线交于点，交于点，连接，交于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【分析】设获得的利润为y元，由题意得关于x的二次函数，配方，写成顶点式，利用二次函数的性质可得答案．
【详解】解：设获得的利润为y元，由题意得：
∵a＝﹣1＜0
∴当x＝150时，y取得最大值2500元．
故选A．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确地写出函数关系式，并明确二次函数的性质，是解题的关键．
2、C
【解析】①通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，
②设BC=a，CE=y，由勾股定理就可以得出EF与x、y的关系，表示出BE与EF，即可判断BE+DF与EF关系不确定；
③当∠DAF=15°时，可计算出∠EAF=60°，即可判断△EAF为等边三角形，
④当∠EAF=60°时，设EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出x与y的关系，表示出BE与EF，利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF和S△ABE，再通过比较大小就可以得出结论．
【详解】①四边形ABCD是正方形，
∴AB═AD，∠B=∠D=90°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF
∵BC=CD，
∴BC-BE=CD-DF，即CE=CF，
∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF．（故①正确）．
②设BC=a，CE=y，
∴BE+DF=2（a-y）
EF=y，
∴BE+DF与EF关系不确定，只有当y=（2−）a时成立，（故②错误）．
③当∠DAF=15°时，
∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴∠DAF=∠BAE=15°，
∴∠EAF=90°-2×15°=60°，
又∵AE=AF
∴△AEF为等边三角形．（故③正确）．
④当∠EAF=60°时，设EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出：
(x+y)2+y2＝(x)2
∴x2=2y（x+y）
∵S△CEF=x2，S△ABE=y(x+y)，
∴S△ABE=S△CEF．（故④正确）．
综上所述，正确的有①③④，
故选C．
本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．
3、B
【分析】过点O作OC⊥AB于点C，由在半径为50cm的⊙O中，弦AB的长为50cm，可得△OAB是等边三角形，继而求得∠AOB的度数，然后由三角函数的性质，求得点O到AB的距离．
【详解】解：过点O作OC⊥AB于点C，如图所示：
∵OA=OB=AB=50cm，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OAB=60°，
∵OC⊥AB
故选：B
此题考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质、三角函数,熟练掌握垂径定理，证明△OAB是等边三角形是解决问题的关键．
4、B
【分析】把一元二次方程根的个数问题，转化为二次函数的图象与直线y=-m的图象的交点问题，然后结合图形即可解答．
【详解】解：将变形可得：
∵关于的一元二次方程有实数根，
∴二次函数的图象与直线y=-m的图象有交点
如下图所示，易得当-m≥-7，二次函数的图象与直线y=-m的图象有交点
解得：m≤7
故的最大值为7
故选B．
此题考查的是二次函数和一元二次方程的关系，掌握将一元二次方程根的情况转化为二次函数图象与直线图象之间的交点问题和数形结合的数学思想是解决此题的关键．
5、D
【分析】根据圆锥侧面展开图的圆心角与半径（即圆锥的母线的长度）求得的弧长，就是圆锥的底面的周长，然后根据圆的周长公式l=2πr解出r的值即可．
【详解】试题解析：设圆锥的底面半径为r
圆锥的侧面展开扇形的半径为12，
∵它的侧面展开图的圆心角是
∴弧长 即圆锥底面的周长是
解得，r=4，
∴底面圆的直径为1．
故选：D．
本题考查了圆锥的计算．正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
6、D
【解析】试题解析：作AN⊥EF于N，交BC于M，
∵BC∥EF，
∴AM⊥BC于M，
∴△ABC∽△AEF，
∴，
∵AM=0.6，AN=30，BC=0.12，
∴EF==6m．
故选D．
7、A
【分析】将点A（a-1，b），B（a-2，c）代入得出方程组，根据方程组中两个方程相减可得出b-c=2a-1，结合可得到b-c的正负情况，本题得以解决．
【详解】解：∵点A（a-1，b），B（a-2，c）在二次函数的图象上，
∴，
∴b-c=2a-1，
又，∴b-c=2a-1＜0，
∴b＜c，
故选：A．
本题考查二次函数图象上的点以及不等式的性质，解答本题的关键是将已知点的坐标代入二次函数解析式，得出b-c=2a-1．
8、C
【分析】根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|，得出S△AOC=S△ODB=3，再根据反比例函数的对称性可知：OC=OD，AC=BD，即可求出四边形ACBD的面积．
【详解】解：∵过函数的图象上A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，
∴S△AOC=S△ODB=|k|=3，
又∵OC=OD，AC=BD，
∴S△AOC=S△ODA=S△ODB=S△OBC=3，
∴四边形ABCD的面积为=S△AOC+S△ODA+S△ODB+S△OBC=4×3=1．
故选C．
本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，一般的，从反比例函数（k为常数，k≠0）图象上任一点P，向x轴和y轴作垂线你，以点P及点P的两个垂足和坐标原点为顶点的矩形的面积等于常数，以点P及点P的一个垂足和坐标原点为顶点的三角形的面积等于 ．
9、A
【分析】根据判别式的意义，当m=1时，△＜0，从而可判断原命题为是假命题．
【详解】,解：△=n2-4，
当n=1时，△＜0，方程没有实数根，
当n=2时，△=0，方程有两个相等的实数根，
当n=3时，△>0，方程有两个不相等的实数根，
当n=4时，△>0，方程有两个不相等的实数根，
故选：A
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
10、B
【详解】由图像可知，抛物线开口向下，a＜0，图像与y轴交于正半轴，c＞0，对称轴为直线x=-1＜0，即-＜0， 因为a＜0，所以b＜0，所以abc＞0，故（1）正确；
由-=-1得，b=2a，即2a-b=0，故（2）错误；
由图像可知当x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0 ， 故（3）正确；
该图像与x轴有两个交点，即b2-4ac＞0，故（4）错误，
本题正确的有两个，故选B．
11、B
【分析】设白球个数为个，白球数量袋中球的总数=1-14=1.6，求得
【详解】解：设白球个数为个，
根据题意得，白球数量袋中球的总数=1-14=1.6，
所以，
解得
故选B
本题主要考查了用评率估计概率.
12、B
【分析】先根据同角的三角函数值的关系得出，解出AC=5，再根据勾股定理得出AB的值.
【详解】在中，，，
，即.
又
AC=5
===3.
故选B.
本题考查了三角函数的值，熟练掌握同角的三角函数的关系是解题的关键.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、y＝x1
【解析】根据题意以拱顶为原点建立直角坐标系，即可求出解析式．
【详解】如图：以拱顶为原点建立直角坐标系，
由题意得A（1，−1），C（0，−1），
设抛物线的解析式为：y＝ax1
把A（1，−1）代入，得
4a＝−1，解得a＝−，
所以抛物线解析式为y＝−x1．
故答案为：y＝−x1．
本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是根据题意建立平面直角坐标系．
14、y＝2（x＋2）2﹣1
【解析】直接根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】由“左加右减”的原则可知,二次函数y＝2x2的图象向下平移1个单位得到y＝2x2−1，
由“上加下减”的原则可知,将二次函数y＝2x2−1的图象向左平移2个单位可得到函数y＝2(x＋2)2−1，
故答案是：y＝2(x＋2)2−1.
本题考查的是二次函数图象与几何变换，熟练掌握规律是解题的关键.
15、8
【解析】设蜡烛距小孔cm，则小孔距成像板cm，
由题意可知：AB∥A′B′，
∴△ABO∽△A′B′O，
∴，解得：（cm）.
即蜡烛与成像板之间的小孔相距8cm.
点睛：相似三角形对应边上的高之比等于相似比.
16、
【分析】需要三步完成，所以采用树状图法比较简单，根据树状图可以求得所有等可能的结果与出现三次正面朝上的情况，再根据概率公式求解即可．
【详解】画树状图得：
∴一共有共8种等可能的结果；出现3次正面朝上的有1种情况．
∴出现3次正面朝上的概率是
故答案为．
点评：此题考查了树状图法概率．注意树状图法可以不重不漏地表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17、1
【分析】由旋转的性质可得AC＝AC1＝3，∠CAC1＝60°，由勾股定理可求解．
【详解】∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，
∴AC＝AC1＝3，∠CAC1＝60°，
∴∠BAC1＝90°，
∴BC1＝＝＝1，
故答案为：1．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练旋转的性质是本题的关键．
18、（1，3）
【解析】首先知二次函数的顶点坐标根据顶点式y=a(x+)2+，知顶点坐标是（-，），把已知代入就可求出顶点坐标．
【详解】解：y=ax2+bx+c，
配方得y=a(x+)2+，
顶点坐标是（-，），
∵y=2（x-1）2+3，
∴二次函数y=2（x-1）2+3的图象的顶点坐标是 （1，3）．
解此题的关键是知二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标是（-，），和转化形式y=a(x+)2+，代入即可.
三、解答题（共78分）
19、（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）利用同角的余角相等得出∠E=∠ECD，从而得出结论；
（2）利用直角△OCD和直角△ADE中的勾股定理列出方程解得BD的长；
（3）连接，，，根据平分求出，利用同弧所对的圆周角相等得出，从而得出，即FP=FB.
【详解】解：（1）证明：连接，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∵，
∴由勾股定理可得，，
∵，
∴由勾股定理可得，，
∵，
∴，
∴或（舍去）．
（3）连接，，，
∵平分，
∴，
∴，
∵为直径，，
∴，
∵为的内心，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
本题属于圆的综合题，考查了圆周角的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，内心的概念，需要综合多个条件进行推导.
20、（1）12；（2）（﹣2，﹣6），（﹣3，﹣4）；（3）x＞4；（4）y的取值范围是4≤y≤6.
【解析】（1）根据图像过点（2,6），即可得出k的值；（2）根据（1）中所求解析式，即可得出图像上点的坐标；（3）根据y＝＜3求出x的取值范围即可；（4）根据x＝2时，y＝6，当x＝3时，y＝4，得出y的取值范围即可.
【详解】（1）∵图像过点（2,6），∴k＝xy＝12；
（2）（﹣2，﹣6），（﹣3，﹣4）.（答案不唯一，符合xy＝12且在第三象限的点即可.）；
（3）当y＝＜3时，则x＞4；
（4）当x＝2时，y＝6，当x＝3时，y＝4，故2≤x≤3时，y的取值范围是4≤y≤6.
本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式以及不等式解法等知识，根据不等式的性质得出x与y的取值范围是解题的关键.
21、（1）3.1，9.3，7.3；（2）见解析；（3）或.
【分析】D
（1）如图1，当x=1.5时，点C在C处，x=2.0时，点C在C1处，此时，D 'C'=DC，则，同理可求b、c；
（2）依据表格数据描点即可；
（3）从图象可以得出答案.
【详解】解：如图当x=1.5时，点C在C处，x=2.0时，点C在C1处
∴D 'C'=DC
∴
同理可得：b=9.3，c=7.3
∴ ( 允许合理的误差存在)
如图
由函数图像可知，当时，随增大而增大，当时，随增大而减小;当时，的最大值为.
由函数图像可知，或
本题考查的是二次函数综合应用，确定未知点数据、再描点、准确画出函数图像是解答本题的关键.
22、（16+5）米．
【详解】设AG=x．在Rt△AFG中，
∵tan∠AFG=，
∴FG=，在Rt△ACG中，
∵∠GCA=45°，
∴CG=AG=x，
∵DE=10，
∴x﹣=10，解得：x=15+5，
∴AB=15+5+1=16+5（米）．
答：电视塔的高度AB约为(16+5)米．
考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
23、（1）75；4；（2）CD=4．
【分析】（1）根据平行线的性质可得出∠ADB=∠OAC=75°，结合∠BOD=∠COA可得出△BOD∽△COA，利用相似三角形的性质可求出OD的值，进而可得出AD的值，由三角形内角和定理可得出∠ABD=75°=∠ADB，由等角对等边可得出AB=AD=4，此题得解；
（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，同（1）可得出AE=4，在Rt△AEB中，利用勾股定理可求出BE的长度，再在Rt△CAD中，利用勾股定理可求出DC的长，此题得解．
【详解】解：（1）∵BD∥AC，
∴∠ADB=∠OAC=75°．
∵∠BOD=∠COA，
∴△BOD∽△COA，
∴．
又∵AO=3，
∴OD=AO=，
∴AD=AO+OD=4．
∵∠BAD=30°，∠ADB=75°，
∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=75°=∠ADB，
∴AB=AD=4．
（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示．
∵AC⊥AD，BE∥AD，
∴∠DAC=∠BEA=90°．
∵∠AOD=∠EOB，
∴△AOD∽△EOB，
∴．
∵BO：OD=1：3，
∴．
∵AO=3，
∴EO=，
∴AE=4．
∵∠ABC=∠ACB=75°，
∴∠BAC=30°，AB=AC，
∴AB=2BE．
在Rt△AEB中，BE2+AE2=AB2，即（4）2+BE2=（2BE）2，
解得：BE=4，
∴AB=AC=8，AD=1．
在Rt△CAD中，AC2+AD2=CD2，即82+12=CD2，
解得：CD=4．
本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的性质求出OD的值；（2）利用勾股定理求出BE、CD的长度．
24、（1）①OA⊥EF；②∠FAC=∠B；（2）见解析；（3）见解析．
【分析】(1) 添加条件是:①OA⊥EF或∠FAC=∠B根据切线的判定和圆周角定理推出即可．
(2) 作直径AM,连接CM，推出∠M=∠B=∠EAC，求出∠FAC+∠CAM=90°，根据切线的判定推出即可．
(3)由同圆的半径相等得到OA=OB，所以点O在AB的垂直平分线上，根据∠FAC=∠B，∠
BAC=∠FAC，等量代换得到∠BAC=∠B，所以点C在AB的垂直平分线上，得到OC垂直平分AB．
【详解】（1）①OA⊥EF②∠FAC=∠B，
理由是：①∵OA⊥EF，OA是半径，
∴EF是⊙O切线，
②∵AB是⊙0直径，
∴∠C=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∵∠FAC=∠B，
∴∠BAC+∠FAC=90°，
∴OA⊥EF，
∵OA是半径，
∴EF是⊙O切线，
故答案为：OA⊥EF或∠FAC=∠B，
（2）作直径AM，连接CM，
即∠B=∠M（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），
∵∠FAC=∠B，
∴∠FAC=∠M，
∵AM是⊙O的直径，
∴∠ACM=90°，
∴∠CAM+∠M=90°，
∴∠FAC+∠CAM=90°，
∴EF⊥AM，
∵OA是半径，
∴EF是⊙O的切线．
（3）∵OA=OB，
∴点O在AB的垂直平分线上，
∵∠FAC=∠B，∠BAC=∠FAC，
∴∠BAC=∠B，
∴点C在AB的垂直平分线上，
∴OC垂直平分AB，
∴OC⊥AB．
本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形的内角和定理等知识点，注意:经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，直径所对的圆周角是直角．
25、（1）树AB的高约为4m；（2）8m.
【解析】（1）AB=ACtan30°=12×=（米）．
答：树高约为米．
（2）如图（2），B1N=AN=AB1sin45°=×=（米）．
NC1=NB1tan60°=×=（米）．
AC1=AN+NC1=+．
当树与地面成60°角时影长最大AC2（或树与光线垂直时影长最大或光线与半径为AB的⊙A相切时影长最大）
AC2=2AB2=；
（1）在直角△ABC中，已知∠ACB=30°，AC=12米．利用三角函数即可求得AB的长；
（2）在△AB1C1中，已知AB1的长，即AB的长，∠B1AC1=45°，∠B1C1A=30°．过B1作AC1的垂线，在直角△AB1N中根据三角函数求得AN，BN；再在直角△B1NC1中，根据三角函数求得NC1的长，再根据当树与地面成60°角时影长最大，根据三角函数即可求解．
26、（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）根据平行四边形的定义可知四边形是平行四边形，然后根据角平分线的定义和平行线的性质可得，根据等角对等边即可证出，从而证出四边形是菱形；
（2）根据菱形的性质和同角的余角相等即可证出，利用锐角三角函数即可求出AH和AG，从而求出GH．
【详解】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：，
，
∵四边形是菱形
∴，
，
，
，
，
四边形是菱形，，
，
，
．
此题考查的是菱形的判定及性质、平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质和解直角三角形，掌握菱形的定义及性质、平行线、角平行线和等腰三角形的关系和用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键．
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