资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．某树主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目小分支，主干、枝干和小分支总数共57根，则主干长出枝干的根数为 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
2．已知x1、x2是关于x的方程x2－ax－1＝0的两个实数根，下列结论一定正确的是( )
A．x1≠x2 B．x1＋x2＞0 C．x1×x2＞0 D．＋＞0
3．如图，在中，，，折叠使得点落在边上的点处，折痕为． 连接、，下列结论：①△是等腰直角三角形；②；③ ；④．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何?”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺?”如果设木条长尺，绳子长尺，根据题意列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，一张矩形纸片ABCD的长BC＝xcm，宽AB＝ycm，以宽AB为边剪去一个最大的正方形ABEF，若剩下的矩形ECDF与原矩形ABCD相似，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
7．如图是由个完全相同的小正方形搭成的几何体，如果将小正方体放到小正方体的正上方，则它的（ ）
A．主视图会发生改变 B．俯视图会发生改变
C．左视图会发生改变 D．三种视图都会发生改变
8．如图，是等腰直角三角形，且，轴，点在函数的图象上，若，则的值为( )
A． B． C． D．
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以点C为中心，把△ABC逆时针旋转45°，得到△A′B′C，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2 B．2π C．4 D．4π
10．一元二次方程x2－2x＝0根的判别式的值为( )
A．4 B．2 C．0 D．－4
11．下列各式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
12．抛物线y＝2(x﹣2)2﹣1的顶点坐标是( )
A．(0，﹣1) B．(﹣2，﹣1) C．(2，﹣1) D．(0，1)
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD＝4，BC＝8，BD：DC＝5：3，则DE的长等于__________________．
14．如图，D、E分别是△ABC的边AB，AC上的点，＝，AE＝2，EC＝6，AB＝12，则AD的长为_____．
15．如图，△ABC的两条中线AD，BE交于点G，EF∥BC交AD于点F．若FG＝1，则AD＝_____．
16．用一个圆心角为的扇形作一个圆锥的侧面，若这个圆锥的底面半径恰好等于，则这个圆锥的母线长为_____．
17．已知关于x的一元二次方程（m-2）2x2＋（2m＋1）x＋1=0有两个实数根，则m的取值范围是_____．
18．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率设每次降价的百分率为x，所列方程是______．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（2，3），B（﹣3，n）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过B点作BC⊥x轴，垂足为C，若P是反比例函数图象上的一点，连接PC，PB，求当△PCB的面积等于5时点P的坐标．
20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上．
（1）求n的值；
（2）若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由．
21．（8分）已知，是一元二次方程的两个实数根，且，抛物线的图象经过点，，如图所示．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为，试求出点，的坐标，并判断的形状；
（3）点是直线上的一个动点（点不与点和点重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，点在直线上，距离点为个单位长度，设点的横坐标为，的面积为，求出与之间的函数关系式．
22．（10分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°， 使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？
23．（10分）已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，直线l经过点A（不经过点B或点C），点C关于直线l的对称点为点D，连接BD，CD．
（1）如图1，
①求证：点B，C，D在以点A为圆心，AB为半径的圆上；
②直接写出∠BDC的度数（用含α的式子表示）为 ；
（2）如图2，当α=60°时，过点D作BD的垂线与直线l交于点E，求证：AE=BD；
（3）如图3，当α=90°时，记直线l与CD的交点为F，连接BF．将直线l绕点A旋转的过程中，在什么情况下线段BF的长取得最大值？若AC=2a，试写出此时BF的值．
24．（10分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）将△ABC向上平移3个单位后，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标．
（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，请画出旋转后的△A2B2C2，并求点B所经过的路径长（结果保留π）
25．（12分）如图，已知双曲线与直线交于点和点
（1）求双曲线的解析式；
（2）直接写出不等式的解集
26．如图，在中，，点为上一点且与不重合．，交于．
（1）求证：；
（2）设，求关于的函数表达式；
（3）当时，直接写出_________．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【分析】分别设出枝干和小分支的数目，列出方程，解方程即可得出答案.
【详解】设枝干有x根，则小分支有根
根据题意可得：
解得：x=7或x=-8(不合题意，舍去)
故答案选择A.
本题考查的是一元二次方程的应用，解题关键是根据题目意思列出方程.
2、A
【解析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=a1+4＞0，进而可得出x1≠x1，此题得解．
【详解】∵△=（﹣a）1﹣4×1×（﹣1）=a1+4＞0，∴方程x1﹣ax﹣1=0有两个不相等的实数根，∴x1≠x1．
故选A．
本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
3、C
【分析】根据折叠的性质、等腰直角三角形的定义、相似三角形的判定定理与性质、三角形的面积公式逐个判断即可得．
【详解】由折叠的性质得：
又
在中，
即，则是等腰直角三角形，结论①正确
由结论①可得：
，则结论②正确
，则结论③正确
如图，过点E作
由结论①可得：是等腰直角三角形，
由勾股定理得：
，则结论④错误
综上，正确的结论有①②③这3个
故选：C．
本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的定义、相似三角形的判定定理与性质等知识点，熟记并灵活运用各定理与性质是解题关键．
4、A
【解析】本题的等量关系是：木长绳长，绳长木长，据此可列方程组即可.
【详解】设木条长为尺，绳子长为尺，根据题意可得：
.
故选：.
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组.
5、B
【分析】根据相似多边形对应边的比相等，可得到一个方程，解方程即可求得．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝xcm，
∵四边形ABEF是正方形，
∴EF＝AB＝ycm，
∴DF＝EC＝（x﹣y）cm，
∵矩形FDCE与原矩形ADCB相似，
∴DF：AB＝CD：AD，
即：
∴＝，
故选B．
本题考查了相似多边形的性质、矩形的性质、翻折变换的性质；根据相似多边形对应边的比相等得出方程是解决本题的关键．
6、A
【解析】∵圆心O到直线l的距离d=3，⊙O的半径R=4，则d＜R，
∴直线和圆相交．故选A．
7、A
【分析】根据从上面看得到的图形事俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】如果将小正方体放到小正方体的正上方，则它的主视图会发生改变，俯视图和左视图不变．
故选．
本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图．
8、B
【分析】根据题意可以求得OA和AC的长，从而可以求得点C的坐标，进而求得k的值，本题得以解决．
【详解】解：∵三角形ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，CA⊥x轴，AB=1，
∴∠BAC=∠BAO=45°，
∴OA=OB=
∴点C的坐标为
∵点C在函数（x＞0）的图象上，
∴k= =1.
故选：B．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9、B
【解析】根据阴影部分的面积是（扇形CBB'的面积﹣△CA'B'的面积）+（△ABC的面积﹣扇形CAA'的面积），代入数值解答即可．
【详解】∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，
∴BC＝ ，∠ACB＝∠A'CB'＝45°，
∴阴影部分的面积＝＝2π，
故选B．
本题考查了扇形面积公式的应用，观察图形得到阴影部分的面积是（扇形CBB'的面积﹣△CA'B'的面积）+（△ABC的面积﹣扇形CAA'的面积）是解决问题的关键.
10、A
【解析】根据一元二次方程判别式的公式进行计算即可.
【详解】解:在这个方程中，a＝1，b＝－2，c＝0，
∴，
故选：A.
本题考查一元二次方程判别式，熟记公式正确计算是本题的解题关键.
11、A
【分析】根据最简二次根式的定义解答即可.
【详解】A. 是最简二次根式；
B. ∵=，∴不是最简二次根式；
C. ∵=，∴不是最简二次根式；
D. ∵，∴不是最简二次根式；
故选A.
本题考查了最简二次根式的识别，如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且也都不含有能开的尽方的因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式.
12、C
【解析】根据二次函数顶点式顶点坐标表示方法，直接写出顶点坐标即可.
【详解】解：∵顶点式y＝a(x﹣h)2+k，顶点坐标是(h，k)，
∴y＝2(x﹣2)2﹣1的顶点坐标是(2，﹣1)．
故选：C．
本题考查了二次函数顶点式，解决本题的关键是熟练掌握二次函数顶点式中顶点坐标的表示方法.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【解析】试题分析：∵∠ADC=∠BDE，∠C=∠E，∴△ADC∽△BDE，∴，
∵AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，∴BD=5，DC=3，∴DE=．故选B．
考点：相似三角形的判定与性质．
14、1
【分析】把AE＝2，EC＝6，AB＝12代入已知比例式，即可求出答案．
【详解】解：∵＝，AE＝2，EC＝6，AB＝12，
∴＝，
解得：AD＝1，
故答案为：1．
本题考查了成比例线段，灵活的将已知线段的长度代入比例式是解题的关键.
15、1
【分析】利用平行线分线段长比例定理得到=1，即AF=FD，所以EF为△ADC的中位线，则EF=CD=BD，再利用EF∥BD得到，所以DG=2FG=2，然后计算FD，从而得到AD的长．
【详解】解：∵△ABC的两条中线AD，BE交于点G，
∴BD＝CD，AE＝CE，
∵EF∥CD，
∴＝1，即AF＝FD，
∴EF为△ADC的中位线，
∴EF＝CD，
∴EF＝BD，
∵EF∥BD，
∴，
∴DG＝2FG＝2，
∴FD＝2+1＝3，
∴AD＝2FD＝1．
故答案为：1．
本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了三角形中位线性质和平行线分线段成比例定理．
16、12
【解析】根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列式进行求解即可.
【详解】设这个圆锥的母线长为，
依题意，有：，
解得：，
故答案为：12.
本题考查了圆锥的运算，正确把握圆锥侧面展开图的扇形的弧长与底面圆的周长间的关系是解题的关键.
17、且.
【详解】∵关于x的一元二次方程（m﹣1）1x1+（1m+1）x+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=b1﹣4ac＞0，
即（1m+1）1﹣4×（m﹣1）1×1＞0，
解这个不等式得，m＞，
又∵二次项系数是（m﹣1）1≠0，
∴m≠1
故M得取值范围是m＞且m≠1．
故答案为m＞且m≠1.
考点：根的判别式
18、
【分析】根据降价后的价格=降价前的价格×（1-降价的百分率），则第一次降价后的价格是560（1-x），第二次降价后的价格是560（1-x）2，据此列方程即可．
【详解】解：设每次降价的百分率为x，
由题意得：560（1-x）2=1，
故答案为560（1-x）2=1．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
三、解答题（共78分）
19、（1）y＝；（2）点P的坐标为（﹣8，﹣），（2，3）．
【分析】（1）将A坐标代入反比例函数解析式中求出m的值，即可确定出反比例函数解析式；
（2）由B点（-3，n）在反比例函数y＝的图象上，于是得到B（-3，-2），求得BC=2，设△PBC在BC边上的高为h，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
【详解】（1）∵反比例函数y＝的图象经过点A（2，3），
∴m＝1．
∴反比例函数的解析式是y＝；
（2）∵B点（﹣3，n）在反比例函数y＝的图象上，
∴n＝﹣2，
∴B（﹣3，﹣2），
∴BC＝2，设△PBC在BC边上的高为h，
则BC•h＝5，
∴h＝5，
∵P是反比例函数图象上的一点，
∴点P的横坐标为：﹣8或2，
∴点P的坐标为（﹣8，﹣），（2，3）．
此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，以及反比例函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
20、 (1)60；（2）四边形ACFD是菱形．理由见解析.
【分析】（1）利用旋转的性质得出AC=CD，进而得出△ADC是等边三角形，即可得出∠ACD的度数；
（2）利用直角三角形的性质得出FC=DF，进而得出AD=AC=FC=DF，即可得出答案．
【详解】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，
∴AC=DC，∠A=60°，∠DCE=∠ACB=90°，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴n的值是60；
（2）四边形ACFD是菱形；
理由：∵∠DCE=∠ACB=90°，F是DE的中点，
∴FC=DF=FE，
∵∠CDF=∠A=60°，
∴△DFC是等边三角形，
∴DF=DC=FC，
∵△ADC是等边三角形，
∴AD=AC=DC，
∴AD=AC=FC=DF，
∴四边形ACFD是菱形．
21、（1）；（2），，是直角三角形；（3）当时，，当或时，．
【分析】（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先解方程求出抛物线与轴的交点，再判断出和都是等腰直角三角形，从而得到结论；
（3）先求出，再分两种情况，当点在点上方和下方，分别计算即可．
【详解】解（1），
，，
，是一元二次方程的两个实数根，且，
，，
抛物线的图象经过点，，
，
，
抛物线解析式为，
（2）令，则，
，，
，
，
顶点坐标，
过点作轴，
，
，
和都是等腰直角三角形，
，
，
是直角三角形；
（3）如图，
，，
直线解析式为，
点的横坐标为，轴，
点的横坐标为，
点在直线上，点在抛物线上，
，，
过点作，
是等腰直角三角形，
，
，
当点在点上方时，即时，
，
，
如图3，当点在点下方时，即或时，
，
．
综上所述：当点在点上方时，即时，，当点在点下方时，即或时，．
此题是二次函数综合题，主要考查了一元二次方程的解法，待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质和判定，解本题的关键是利用等腰直角三角形判定和性质求出，．
22、（20+17）cm．
【分析】过点B作BM⊥CE于点M，BF⊥DA于点F，在Rt△BCM和Rt△ABF中，通过解直角三角形可求出CM、BF的长，再由CE=CM+BF+ED即可求出CE的长．
【详解】过点B作BM⊥CE于点M，BF⊥DA于点F，如图所示．
在Rt△BCM中，BC=30cm，∠CBM=30°，
∴CM=BC•sin∠CBM=15cm．
在Rt△ABF中，AB=40cm，∠BAD=60°，
∴BF=AB•sin∠BAD=20cm．
∵∠ADC=∠BMD=∠BFD=90°，
∴四边形BFDM为矩形，
∴MD=BF，
∴CE=CM+MD+DE=CM+BF+ED=15+20+2=20+17（cm）．
答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是（20+17）cm．
本题考查了解直角三角形的应用以及矩形的判定与性质，通过解直角三角形求出CM、BF的长是解题的关键．
23、（1）①详见解析；②α；（2）详见解析；（3）当B、O、F三点共线时BF最长，(+)a
【分析】（1）①由线段垂直平分线的性质可得AD=AC=AB，即可证点B，C，D在以点A为圆心，AB为半径的圆上；
②由等腰三角形的性质可得∠BAC=2∠BDC，可求∠BDC的度数；
（2）连接CE，由题意可证△ABC，△DCE是等边三角形，可得AC=BC，∠DCE=60°=∠ACB，CD=CE，根据“SAS”可证△BCD≌△ACE，可得AE=BD；
（3）取AC的中点O，连接OB，OF，BF，由三角形的三边关系可得，当点O，点B，点F三点共线时，BF最长，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可求，，即可求得BF
【详解】（1）①连接AD，如图1．
∵点C与点D关于直线l对称，
∴AC = AD．
∵AB= AC，
∴AB= AC = AD．
∴点B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上．
②∵AD=AB=AC，
∴∠ADB=∠ABD，∠ADC=∠ACD，
∵∠BAM=∠ADB+∠ABD，∠MAC=∠ADC+∠ACD，
∴∠BAM=2∠ADB，∠MAC=2∠ADC，
∴∠BAC=∠BAM+∠MAC=2∠ADB+2∠ADC=2∠BDC=α
∴∠BDC=α
故答案为：α．
（2连接CE，如图2．
∵∠BAC=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°，
∵∠BDC=α，
∴∠BDC=30°，
∵BD⊥DE，
∴∠CDE=60°，
∵点C关于直线l的对称点为点D，
∴DE=CE，且∠CDE=60°
∴△CDE是等边三角形，
∴CD=CE=DE，∠DCE=60°=∠ACB，
∴∠BCD=∠ACE，且AC=BC，CD=CE，
∴△BCD≌△ACE（SAS）
∴BD=AE，
（3）如图3，取AC的中点O，连接OB，OF，BF，
，
F是以AC为直径的圆上一点，设AC中点为O，
∵在△BOF中，BO+OF≥BF，
当B、O、F三点共线时BF最长；
如图，过点O作OH⊥BC，
∵∠BAC=90°，AB=AC=2a，
∴，∠ACB=45°，且OH⊥BC，
∴∠COH=∠HCO=45°，
∴OH=HC，
∴，
∵点O是AC中点，AC=2a，
∴，
∴，
∴BH=3a，
∴，
∵点C关于直线l的对称点为点D，
∴∠AFC=90°，
∵点O是AC中点，
∴，
∴，
∴当B、O、F三点共线时BF最长；最大值为(+)a．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
24、（1） 图见解析，（-3，6）；（2） 图见解析，
【分析】（1）根据△ABC向上平移3个单位，得出对应点位置，即可得出A1的坐标；
（2）得出旋转后的△A2B2C2，再利用弧长公式求出点B所经过的路径长．
【详解】解：（1）如图所示：A1的坐标为：（-3，6）；
（2）如图所示：
∵BO=，
∴点B所经过的路径长=．
25、（1）；（2）或
【分析】（1）将点A坐标代入双曲线解析式即可得出k的值，从而求出双曲线的解析式；
（2）求出B点坐标，利用图象即可得解．
【详解】解：（1）∵双曲线经过点，.
∴双曲线的解析式为
（2）由双曲线解析式可得出B(-4，-1)，结合图象可得出，
不等式的解集是：或．
本题考查的知识点是反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是从图象中得出相关信息．
26、（1）详见解析；（2）；（3）1
【分析】（1）先根据题意得出∠B＝∠C，再根据等量代换得出∠ADB＝∠DEC即可得证；
（2）根据相似三角形的性质得出，将相应值代入化简即可得出答案；
（3）根据相似三角形的性质得出，再根据已知即可证明AE=EC从而得出答案．
【详解】解：（1）Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，
∴∠B＝∠C＝45°，BC＝
∵∠ADE＝45°，
∴∠ADB＋∠CDE＝∠CDE＋∠DEC＝135°
∴∠ADB＝∠DEC，
∴△ABD∽△DCE
（2）∵△ABD∽△DCE，
∴，
∵BD＝x，AE＝y，
则DC＝，
代入上式得：
，
∴，
即
（3）,
在中，
本题考查了相似三角形的判定及性质定理，熟练掌握定理是解题的关键．
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