资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的过程中，配方正确的是（ ）
A．（x+2）2＝1 B．（x﹣2）2＝1 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣2）2＝9
2．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．明天太阳从西边出来 B．打开电视，正在播放《新闻联播》
C．兰州是甘肃的省会 D．小明跑完所用的时间为分钟
3．如图，A、B、C是⊙O上互不重合的三点,若∠CAO＝∠CBO＝20°，则∠AOB的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
4．如图，为的直径，弦于点，，，则的半径为（ ）
A．5 B．8 C．3 D．10
5．在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，⊙O的直径BA的延长线与弦DC的延长线交于点E，且CE＝OB，已知∠DOB＝72°，则∠E等于（ ）
A．18° B．24° C．30° D．26°
7．用配方法解一元二次方程x2﹣4x+2＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x+2）2＝2 B．（x﹣2）2＝﹣2 C．（x﹣2）2＝2 D．（x﹣2）2＝6
8．如图，一个直角梯形的堤坝坡长AB为6米，斜坡AB的坡角为60°，为了改善堤坝的稳固性，准备将其坡角改为45°，则调整后的斜坡AE的长度为（ ）
A．3米 B．3米 C．（3﹣2）米 D．（3﹣3）米
9．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，若∠BAD=48°，则∠DCA的大小为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，四边形内接于, 为延长线上一点,若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，轴右侧一组平行于轴的直线···，两条相邻平行线之间的距离均为，以点为圆心，分别以···为半径画弧，分别交轴， ···于点···则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
12．关于的一元二次方程有一个根是﹣1，若二次函数的图象的顶点在第一象限，设，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BQ，连接AQ．若PA=4，PB=5，PC=3，则四边形APBQ的面积为_______．
14．计算：的结果为____________．
15．如图，在正方形和正方形中，点和点的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是___________.
16．飞机着陆后滑行的距离y(m)关于滑行时间t(s)的函数关系式是y＝60t－t2，在飞机着陆滑行中,最后2s滑行的距离是______m
17．若两个相似三角形的面积之比为1:4，则它们对应角的角平分线之比为___．
18．如图，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A＝120°，将菱形ABCD折叠，使点A恰好落在菱形对角线的交点O处，折痕为EF，则EF＝_____cm，
三、解答题（共78分）
19．（8分）（1016内蒙古包头市）一幅长10cm、宽11cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：1．设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm1．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（1）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度．
20．（8分）如图，中，，，，解这个直角三角形.
21．（8分）如图，抛物线的表达式为y=ax2+4ax+4a-1（a≠0），它的图像的顶点为A，与x轴负半轴相交于点B、点C（点B在点C左侧），与y轴交于点D，连接AO交抛物线于点E，且S△AEC:S△CEO=1:3.
（1）求点A的坐标和抛物线表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△BDP的内心也在对称轴上，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接BD，点Q是y轴左侧抛物线上的一点，若以Q为圆心，为半径的圆与直线BD相切，求点Q的坐标.
22．（10分）已知反比例函数的图像经过点（2，-3）．
（1）求这个函数的表达式．
（2）点（-1，6），（3，2）是否在这个函数的图像上？
（3）这个函数的图像位于哪些象限？函数值y随自变量的增大如何变化？
23．（10分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，C为⊙O上一点，∠P=66°，求∠C．
24．（10分）西安市某中学数学兴趣小组在开展“保护环境，爱护树木”的活动中，利用课外时间测量一棵古树的高，由于树的周围有水池，同学们在低于树基3.3米的一平坝内(如图)．测得树顶A的仰角∠ACB=60°，沿直线BC后退6米到点D，又测得树顶A的仰角∠ADB=45°．若测角仪DE高1.3米，求这棵树的高AM．(结果保留两位小数，≈1.732)
25．（12分）在中，，，以点为圆心、为半径作圆，设点为⊙上一点，线段绕着点顺时针旋转，得到线段，连接、．
（1）在图中，补全图形，并证明 .
（2）连接，若与⊙相切，则的度数为 .
（3）连接，则的最小值为 ；的最大值为 .
26．小明按照列表、描点、连线的过程画二次函数的图象，下表与下图是他所完成的部分表格与图象，求该二次函数的解析式，并补全表格与图象．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】先移项，再在方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可得出答案．
【详解】解：移项得：x2﹣4x＝5，
配方得：，
（x﹣2）2＝9，
故选：D．
本题考查的知识点是用配方法解一元二次方程，掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解此题的关键．
2、C
【分析】由题意根据必然事件就是一定发生的事件，依据定义依次判断即可．
【详解】解：A. 明天太阳从西边出来，为不可能事件，此选项排除；
B. 打开电视，正在播放《新闻联播》，为不一定事件，此选项排除；
C. 兰州是甘肃的省会，为必然事件，此选项当选；
D. 小明跑完所用的时间为分钟，为不一定事件，此选项排除.
故选：C.
本题考查必然事件的概念．解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3、D
【分析】连接CO并延长交⊙O于点D，根据等腰三角形的性质，得∠CAO=∠ACO，∠CBO=∠BCO，结合三角形外角的性质，即可求解．
【详解】连接CO并延长交⊙O于点D，
∵∠CAO=∠ACO，∠CBO=∠BCO，
∴∠CAO=∠ACO=∠CBO=∠BCO＝20°，
∴∠AOD=∠CAO+∠ACO=40°，∠BOD=∠CBO+∠BCO=40°，
∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=80°．
故选D．
本题主要考查圆的基本性质，三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质，添加和数的辅助线，是解题的关键．
4、A
【分析】作辅助线，连接OA，根据垂径定理得出AE=BE=4，设圆的半径为r，再利用勾股定理求解即可.
【详解】解：如图，连接OA，
设圆的半径为r，则OE=r-2，
∵弦,
∴AE=BE=4，
由勾股定理得出：，
解得：r=5，
故答案为：A.
本题考查的知识点主要是垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用勾股定理等几何知识点来分析、判断或解答.
5、A
【分析】延长AB至D，使AD=4个小正方形的边长，连接CD，先证出△ADC是直角三角形和CD的长，即可求出的值．
【详解】解：延长AB至D，使AD=4个小正方形的边长，连接CD，如下图所示，
由图可知：△ADC是直角三角形，CD=3个小正方形的边长
根据勾股定理可得：AC=个小正方形的边长
∴
故选A．
此题考查的是求一个角的正弦值，掌握构造直角三角形的方法是解决此题的关键．
6、B
【分析】根据圆的半径相等可得等腰三角形，根据三角形的外角的性质和等腰三角形等边对等角可得关于∠E的方程，解方程即可求得答案．
【详解】解：如图，连接CO,
∵CE＝OB＝CO=OD，
∴∠E＝∠1，∠2＝∠D
∴∠D=∠2＝∠E+∠1＝2∠E．
∴∠3＝∠E+∠D＝∠E+2∠E＝3∠E．
由∠3＝72°，得3∠E＝72°．
解得∠E＝24°．
故选：B．
本题考查了圆的认识，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质.能利用圆的半径相等得出等腰三角形是解题关键．
7、C
【分析】按照配方法的步骤：移项，配方（方程两边都加上4），即可得出选项．
【详解】解：x2﹣4x+2＝0，
x2﹣4x＝﹣2，
x2﹣4x+4＝﹣2+4，
（x﹣2）2＝2，
故选：C．
本题主要考查配方法，掌握完全平方公式是解题的关键．
8、A
【分析】如图（见解析），作于H，在中，由可以求出AH的长，再在中，由即可求出AE的长.
【详解】如图，作于H
在中，
则
在中，
则
故选：A.
本题考查了锐角三角函数，熟记常见角度的三角函数值是解题关键.
9、B
【详解】解：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°−∠BAD=42°，
∴∠DCA=∠ABD=42°
故选B
10、D
【分析】根据圆内接四边形的对角互补，先求出∠ADC的度数，再求∠ADE的度数即可.
【详解】解：四边形内接于
-,
．
故选: ．
本题考查的是内接四边形的对角互补，也就是内接四边形的外角等于和它不相邻的内对角.
11、C
【分析】根据题意，利用勾股定理求出，，，，的纵坐标，得到各点坐标，找到规律即可解答．
【详解】如图，连接、、，
点的纵坐标为，点的坐标为 ，
点的纵坐标为，点的坐标为 ，
点的纵坐标为，点的坐标为 ，
点的纵坐标为，
点的坐标为 ，
∴点的坐标为 ，
故选：C
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练运用勾股定理是解题的关键．
12、D
【分析】二次函数的图象过点，则，而，则，，二次函数的图象的顶点在第一象限，则，，即可求解．
【详解】∵关于的一元二次方程有一个根是﹣1，
∴二次函数的图象过点，
∴，
∴，，
则，，
∵二次函数的图象的顶点在第一象限，
∴，，
将，代入上式得：
，解得：，
，解得：或，
故：，
故选D．
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】由旋转的性质可得△BPQ是等边三角形，由全等三角形的判定可得△ABQ≌△CBP(SAS)，由勾股定理的逆定理可得△APQ是直角三角形，求四边形的面积转化为求两个特殊三角形的面积即可．
【详解】解：连接PQ，
由旋转的性质可得，BP=BQ，
又∵∠PBQ=60°，
∴△BPQ是等边三角形，
∴PQ=BP，
在等边三角形ABC中，∠CBA=60°，AB=BC，
∴∠ABQ=60°-∠ABP
∠CBP=60°-∠ABP
∴∠ABQ=∠CBP
在△ABQ与△CBP中
，
∴△ABQ≌△CBP(SAS)，
∴AQ=PC，
又∵PA=4，PB=5，PC=3，
∴PQ=BP=5，PC=AQ=3，
在△APQ中，因为，25=16+9，
∴由勾股定理的逆定理可知△APQ是直角三角形，
∴，
故答案为：
本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定、勾股定理的逆定理及特殊三角形的面积，解题的关键是作出辅助线，转化为特殊三角形进行求解．
14、
【分析】根据二次根式的乘法法则得出．
【详解】．
故答案为：．
本题主要考查了二次根式的乘法运算．二次根式的乘法法则：．
15、或
【分析】根据位似变换中对应点的坐标的变化规律，分两种情况：一种是当点E和C是对应顶点，G和A是对应顶点；另一种是A和E是对应顶点，C和G是对应顶点.
【详解】∵正方形和正方形中，点和点的坐标分别为，
∴
（1）当点E和C是对应顶点，G和A是对应顶点，位似中心就是EC与AG的交点.
设AG所在的直线的解析式为
解得
∴AG所在的直线的解析式为
当时，，所以EC与AG的交点为
（2）A和E是对应顶点，C和G是对应顶点.，则位似中心就是AE与CG的交点
设AE所在的直线的解析式为
解得
∴AE所在的直线的解析式为
设CG所在的直线的解析式为
解得
∴AG所在的直线的解析式为
联立解得
∴AE与CG的交点为
综上所述，两个正方形的位似中心的坐标是或
故答案为或
本题主要考查位似图形，涉及了待定系数法求函数解析，求位似中心，正确分情况讨论是解题的关键.
16、6
【分析】先求出飞机停下时，也就是滑行距离最远时，s最大时对应的t值，再求出最后2s滑行的距离.
【详解】由题意，
y＝60t－t2，
＝−（t−20）2＋600，
即当t＝20秒时，飞机才停下来．
∴当t=18秒时，y=−（18−20）2＋600=594m，
故最后2s滑行的距离是600-594=6m
故填：6.
本题考查了二次函数的应用．解题时，利用配方法求得t＝20时，s取最大值,再根据题意进行求解．
17、1：1
【分析】根据相似三角形的性质进行分析即可得到答案．
【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为1：4，
∴它们对应角的角平分线之比为1：=1：1，
故答案为：1：1．
本题考查对相似三角形性质的理解．
（1）相似三角形周长的比等于相似比．
（1）相似三角形面积的比等于相似比的平方．
（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
18、
【分析】连接AC、BD，根据题意得出E、F分别为AB、AD的中点，EF是△ABD的中位线，得出EF＝BD，再由已知条件根据三角函数求出OB，即可求出EF.
【详解】解：连接AC、BD，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵将菱形ABCD折叠，使点A恰好落在菱形对角线的交点O处，折痕为EF，
∴AE＝EO，AF＝OF，
∴E、F分别为AB、AD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF＝BD，
∵菱形ABCD的边长为2cm，∠A＝120°，
∴AB＝2cm，∠ABC＝60°，
∴OB＝BD，∠ABO＝30°，
∴OB＝AB•cos30°＝2×＝，
∴EF＝BD＝OB＝；
故答案为：.
此题考查菱形的性质，折叠的性质，锐角三角函数，三角形中位线的判定及性质，由折叠得到EF是△ABD的中位线，由此利用锐角三角函数求出OB的长度达到解决问题的目的.
三、解答题（共78分）
19、（1）；（1）横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为1cm．
【分析】（1）由横、竖彩条的宽度比为3：1知横彩条的宽度为xcm，根据“三条彩条面积=横彩条面积+1条竖彩条面积﹣横竖彩条重叠矩形的面积”，列出函数关系式化简即可；（1）根据“三条彩条所占面积是图案面积的”，可列出关于x的一元二次方程，整理后求解即可．
【详解】（1）根据题意可知，横彩条的宽度为xcm，
∴y=10×x+1×11•x﹣1×x•x=﹣3x1+54x，
即y与x之间的函数关系式为y=﹣3x1+54x；
（1）根据题意，得：﹣3x1+54x=×10×11，
整理，得：x1﹣18x+31=0，
解得：x1=1，x1=16（舍），
∴x=3，
答：横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为1cm．
考点：根据实际问题列二次函数关系式；一元二次方程的应用．
20、.
【分析】根据勾股定理求出AB，根据解直角三角形求出∠B，由余角的性质求出∠A，即可得到答案.
【详解】解：如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
本题考查了解直角三角形，以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握解直角三角形.
21、（1）抛物线表达式为y=x2+4x+3 ；（2）P（-2，-3）；（3）Q（-4，3）.
【分析】（1）根据抛物线的对称轴易求得顶点坐标，再根据S△AEC:S△CEO=1:3，求得OE：OA=3:4，再证得△OFE∽△OMA，求得点E的坐标，从而求得答案；
（2）根据内心的定义知∠BPM=∠DPM，设点P（-2，b），根据三角函数的定义求得，继而求得的值，从而求得答案；
（3）设Q（m，m2+4m+3），分类讨论，①点Q在BD左上方抛物线上，②点Q在BD下方抛物线上，利用的不同计算方法求得的值，从而求得答案.
【详解】（1）由抛物线y=ax2+4ax+4a-1得对称轴为直线，当时，，
∴ ，
∵S△AEC:S△CEO=1:3 ，
∴AE：OE=1:3 ，
∴OE：OA=3:4，
过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，设对称轴与x轴交点为M，如图，
∵EF//AM ，
∴△OFE∽△OMA ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
把点代入抛物线表达式y=ax2+4ax+4a-1得
，
解得：a=1，
∴抛物线表达式为：y=x2+4x+3 ；
（2）三角形的内心是三个角平分线的交点，
∴∠BPM=∠DPM，
过点D作DH⊥AM，垂足为点H，设点P（-2，b），
∵tan∠BPM=tan∠DPM ，
∴，
∴，
∴，
∴P（-2，-3），
（3）∵抛物线表达式为：y=x2+4x+3 ，
∴抛物线与轴和轴的交点坐标分别为：B(-3，0) ，C(-1，0) ，D(0，3) ，
∴，
∴
设Q（m，m2+4m+3），
①点Q在BD左上方抛物线上，如图：作BG⊥x轴交BD于G，QF⊥x轴交于F，作QE⊥BD于E，
设直线QD的解析式为：，
∵点Q的坐标为（m，m2+4m+3）代入得：，
∴直线QD的解析式为：，
当时，，
∴点G的坐标为； ，
∴
，
∵，
∴，
即：，
解得：或(不合题意，舍去) ，
∴点的坐标为：）；
②点Q在BD下方抛物线上，如图：QF⊥x轴交于F，交BD于G，作QE⊥BD于E，
设直线BD的解析式为：，
将点B(-3，0)代入得：，
∴直线BD的解析式为：，
当时，，
∴点G的坐标为； ，
∴
，
∵，
∴，
即：，
∵
∴方程无解，
综上：点的坐标为：）.
本题考查了运用待定系数法求直线及抛物线的解析式，三角函数的定义，勾股定理，三角形的面积，综合性比较强，学会分类讨论的思想思考问题，利用三角形面积的不同计算方法构建方程求值是解答本题的关键.
22、（1）y=-；（2）(-1，6)在函数图像上，(3，2)不在函数图像上；（3）二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
【分析】（1）根据待定系数法求得即可；
（2）根据图象上点的坐标特征，把点(﹣1，6)，(3，2)代入解析式即可判断；
（3）根据反比例函数的性质即可得到结论．
【详解】（1）设反比例函数的解析式为y(k≠0)．
∵反比例函数的图象经过点(2，﹣3)，
∴k=2×(﹣3)=﹣6，
∴反比例函数的表达式y；
（2）把x=﹣1代入y得：y=6，
把x=3代入y得：y=﹣2≠2，
∴点(﹣1，6)在函数图象上，点(3，2)不在函数图象上．
（3）∵k=﹣6＜0，
∴双曲线在二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法以及反比例函数的性质是解答本题的关键．
23、∠C=57°．
【分析】此题根据圆周角与圆心角的关系求解即可．
【详解】连接OA，OB，
∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，
∴∠OAP=90°，∠OBP=90°，
∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣66°=114°，
由圆周角定理得，∠C=∠AOB=57°．
此题考查同圆中圆周角与圆心角的关系和切线相关知识，难度一般．
24、12.20米
【分析】可在Rt△ABD和Rt△ABC中，利用已知角的三角函数，用AB表示出BD、BC，根据CD=BD﹣BC=6即可求出AB的长；已知HM、DE的长，易求得BM的值，由AM=AB﹣BM即可求出树的高度．
【详解】设AB=x米．
Rt△ABD中，∠ADB=45°，BD=AB=x米．
Rt△ACB中，∠ACB=60°，BC=AB÷tan60°x米．
CD=BD﹣BC=(1)x=6，
解得：x=9+3，
即AB=(9+3)米．
∵BM=HM﹣DE=3.3﹣1.3=2，
∴AM=AB﹣BM=7+312.20(米)．
答：这棵树高12.20米．
本题考查了解直角三角形的应用，首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题．
25、（1）证明见解析；（2）或 ；（3）
【分析】（1）根据题意，作出图像，然后利用SAS证明，即可得到结论；
（2）根据题意，由与⊙相切，得到∠BMN=90°，结合点M的位置，即可求出的度数；
（3）根据题意，当点N恰好落在线段AB上时，BN的值最小；当点N落在BA延长线上时，BN的值最大，分别求出BN的值，即可得到答案.
【详解】解：（1）如图，补全图形，
证明：
，
∵，
，
；
（2）根据题意，连接MN，
∵与⊙相切，
∴∠BMN=90°，
∵△MNC是等腰直角三角形，
∴∠CMN=45°，
如上图所示，∠BMC=；
如上图所示，∠BMC=；
综合上述，的度数为：或；
故答案为：或；
（3）根据题意，当点N恰好落在线段AB上时，BN的值最小；如图所示，
∵AN=BM=1，
∵，
∴；
当点N落在BA延长线上时，BN的值最大，如图所示，
由AN=BN=1，
∴BN=BA+AN=2+1=3；
∴的最小值为1；的最大值为3；
故答案为：1，3.
本题考查了圆的性质，全等三角形的旋转模型，等腰直角三角形的判定和性质，以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆的动点问题，注意利用数形结合和分类讨论的思想进行解题.
26、，（4，1），（1，0）
【详解】分析：利用待定系数法、描点法即可解决问题；
本题解析：设二次函数的解析式y=ax²+bx+c．
把（-1，0）（0，1），（2，9）代得到
解得，
∴二次数解析式y=-x +4x+1．
当x=4时，y=1,
当y=0时，x=-1或1.
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