资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，过反比例函数y=(x＞0)的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，则S△AOB=( )
A．1 B．2 C．4 D．8
2．若不等式组无解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．二次函数的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．方程的解是（ ）
A． B．， C．， D．
5．已知关于的一元二次方程有一个根为,则另一个根为（ ）
A． B． C． D．
6．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深2寸（ED＝2寸），锯道长8寸”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径AC是（ ）
A．5寸 B．8寸 C．10寸 D．12寸
7．四边形为平行四边形，点在的延长线上，连接交于点，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．一元二次方程x2﹣16=0的根是（ ）
A．x=2 B．x=4 C．x1=2，x2=﹣2 D．x1=4，x2=﹣4
9．已知点A（﹣3，a），B（﹣2，b），C（1，c）均在抛物线y＝3（x+2）2+k上，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
10．已知二次函数的图像与x轴没有交点，则( )
A． B． C． D．
11．如图，已知∠BAC=∠ADE=90°，AD⊥BC，AC=DC．关于优弧CAD，下列结论正确的是（ ）
A．经过点B和点E B．经过点B，不一定经过点E
C．经过点E，不一定经过点B D．不一定经过点B和点E
12．如图所示的是太原市某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是双曲线的一部分，其中，矩形中有一个向上攀爬的梯子，米，入口，且米，出口点距水面的距离为米，则点之间的水平距离的长度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
二、填空题（每题4分，共24分）
13．某校有一块长方形的空地，其中长米，宽米，准备在这块空地上修3条小路，路宽都一样为米，并且有一条路与平行，2条小路与平行，其余地方植上草坪，所种植的草坪面积为110米．根据题意可列方程_________．
14．方程（x﹣1）2=4的解为_____．
15．用正五边形钢板制作一个边框总长为40cm的五角星（如图），则正五边形的边长为cm（保留根号）__________．
16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝9，cosA＝，那么AB＝________.
17．一只小狗自由自在地在如图所示的某个正方形场地跑动，然后随意停在图中阴影部分的概率是__．
18．已知关于x的方程有两个实数根，则实数k的取值范围为____________.
三、解答题（共78分）
19．（8分）数学活动课上老师带领全班学生测量旗杆高度.如图垂直于地面的旗杆顶端A垂下一根绳子.小明同学将绳子拉直钉在地上，绳子末端恰好在点C处且测得旗杆顶端A的仰角为75°；小亮同学接着拿起绳子末端向前至D处，拉直绳子，此时测得绳子末端E距离地面1.5 m且与旗杆顶端A的仰角为60°根据两位同学的测量数据，求旗杆AB的高度.（参考数据:sin75°≈0.97，cos75°≈0.26,sin60°≈0.87,结果精确到1米）
20．（8分）一次函数y＝x+2与y＝2x﹣m相交于点M（3，n），解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
21．（8分）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3cm，过点A作∠EAF＝60°，分别交DC，BC的延长线于点E，F，连接EF．
（1）如图1，当CE＝CF时，判断△AEF的形状，并说明理由；
（2）若△AEF是直角三角形，求CE，CF的长度；
（3）当CE，CF的长度发生变化时，△CEF的面积是否会发生变化，请说明理由．
22．（10分）现有四张正面分别印有和四种图案，并且其余完全相同的卡片，现将印有图案的一面朝下，并打乱摆放顺序，请用列表或画树状图的方法解决下列问题：
（1）现从中随机抽取一张，记下图案后放回，再从中随机抽取一张卡片，求两次摸到的卡片上印有图案都是轴对称图形的概率；
（2）现从中随机抽取-张，记下图案后不放回，再从中随机抽取一张卡片，求两次摸到的卡片上印有图案都是中心对称图形的概率．
23．（10分）某班“数学兴趣小组”对函数的图像和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：
其中，________________．
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图像的一部分，请画出该图像的另一部分；
（3）观察函数图像，写出两条函数的性质；
（4）进一步探究函数图像发现：
①方程有______个实数根；
②函数图像与直线有_______个交点，所以对应方程有_____个实数根；
③关于的方程有个实数根，的取值范围是___________．
24．（10分）已知关于的方程
（1）无论取任何实数，方程总有实数根吗？试做出判断并证明你的结论.
（2）抛物线的图象与轴两个交点的横坐标均为整数，且也为正整数.若，是此抛物线上的两点，且，请结合函数图象确定实数的取值范围.
25．（12分）某电商在购物平台上销售一款小电器，其进价为元件，每销售一件需缴纳平台推广费元，该款小电器每天的销售量（件）与每件的销售价格（元）满足函数关系：．为保证市场稳定，供货商规定销售价格不得低于元件且不得高于元件．
（1）写出每天的销售利润（元）与销售价格（元）的函数关系式；
（2）每件小电器的销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润最大，最大是多少元？
26．附加题,已知：矩形，，动点从点开始向点运动，动点速度为每秒1个单位，以为对称轴，把折叠，所得与矩形重叠部分面积为，运动时间为秒.
（1）当运动到第几秒时点恰好落在上；
（2）求关于的关系式，以及的取值范围；
（3）在第几秒时重叠部分面积是矩形面积的；
（4）连接，以为对称轴，将作轴对称变换，得到，当为何值时，点在同一直线上？
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】利用反比例函数k的几何意义判断即可．
【详解】解：根据题意得：S△AOB=×4=2，
故选：B．
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，关键是熟练掌握“在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|．”
2、A
【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了可得关于m的不等式，解之可得．
【详解】解不等式，得：x＞8，
∵不等式组无解，
∴4m≤8，
解得m≤2，
故选A．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
3、B
【分析】根据抛物线的顶点式：，直接得到抛物线的顶点坐标．
【详解】解：由抛物线为：，
抛物线的顶点为：
故选B．
本题考查的是抛物线的顶点坐标，掌握抛物线的顶点式是解题的关键．
4、B
【分析】用因式分解法求解即可得到结论．
【详解】∵x2﹣3x=0，
∴x(x﹣3)=0，
则x=0或x﹣3=0，
解得：，．
故选：B．
本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解答本题的关键．
5、B
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，x ₁+x ₂=,把x₁=1代入即可求出.
【详解】解：方程有一个根是,另-一个根为，
由根与系数关系，即
即方程另一根是
故选:．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系的应用，还可根据一元二次方程根的定义先求出k的值，再解方程求另一根.
6、C
【分析】设⊙O的半径为r,在Rt△AEO中,AE=4,OE=r-2,OA=r,则有r2=42+（r-2）2,解方程即可．
【详解】设⊙O的半径为r,
在Rt△AEO中,AE＝4,OE＝r﹣2,OA＝r,
则有r2＝42+（r﹣2）2,
解得r＝5,
∴⊙O的直径为10寸,
故选C．
本题主要考查垂径定理、勾股定理等知识,解决本题的关键是学会利用利用勾股定理构造方程进行求解.
7、D
【分析】根据四边形为平行四边形证明，从而出，对各选项进行判断即可．
【详解】∵四边形为平行四边形
∴
∴
∴
∴
∵，
∴
故答案为：D．
本题考查了平行四边形的线段比例问题，掌握平行四边形的性质、相似三角形的性质以及判定是解题的关键．
8、D
【解析】本题考查了一元二次方程的解法，移项后即可得出答案．
【详解】解：16=x2，x=±1．故选：D
本题考查了一元二次方程的解法，熟悉掌握一元二次方程的解法是解决本题的关键．
9、C
【分析】通过确定A、B、C三个点和函数对称轴的距离，确定对应y轴的大小．
【详解】解：函数的对称轴为：x＝﹣2，
a＝3＞0，故开口向上，
x＝1比x＝﹣3离对称轴远，故c最大，b为函数最小值，
故选：C．
本题主要考查了二次函数的性质，能根据题意，巧妙地利用性质进行解题是解此题的关键
10、C
【分析】若二次函数的图像与x轴没有交点，则，解出关于m、n的不等式，再分别判断即可；
【详解】解：与轴无交点，，
，故A、B错误；
同理：；
故选C.
本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点，掌握抛物线与坐标轴的交点是解题的关键.
11、B
【分析】由条件可知BC垂直平分AD，可证△ABC≌△DBC，可得∠BAC=∠BDC=90°故∠BAC+∠BDC=180°则A、B、D、C四点共圆，即可得结论.
【详解】解：如图：设AD、BC交于M
∵AC=CD，AD⊥BC
∴M为AD中点
∴BC垂直平分AD
∴AB=DB
∵BC=BC，AC=CD
∴△ABC≌△DBC
∴∠BAC=∠BDC=90°
∴∠BAC+∠BDC=180°
∴A、B、D、C四点共圆
∴优弧CAD经过B，但不一定经过E
故选 B
本题考查了四点共圆，掌握四点共圆的判定是解题的关键.
12、D
【分析】根据题意B、C所在的双曲线为反比例函数，B点的坐标已知为B（2,5），代入即可求出反比例函数的解析式：y= ，C（x，1）代入y=中，求出C点横坐标为10，可以得出DE=OD-OE即可求出答案.
【详解】解：设B、C所在的反比例函数为y= B（xB,yB）
∴ xB=OE=AB=2 yB=EB=OA=5 代入反比例函数式中
5= 得到 k=10
∴y=
∵ C(xC, yC) yC=CD=1 代入y=中
∴ 1= xC=10
∴ DE=OD-OE= xC- xB=10-2=8
故选D
此题主要考查了反比例函数的定义，根据已知参数求出反比例函数解析式是解题的关键.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】根据题意算出草坪的长和宽，根据长方形的面积公式列式即可．
【详解】∵长方形长米，宽米，路宽为米，
∴草坪的长为，宽为，
∴草坪的面积为．
故答案为．
本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意准确列式是解题的关键．
14、x1=3，x2=﹣1
【解析】试题解析：（x﹣1）2=4，
即x﹣1=±2，
所以x1=3，x2=﹣1．
故答案为x1=3，x2=﹣1．
15、
【分析】根据正五边形的概念可证得，利用对应边成比例列方程即可求得答案.
【详解】如图，
由边框总长为40cm的五角星，知：，
ABCDE为圆内接正五边形，
∴，
，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
，
即：，
化简得：，
配方得：，
解得：2(负值已舍) ，
故答案为：2
本题考查了圆内接正五边形的性质、相似三角形的判定和性质、一元二次方程的解法，判定是正确解答本题的关键.
16、27
【解析】试题解析：
解得：
故答案为
17、.
【分析】根据概率公式求概率即可.
【详解】图上共有16个方格，黑色方格为7个，
小狗最终停在黑色方格上的概率是．
故答案为：．
此题考查的是求概率问题，掌握概率公式是解决此题的关键.
18、
【分析】根据一元二次方程有两个实数根，可知，列不等式即可求出k的取值范围.
【详解】∵关于x的方程有两个实数根
∴
解得
故答案为：.
本题考查根据一元二次方程根的情况求参数，解题的关键是掌握判别式与一元二次方程根的情况之间的关系.
三、解答题（共78分）
19、15米.
【分析】根据题意分别表示出AB、AF的长，进而得出等式求出答案．
【详解】过E作EF⊥AB于F，设AC=AE=
∵AB⊥CD，ED⊥CD，
∴四边形FBDE为矩形，
∴，
在中
∵ ，
∴，
∴AB=AF+BF ，
在中，
∵，
∴，
∴，
，
∴(米).
∴旗杆AB的高度为米.
本题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．
20、﹣1＜x≤3，见解析
【分析】根据已知条件得到2x﹣m≤x+2的解集为x≤3，求得不等式组的解集为﹣1＜x≤3，把解集在数轴上表示即可．
【详解】解：∵一次函数y＝x+2与y＝2x﹣m相交于点M（3，n），
∴2x﹣m≤x+2的解集为：x≤3，
不等式x+1＞0的解集为：x＞﹣1，
∴不等式组的解集为：﹣1＜x≤3，
把解集在数轴上表示为：
本题考查了一次函数与一元一次不等式，不等式组的解法，正确的理解题意是解题的关键．
21、 (1) △AEF是等边三角形，证明见解析；(2) CF＝，CE＝6或CF＝6，CE＝；(3) △CEF的面积不发生变化，理由见解析.
【分析】（1）证明△BCE≌△DCF（SAS），得出∠BE＝DF，CBE＝∠CDF，证明△ABE≌△ADF（SAS），得出AE＝AF，即可得出结论；
（2）分两种情况：①∠AFE＝90°时，连接AC、MN，证明△MAC≌△NAD（ASA），得出AM＝AN，CM＝DN，证出△AMN是等边三角形，得出AM＝MN＝AN，设AM＝AN＝MN＝m，DN＝CM＝b，BM＝CN＝a，证明△CFN∽△DAN，得出，得出FN＝，AF＝m+，同理AE＝m+，在Rt△AEF中，由直角三角形的性质得出AE＝2AF，得出m+＝2（m+），得出b＝2a，因此，得出CF＝AD＝，同理CE＝2AB＝6；
②∠AEF＝90°时，同①得出CE＝AD＝，CF＝2AB＝6；
（3）作FH⊥CD于H，如图4所示：由（2）得BM＝CN＝a，CM＝DN＝b，证明△ADN∽△FCN，得出，由平行线得出∠FCH＝∠B＝60°，△CEM∽△BAM，得出，得出，求出CF×CE＝AD×AB＝3×3＝9，由三角函数得出CH＝CF×sin∠FCH＝CF×sin60°＝CF，即可得出结论．
【详解】解：（1）△AEF是等边三角形，理由如下：
连接BE、DF，如图1所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝DC＝AD，∠ABC＝∠ADC，
在△BCE和△DCF中，，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴∠BE＝DF，CBE＝∠CDF，
∴∠ABC+∠CBE＝∠ADC+∠CDF，
即∠ABE＝∠ADF，
在△ABE和△ADF中，，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF，又∵∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形；
（2）分两种情况：
①∠AFE＝90°时，连接AC、MN，如图2所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝DC＝AD＝3，∠D＝∠B＝60°，AD∥BC，AB∥CD，
∴△ABC和△ADC是等边三角形，
∴AC＝AD，∠ACM＝∠D＝∠CAD＝60°＝∠EAF，
∴∠MAC＝∠NAD，
在△MAC和△NAD中，，
∴△MAC≌△NAD（ASA），
∴AM＝AN，CM＝DN，
∵∠EAF＝60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴AM＝MN＝AN，
设AM＝AN＝MN＝m，DN＝CM＝b，BM＝CN＝a，
∵CF∥AD，
∴△CFN∽△DAN，
∴，
∴FN＝，
∴AF＝m+，
同理：AE＝m+，
在Rt△AEF中，∵∠EAF＝60°，
∴∠AEF＝30°，
∴AE＝2AF，
∴m+＝2（m+），
整理得：b2﹣ab﹣2a2＝0，
（b﹣2a）（b+a）＝0，
∵b+a≠0，
∴b﹣2a＝0，
∴b＝2a，
∴＝，
∴CF＝AD＝，
同理：CE＝2AB＝6；
②∠AEF＝90°时，连接AC、MN，如图3所示：
同①得：CE＝AD＝，CF＝2AB＝6；
（3）当CE，CF的长度发生变化时，△CEF的面积不发生变化；理由如下：
作FH⊥CD于H，如图4所示：
由（2）得：BM＝CN＝a，CM＝DN＝b，
∵AD∥CF，
∴△ADN∽△FCN，
∴，
∵CE∥AB，
∴∠FCH＝∠B＝60°，△CEM∽△BAM，
∴，
∴，
∴CF×CE＝AD×AB＝3×3＝9，
∵CH＝CF×sin∠FCH＝CF×sin60°＝CF，
△CEF的面积＝CE×FH＝CE×CF＝×9×＝，∴△CEF的面积是定值，不发生变化．
本题考查了三角形全等，三角形相似的判定及性质，三角函数的应用，相似的的灵活应用是解题的关键
22、（1）；（2）．
【分析】（1）先判断出是轴对称图形的字母，再画出树状图，得出所有可能的情况数和两次摸出的都是轴对称图形的字母的情况数，利用概率公式即可得答案；
（2）先判断出是中心对称图形的字母，再画出树状图，得出所有可能的情况数和两次摸出的都是中心对称图形的字母的情况数，利用概率公式即可得答案．
【详解】（1）在A、F、N、O中，是轴对称图形的字母有A、O，
画树状图如下：
由树状图可知，共有种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“两张卡片图案都是轴对称”的有种情况，分别为：，
∴两次摸到的卡片上印有图案都是轴对称图形的概率为=．
（2）在A、F、N、O中，是中心对称图形的字母有N、O，
画树状图如下：
由树状图可知，共有种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“两张卡片图案都是中心对称”的有种情况，分别为，
∴两次摸到的卡片上印有图案都是中心对称图形概率为=．
本题考查用列表法或树状图法求概率，注意作图列表时按一定的顺序，做到不重不漏．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23、（1）-1；（2）见解析；（1）函数的图象关于y轴对称；当x＞1时，y随x的增大而增大；（4）①2；②1，1；③－4＜a＜－1
【分析】（1）由题意观察表格根据函数的对称性即可求得m的值；
（2）根据题意代入表格数据进行描点、连线即可得到函数的图象；
（1）由题意根据题干所给的函数图象性质进行分析即可；
（4）①根据函数图象与x轴的交点个数，即可得到结论；
②根据的图象与直线y=-1的交点个数，即可得到结论；
③根据函数的图象即可得到a的取值范围．
【详解】解：（1）观察表格根据函数的对称性可得m=－1；
（2）如图所示；
（1）由函数图象知：①函数的图象关于y轴对称；
②当x＞1时，y随x的增大而增大；
（4）①函数图象与x轴有2个交点，所以对应的方程有2个实数根；
②由函数图象知：的图象与直线y=－1有1个交点，
∴方程有1个实数根；
③由函数图象知：∵关于x的方程x2－2－1=a有4个实数根，
∴a的取值范围是－4＜a＜－1，
故答案为：2，1，1，－4＜a＜－1．
本题考查二次函数的图象和性质，运用数形结合思维分析以及正确的识别图象是解题的关键．
24、（1）无论取任何实数，方程总有实数根；证明见解析；（2）.
【分析】（1）由题意分当时以及当时，利用根的判别式进行分析即可；
（2）根据题意令，代入抛物线解析式，并利用二次函数图像性质确定实数的取值范围.
【详解】解：（1）①当时，方程为时，，所以方程有实数根；
②当时，
所以方程有实数根
综上所述，无论取任何实数，方程总有实数根.
（2）令，则，解方程，
∵二次函数图象与轴两个交点的横坐标均为整数，且为正整数
∴
∴该抛物线解析式
∴对称轴
∵，是抛物钱上的两点，且
∴
本题考查二次函数图像的综合问题，熟练掌握二次函数图像的相关性质是解题关键.
25、（1）；（2）当时，w有最大值，最大值为750元
【分析】（1）直接利用“总利润=每件的利润×销量”得出函数关系式；
（2）由（1）中的函数解析式，将其配方成顶点式，结合x的取值范围，利用二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）依题意得：
（2）
∵
∴当，w随x的增大而减小
∴当时，w有最大值，
最大值为：元．
本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出函数关系式及熟练掌握二次函数的性质．
26、（1）第2秒时；（2）；（3）第4秒时；（4）=1或4
【分析】（1）先画出符合题意的图形如图1，根据题意和轴对称的性质可判定四边形为正方形，可得BP的长，进而可得答案；
（2）分两种情况：①当时，如图2，根据折叠的性质可得：，进而可得y与t的关系式；②当时，如图3，由折叠的性质和矩形的性质可推出，设，然后在直角△中利用勾股定理即可求得x与t的关系，进一步利用三角形的面积公式即可求出y与t的关系式；
（3）在（2）题的基础上，分两种情况列出方程，解方程即得结果；
（4）如图4，当点在同一直线上，根据折叠的性质可得，进一步可得，进而可推出，然后利用相似三角形的性质可得关于t的方程，解方程即可求出结果.
【详解】解：（1）当点恰好落在上时，如图1，由折叠的性质可得：，
∵四边形为矩形，∴，
∴四边形为正方形，∴，
∵动点速度为每秒1个单位，∴，
即当运动到第2秒时点恰好落在上；
（2）分两种情况：
①当时，如图2，，由折叠得：，
∴；
②当时，如图3，由折叠得：，
∵，∴，∴，∴，
设，则，
在直角△中，由勾股定理得：，解得：，
∴，
综上所述：；
（3）①当时，，则（舍去），
②当时，，解得：（舍去），，
综上所述：在第4秒时，重叠部分面积是矩形面积的；
（4）如图4，点在同一直线上，由折叠得：，
∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴，解得：，
∴当=1或4时，点在同一直线上.
本题是矩形综合题，主要考查了矩形与折叠问题、正方形的判定与性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定和性质、勾股定理、一元二次方程的求解和三角形的面积等知识，考查的知识点多、综合性强，属于试卷的压轴题，正确画出图形、灵活应用数形结合和分类思想、熟练掌握上述知识是解答的关键.
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