2024年湖南邵阳市区九上数学期末联考模拟试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＜3 B．m＞3 C．m≤3 D．m≥3
2．某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．用配方法解方程x2+2x﹣1＝0时，配方结果正确的是（　　）
A．（x+2）2＝2 B．（x+1）2＝2 C．（x+2）2＝3 D．（x+1）2＝3
4．在一个不透明的口袋中装有个完全相同的小球，把它们分别标号为，从中随机摸出一个小球，其标号小于的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．关于抛物线的说法中，正确的是（ ）
A．开口向下 B．与轴的交点在轴的下方
C．与轴没有交点 D．随的增大而减小
6．若△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，则这两个三角形的面积比为（ ）
A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4
7．在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示的是太原市某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是双曲线的一部分，其中，矩形中有一个向上攀爬的梯子，米，入口，且米，出口点距水面的距离为米，则点之间的水平距离的长度为（ ）

A．米 B．米 C．米 D．米
9．下列方程中是关于x的一元二次方程的是(　　)
A．x2＋ ＝0 B．(x－1)2＝(x＋3)(x－2)＋1
C．x＝x2 D．ax2＋bx＋c＝0
10．若函数y＝（3﹣m）﹣x+1是二次函数，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．9
11．下面四个实验中，实验结果概率最小的是( )

A．如（1）图，在一次实验中，老师共做了400次掷图钉游戏，并记录了游戏的结果绘制了下面的折线统计图，估计出的钉尖朝上的概率
B．如（2）图，是一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域的概率
C．如（3）图，有一个小球在的地板上自由滚动，地板上的每个格都是边长为1的正方形，则小球在地板上最终停留在黑色区域的概率
D．有7张卡片，分别标有数字1，2，3，4，6，8，9，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽出一张，抽出标有数字“大于6”的卡片的概率
12．一次抽奖活动特等奖的中奖率为,把用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．在本赛季比赛中，某运动员最后六场的得分情况如下：则这组数据的极差为_______．
14．已知：如图，在平行四边形中，对角线、相较于点，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件________________（只添加一个即可），使平行四边形成为矩形．

15．若是关于的一元二次方程，则__________．
16．在一个不透明的盒子里有2个红球和个白球，这些求除颜色外其余完全相同，摇匀后 随机摸出一个，摸出红球的概率是，则的值为__________．
17．反比例函数的图象在第____________象限.
18．若（m+1）xm（m+2﹣1）+2mx﹣1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）
（2）
20．（8分）（1）如图1，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，∠CAE=45°，求AD的长．
（2）如图2，已知∠ACB=∠DCE=90°，∠ABC=∠CED=∠CAE=30°，AC=3，AE=8，求AD的长．

21．（8分）如图1，在平面直角坐标系中，已知的半径为5，圆心的坐标为，交轴于点，交轴于，两点，点是上的一点（不与点、、重合），连结并延长，连结，，.
（1）求点的坐标；
（2）当点在上时.
①求证：；
②如图2，在上取一点，使，连结.求证：；
（3）如图3，当点在上运动的过程中，试探究的值是否发生变化？若不变，请直接写出该定值；若变化，请说明理由.

22．（10分）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果．经市场调研发现：若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱；价格每提高1元，则平均每天少销售3箱．设每箱的销售价为x元（x＞50），平均每天的销售量为y箱，该批发商平均每天的销售利润w元．
（1）y与x之间的函数解析式为__________；
（2）求w与x之间的函数解析式；
（3）当x为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
23．（10分）已知四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，对角线AC和BD交于点E．

（1）若∠BAD和∠BCD的度数之比为1：2，求∠BCD的度数；
（2）若AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点C为劣弧BD的中点，求弦AC的长；
（3）若⊙O的半径为1，AC+BD＝3，且AC⊥BD．求线段OE的取值范围．
24．（10分）如图，抛物线y=ax2+bx﹣经过点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交于点C．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的⊙A，求⊙A的半径；
（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB，PC，请问：△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值的此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12分）某报社为了解市民对“社会主义核心价值观”的知晓程度，采取随机抽样的方式进行问卷调查，调查结果分为“A.非常了解”、“B.了解”、“C.基本了解”三个等级，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
(1)这次调查的市民人数为________人，m＝________，n＝________；
(2)补全条形统计图；
(3)若该市约有市民100000人，请你根据抽样调查的结果，估计该市大约有多少人对“社会主义核心价值观”达到“A.非常了解”的程度．

26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，DE交AC于点E，且∠A＝∠ADE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AD＝16，DE＝10，求BC的长．

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【解析】分析：根据关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根可得△=（-2）2-4m＞0，求出m的取值范围即可．
详解：∵关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，
∴△=（-2）2-4m＞0，
∴m＜3，
故选A．
点睛：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．
2、D
【分析】分别表示出5月，6月的营业额进而得出等式即可．
【详解】解：设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程得：
．
故选D．
考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题关键．
3、B
【分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边加上1，然后把方程作边写成完全平方形式即可．
【详解】解：∵x1+1x﹣1＝0，
∴x1+1x+1＝1，
∴（x+1）1＝1．
故选B．
本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）1=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
4、C
【分析】直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：∵在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，
其中小于的3个，
∴从中随机摸出一个小球，其标号小于4的概率为：
故选：C．
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5、C
【分析】根据题意利用二次函数的性质，对选项逐一判断后即可得到答案．
【详解】解：A. ，开口向上，此选项错误；
B. 与轴的交点为（0，21），在轴的上方，此选项错误；
C. 与轴没有交点，此选项正确；
D. 开口向上，对称轴为x=6，时随的增大而减小，此选项错误.
故选：C.
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，熟练掌握并利用二次函数的性质解答．
6、C
【分析】由△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，根据相似三角形的性质，即可求得答案．
【详解】∵△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，
∴这两个三角形的面积比为4：1．
故选C．
此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的面积比等于相似比的平方．
7、A
【分析】直接利用概率公式计算可得．
【详解】解：从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为，
故选A．
本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
8、D
【分析】根据题意B、C所在的双曲线为反比例函数，B点的坐标已知为B（2,5），代入即可求出反比例函数的解析式：y= ，C（x，1）代入y=中，求出C点横坐标为10，可以得出DE=OD-OE即可求出答案.
【详解】解：设B、C所在的反比例函数为y= B（xB,yB）
∴ xB=OE=AB=2 yB=EB=OA=5 代入反比例函数式中
5= 得到 k=10
∴y=
∵ C(xC, yC) yC=CD=1 代入y=中
∴ 1= xC=10
∴ DE=OD-OE= xC- xB=10-2=8
故选D
此题主要考查了反比例函数的定义，根据已知参数求出反比例函数解析式是解题的关键.
9、C
【详解】A. x2＋ ＝0，是分式方程，故错误；
B. (x－1)2＝(x＋3)(x－2)＋1经过整理后为：3x-6=0，是一元一次方程，故错误；
C. x＝x2 ，是一元二次方程，故正确；
D. 当a=0时，ax2＋bx＋c＝0不是一元二次方程，故错误，
故选C.
10、B
【分析】根据二次函数的定义来求解，注意二次项的系数与次数.
【详解】根据二次函数的定义，可知 m2-7=2 ，且 3-m≠0 ，解得 m=-3 ，所以选择B.
故答案为B
本题考查了二次函数的定义，注意二次项的系数不能为0.
11、C
【分析】根据概率的求解方法分别求出各概率的大小，即可判断.
【详解】A. 如（1）图，在一次实验中，老师共做了400次掷图钉游戏，并记录了游戏的结果绘制了下面的折线统计图，估计出的钉尖朝上的概率大概为0.4；
B. 如（2）图，是一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域的概率为≈0.33；
C. 如（3）图，有一个小球在的地板上自由滚动，地板上的每个格都是边长为1的正方形，则小球在地板上最终停留在黑色区域的概率为
D. 有7张卡片，分别标有数字1，2，3，4，6，8，9，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽出一张，抽出标有数字“大于6”的卡片的概率≈0.29.
故选C
此题主要考查概率的求解，解题的关键是熟知概率的计算.
12、D
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】0.00002=2×10﹣1．
故选D．
本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【分析】极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．极差＝最大值−最小值，根据极差的定义即可解答．
【详解】解：由题意可知，极差为28−12＝1，
故答案为：1．
本题考查了极差的定义，解题时牢记定义是关键．
14、或（等，答案不唯一）
【分析】矩形是特殊的平行四边形，矩形有而平行四边形不具有的性质是：矩形的对角线相等，矩形的四个内角是直角；可针对这些特点来添加条件．
【详解】解：若使▱ABCD变为矩形，可添加的条件是：
AC＝BD；（对角线相等的平行四边形是矩形）
∠ABC＝90°等．（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
故答案为：AC＝BD或（∠ABC＝90°等）
此题主要考查的是矩形的判定方法，熟练掌握矩形和平行四边形的联系和区别是解答此题的关键．
15、1
【分析】根据一元二次方程的定义可知的次数为2，列出方程求解即可得出答案．
【详解】解：∵是关于的一元二次方程，
∴，
解得：m=1，
故答案为：1．
本题重点考查一元二次方程定义，理解一元二次方程的三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（1）是整式方程；其中理解特点（2）是解决这题的关键．
16、1
【分析】根据红球的概率结合概率公式列出关于n的方程，求出n的值即可
【详解】解：∵摸到红球的概率为
∴
解得n=1．
故答案为：1．
本题考查概率的求法与运用，根据概率公式求解即可：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率
17、二、四
【解析】根据反比例函数中k=-5得出此函数图象所在的象限即可．
【详解】∵反比例函数中，k=-5＜0，
∴此函数的图象在二、四象限，
故答案为：二、四.
本题考查的是反比例函数图象的性质，熟知反比例函数当k＜0时函数的图象在二、四象限是解答此题的关键．
18、﹣2或2
【解析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（2）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为2．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【详解】由题意得：
解得m＝−2或2．
故答案为：﹣2或2．
考查一元二次方程的定义的运用，一元二次方程注意应着重考虑未知数的最高次项的次数为2，系数不为2．

三、解答题（共78分）
19、（1）；（2）．
【分析】（1）根据因式分解法求解方程即可.
（2）根据公式，将系数代入即可.
【详解】（1）原方程变形 ，
即．
∴或．
∴．
（2）∵，
∴
∴
∴．
本题考查了一元二次方程的解法.
20、（1）AD=9；（2）AD=
【分析】（1）连接BE，证明△ACD≌△BCE，得到AD=BE，在Rt△BAE中，AB=6，AE=3，求出BE，得到答案；
（2）连接BE，证明△ACD∽△BCE，得到 ，求出BE的长，得到AD的长．
【详解】解：（1）如图1，连接BE，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，
又∵AC=BC，DC=EC，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，
∵AC=BC=6，
∴AB=6，
∵∠BAC=∠CAE=45°，
∴∠BAE=90°，
在Rt△BAE中，AB=6，AE=3，
∴BE=9，
∴AD=9；
（2）如图2，连接BE，
在Rt△ACB中，∠ABC=∠CED=30°，
tan30°=，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠BCE=∠ACD，
∴△ACD∽△BCE，
∴，
∵∠BAC=60°，∠CAE=30°，
∴∠BAE=90°，又AB=6，AE=8，
∴BE=10，
∴AD=．

考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
21、（1）（0，4）；（2）①详见解析；②详见解析；（3）不变，为.
【分析】（1）连结，在中，为圆的半径5，，由勾股定理得
（2）①根据圆的基本性质及圆周角定理即可证明；
②根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角定理得到，由①证明得到，即可根据相似三角形的判定进行求解；
（3）分别求出点C在B点时和点C为直径AC时，的值，即可比较求解.
【详解】（1）连结，在中，=5，，
∴
∴A（0,4）.

（2）连结，

故，则
∵∠ABD+∠ACD=180°，∠HCD+∠ACD=180°，
∴
∵与是弧所对的圆周角
∴=
又
∴
即
②∵
∴
∵，且由（2）得
∴
∴
在与中

∴
（3）①点C在B点时，如图，

AC=2AO=8,BC=0,
CD=BD=
∴==；
当点C为直径AC与圆的交点时，如图

∴AC=2r=10
∵O,M分别是AB、AC中点，
∴BC=2OM=6，
∴C（6，-4）∵D（8,0）
∴CD=
∴==
故的值不变，为.
此题主要考查圆的综合题，解题的关键是熟知圆周角定理、勾股定理及相似三角形的判定.
22、（1）;（2）w=；（3）当x为60元时，可以获得最大利润，最大利润是1元
【分析】（1）设每箱的销售价为x元（x＞50），则价格提高了元，平均每天少销售箱，所以平均每天的销售量为，化简即可；
（2）平均每天的销售利润每箱的销售利润平均每天的销售量，由此可得关系式；
（3）当时（2）中的关于二次函数有最大值，将x的值代入解析式求出最大值即可.
【详解】（1）．
（2）
=．
w=

∴当时，w最大值=1．
∴当x为60元时，可以获得最大利润，最大利润是1元．
本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意，根据题中等量关系列出函数关系式是解题的关键.
23、（1）120°；（2）；（3）≤OE≤
【分析】(1)利用圆内接四边形对角互补构建方程解决问题即可．
(2)将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△CBE，根据旋转的性质得出∠E＝∠CAD＝30°，BE＝AD＝5，AC＝CE，求出A、B、E三点共线，解直角三角形求出即可；
(3)由题知 AC⊥BD，过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA，OD，判断出四边形OMEN是矩形，进而得出OE2＝2﹣（AC2+BD2），设AC＝m，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．
【详解】解：(1)如图1中，

∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A：∠C＝1：2，
∴设∠A＝x，∠C＝2x，则x+2x＝180°，
解得，x＝60°，
∴∠C＝2x＝120°．
(2)如图2中，

∵A、B、C、D四点共圆，∠BAD＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣60°＝120°，
∵点C为弧BD的中点，
∴BC＝CD，∠CAD＝∠CAB＝∠BAD＝30°，
将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△CBE，如图2所示：
则∠E＝∠CAD＝∠CAB＝30°，BE＝AD＝5，AC＝CE，
∴∠ABC+∠EBC＝（180°﹣∠CAB﹣∠ACB）+（180°﹣∠E﹣∠BCE）＝360°﹣（∠CAB+∠ACB+∠ABC）＝360°﹣180°＝180°，
∴A、B、E三点共线，
过C作CM⊥AE于M，
∵AC＝CE，
∴AM＝EM＝AE＝（AB+AD）＝×（3+5）＝4，
在Rt△AMC中，AC＝．
(3) 过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA，OD，
∵OA＝OD＝1，OM2＝OA2﹣AM2，ON2＝OD2﹣DN2，AM＝AC，DN＝BD，AC⊥BD，
∴四边形OMEN是矩形，
∴ON＝ME，OE2＝OM2+ME2，
∴OE2＝OM2+ON2＝2﹣（AC2+BD2）
设AC＝m，则BD＝3﹣m，
∵⊙O的半径为1，AC+BD＝3，
∴1≤m≤2，
OE2＝2﹣ [（AC+BD）2﹣2AC×BD]＝﹣m2+m﹣＝﹣（m﹣）2+，
∴≤OE2≤，
∴≤OE≤．

本题主要考查的是圆和四边形的综合应用，掌握圆和四边形的基本性质结合题目条件分析题目隐藏条件是解题的关键.
24、（1）y=﹣+2x﹣；（2）；（3）存在最大值，此时P点坐标（，）．
【分析】（1）将A、B两点坐标分别代入抛物线解析式，可求得待定系数a和b，即可确定抛物线解析式；（2）因为圆的切线垂直于过切点的半径，所以过A作AD⊥BC于点D，则AD为⊙A的半径，由条件可证明△ABD∽△CBO，根据抛物线解析式求出C点坐标，根据勾股定理求出BC的长，再求出AB的长，利用相似三角形的性质即两个三角形相似，对应线段成比例，可求得AD的长，即为⊙A的半径；（3）先由B,C点坐标求出直线BC解析式，然后过P作PQ∥y轴，交直线BC于点Q，交x轴于点E，因为P在抛物线上，P,Q点横坐标相同，所以可设出P、Q点的坐标，并把PQ的长度表示出来，进而表示出△PQC和△PQB的面积，两者相加就是△PBC的面积，再利用二次函数的性质讨论其最大值，容易求得P点坐标．
【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣经过点A（1，0）和点B（5，0），
∴把A、B两点坐标代入可得：，
解得：，
∴抛物线解析式为y=﹣+2x﹣；
（2）过A作AD⊥BC于点D，
如图1：因为圆的切线垂直于过切点的半径，所以AD为⊙A的半径，
由（1）可知C（0，﹣），且A（1，0），B（5，0），
∴OB=5，AB=OB﹣OA=4，OC=，
在Rt△OBC中，由勾股定理可得：BC===，∵∠ADB=∠BOC=90°，∠ABD=∠CBO，
∴△ABD∽△CBO，
∴，即，
解得AD=，
即⊙A的半径为；

（3）∵C（0，﹣），
∴设直线BC解析式为y=kx﹣，
把B点坐标（5,0）代入可求得k=，
∴直线BC的解析式为y=x﹣，
过P作PQ∥y轴，交直线BC于点Q，交x轴于点E，
如图2，因为P在抛物线上，Q在直线BC上，P,Q两点横坐标相同，
所以设P（x，﹣+2x﹣），
则Q（x，x﹣），
∴PQ=（﹣+2x﹣）﹣（x﹣）=﹣+x=﹣+，∴S△PBC=S△PCQ+S△PBQ
=PQ•OE+PQ•BE=PQ（OE+BE）
=PQ•OB=PQ
=×[﹣+]
=，
∵<0，∴当x=时，S△PBC有最大值，
把x=代入﹣+2x﹣，
求出P点纵坐标为，
∴△PBC的面积存在最大值，此时P点坐标（，）．

本题考查1．二次函数的综合应用；2．切线的性质；3．相似三角形的判定和性质；4．用待定系数法确定解析式，综合性较强，利用数形结合思想解题是关键．
25、 (1)500，12，32；(2)补图见解析；(3)该市大约有32000人对“社会主义核心价值观”达到“A.非常了解”的程度．
【解析】（1）根据项目B的人数以及百分比，即可得到这次调查的市民人数，据此可得项目A，C的百分比；（2）根据对“社会主义核心价值观”达到“A．非常了解”的人数为：32%×500=160，补全条形统计图；（3）根据全市总人数乘以A项目所占百分比，即可得到该市对“社会主义核心价值观”达到“A非常了解”的程度的人数．
【详解】试题分析：
试题解析：（1）280÷56%=500人，60÷500=12%，1﹣56%﹣12%=32%，
（2）对“社会主义核心价值观”达到“A．非常了解”的人数为：32%×500=160，
补全条形统计图如下：

（3）100000×32%=32000（人），
答：该市大约有32000人对“社会主义核心价值观”达到“A．非常了解”的程度．
26、（1）证明见解析；（2）15.
【解析】（1）先连接OD，根据圆周角定理求出∠ADB=90°，根据直角三角形斜边上中线性质求出DE=BE，推出∠EDB=∠EBD，∠ODB=∠OBD，即可求出∠ODE=90°，根据切线的判定推出即可．
（2）首先证明AC=2DE=20，在Rt△ADC中，DC=12，设BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+122，在Rt△ABC中，BC2=（x+16）2-202，可得x2+122=（x+16）2-202，解方程即可解决问题．
【详解】（1）证明：连结OD，∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
又∵OD=OB，
∴∠B=∠BDO，
∵∠ADE=∠A，
∴∠ADE+∠BDO=90°，
∴∠ODE=90°．
∴DE是⊙O的切线；
（2）连结CD，∵∠ADE=∠A，

∴AE=DE．
∵BC是⊙O的直径，∠ACB=90°．
∴EC是⊙O的切线．
∴DE=EC．
∴AE=EC，
又∵DE=10，
∴AC=2DE=20，
在Rt△ADC中，DC=
设BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+122，
在Rt△ABC中，BC2=（x+16）2﹣202，
∴x2+122=（x+16）2﹣202，解得x=9，
∴BC=.
考查切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活综合运用所学知识解决问题.