资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
2．把一张矩形的纸片对折后和原矩形相似，那么大矩形与小矩形的相似比是（ ）
A．:1 B．4:1 C．3:1 D．2:1
3．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上一动点（不与点B、C重合），连接AP，作射线PD，使∠APD=60°，PD交AC于点D，已知AB=a，设CD=y，BP=x，则y与x函数关系的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数 (x＞0)与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD=3AD，且△ODE的面积是9,则k的值是( )
A． B． C． D．12
5．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是（ ）
A．0.620 B．0.618 C．0.610 D．1000
6．如图，在中，，且DE分别交AB，AC于点D，E，若，则△和△的面积之比等于（ ）
A． B． C． D．
7．一组数据10，9，10，12，9的平均数是（ ）
A．11 B．12 C．9 D．10
8．如图，以点为位似中心，将放大得到．若，则与的位似比为（ ）．
A． B． C． D．
9．如图，BC是⊙O的直径，点A、D在⊙O上，若∠ADC＝48°，则∠ACB等于（ ）度．
A．42 B．48 C．46 D．50
10．如图，为的直径，为上一点，弦平分，交于点，，，则的长为（ ）
A．2.2 B．2.5 C．2 D．1.8
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝4，BC＝6，则△ABC的面积是__________．
12．如图，C、D是AB为直径的半圆O上的点，若∠BAD＝50°，则∠BCD＝_____．
13．如图，已知点A在反比例函数图象上，AC⊥y轴于点C，点B在x轴的负半轴上，且△ABC的面积为3，则该反比例函数的表达式为__．
14．若关于的方程的一个根是1，则的值为______.
15．如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为_____．
16．如图，从一块直径为的圆形纸片上剪出一个圆心角为的扇形，使点在圆周上．将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是________．
17．如图，国庆节期间，小明一家自驾到某景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶8千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达景区C，小明发现景区C恰好在A地的正北方向，则B，C两地的距离为_____．
18．如图，等边△ABO的边长为2，点B在x轴上，反比例函数图象经过点A，将△ABO绕点O顺时针旋转a（0°＜a＜360°），使点A仍落在双曲线上，则a=_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，抛物线（，b是常数，且≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．并且A，B两点的坐标分别是A(－1，0)，B(3，0)
（1）①求抛物线的解析式；②顶点D的坐标为_______；③直线BD的解析式为______；
（2）若P为线段BD上的一个动点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥x轴于点Q，求当m为何值时，四边形PQOC的面积最大？
（3）若点M是抛物线在第一象限上的一个动点，过点M作MN∥AC交轴于点N．当点M的坐标为_______时，四边形MNAC是平行四边形．
20．（6分）如图，矩形中，，以为直径作.
（1）证明:是的切线；
（2）若，连接，求阴影部分的面积.(结果保留)
21．（6分）《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题．
（规律探索）
（1）如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则S阴影1＝1－＝
如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉—半，则S阴影2＝1－－()2 ＝____；
同种操作，如图3，S阴影3＝1－－()2－()3 ＝__________；
如图4，S阴影4＝1－－()2－()3－()4 ＝___________；
……若同种地操作n次，则S阴影n＝1－－()2－()3－…－()n ＝_________．
于是归纳得到：+()2+()3+…+()n =_________．
（理论推导）
（2）阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22015+22016的值．
解：设S=1+2+22+23+24+…+22015+22016，①
将①×2得：2S=2+22+23+24+…+22016+22017，②
由②-①得：2S—S=22017—1，即=22017-1．
即1+2+22+23+24+…+22015+22016＝22017-1
根据上述材料，试求出+()2+()3+…+()n 的表达式，写出推导过程．
（规律应用）
（3）比较＋＋＋…… __________1（填“”、“”或“=”）
22．（8分）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使得点的对应点落在边上（点不与点重合），连接.
（1）依题意补全图形；
（2）求证：四边形是平行四边形.
23．（8分）综合与探究:
操作发现:如图1，在中，，以点为中心，把顺时针旋转，得到;再以点为中心，把逆时针旋转，得到.连接.则与的位置关系为平行；
探究证明:如图2，当是锐角三角形，时，将按照（1）中的方式，以点为中心，把顺时针旋转，得到；再以点为中心，把逆时针旋转，得到.连接，
①探究与的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；
②探究与的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明.
24．（8分）如图，在中，，以为直径作交于点.过点作，垂足为，且交的延长线于点.
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长.
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A（﹣2，a）、B两点，BC⊥x轴，垂足为C．
（1）求双曲线与直线AC的解析式；
（2）求△ABC的面积．
26．（10分）如图，方格纸中有三个点，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上．
（1）在图甲中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；
（2）在图乙中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；
（3）在图丙中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．
（注：图甲、图乙、图丙在答题纸上）
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后和原来的图形重合．
2、A
【分析】设原矩形的长为2a，宽为b，对折后所得的矩形与原矩形相似，则
【详解】
设原矩形的长为2a，宽为b，
则对折后的矩形的长为b，宽为a，
∵对折后所得的矩形与原矩形相似，
∴，
∴大矩形与小矩形的相似比是：1；
故选A．
理解好：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个或多个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比.
3、C
【分析】根据等边三角形的性质可得出∠B=∠C=60°，由等角的补角相等可得出∠BAP=∠CPD，进而即可证出△ABP∽△PCD，根据相似三角形的性质即可得出y=- x2+x，对照四个选项即可得出．
【详解】∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，BC=AB=a，PC=a-x．
∵∠APD=60°，∠B=60°，
∴∠BAP+∠APB=120°，∠APB+∠CPD=120°，
∴∠BAP=∠CPD，
∴△ABP∽△PCD，
∴,即，
∴y=- x2+x.
故选C.
考查了动点问题的函数图象、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质找出y=-x2+x是解题的关键．
4、C
【分析】设B点的坐标为（a，b），由BD=3AD，得D（，b），根据反比例函数定义求出关键点坐标，根据S△ODE=S矩形OCBA-S△AOD-S△OCE-S△BDE= 9求出k.
【详解】∵四边形OCBA是矩形，
∴AB=OC，OA=BC，
设B点的坐标为（a，b），
∵BD=3AD，
∴D（，b），
∵点D，E在反比例函数的图象上，
∴=k，
∴E（a， ），
∵S△ODE=S矩形OCBA-S△AOD-S△OCE-S△BDE=ab-• -•-••（b-）=9，
∴k=，
故选：C
考核知识点：反比例函数系数k的几何意义. 结合图形，分析图形面积关系是关键.
5、B
【解析】结合给出的图形以及在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，解答即可．
【详解】由图象可知随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.1附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.1．
故选B．
考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
6、B
【解析】由DE∥BC，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，进而可得出△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出结论．
【详解】∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∴．
故选B．
本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
7、D
【解析】利用平均数的求法求解即可．
【详解】这组数据10，9，10，12，9的平均数是
故选：D．
本题主要考查平均数，掌握平均数的求法是解题的关键．
8、A
【解析】以点为个位中心，将放大得到，，可得，因此与的位似比为，故选A.
9、A
【分析】连接AB，由圆周角定理得出∠BAC=90°，∠B=∠ADC=48°，再由直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：连接AB，如图所示：
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∵∠B=∠ADC=48°，
∴∠ACB=90°-∠B=42°；
故选：A．
本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
10、A
【分析】连接BD、CD，由勾股定理先求出BD的长，再利用△ABD∽△BED，得出，可解得DE的长．
【详解】连接BD、CD，如图所示：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴，
∵弦AD平分∠BAC，
∴CD=BD=，
∴∠CBD=∠DAB，
在△ABD和△BED中，
∠BAD=∠EBD，∠ADB=∠BDE，
∴△ABD∽△BED，
∴，即，
解得DE=1.1．
故选：A．
此题主要考查了三角形相似的判定和性质及圆周角定理，解答此题的关键是得出△ABD∽△BED．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、6
【分析】作辅助线AD⊥BC构造直角三角形ABD，利用锐角∠B的正弦函数的定义求出三角形ABC底边BC上的高AD的长度，然后根据三角形的面积公式来求△ABC的面积即可．
【详解】过A作AD垂直BC于D，
在Rt△ABD中，∵sinB＝，
∴AD＝AB•sinB＝4•sin45°＝4×＝，
∴S△ABC＝BC•AD＝×6×＝，
故答案为：
本题考查了解直角三角形．解答该题时，通过作辅助线△ABC底边BC上的高线AD构造直角三角形，利用锐角三角函数的定义在直角三角形中求得AD的长度的．
12、130°
【分析】根据圆周角定理和圆内接四边形的性质得出∠BAD+∠BCD=180°，代入求出即可．
【详解】∵C、D是AB为直径的半圆O上的点，
∴∠BAD+∠BCD=180°．
∵∠BAD=50°，
∴∠BCD=130°．
故答案为：130°．
本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，能根据圆内接四边形的性质得出∠BAD+∠BCD=180°是解答本题的关键．
13、y＝﹣
【解析】根据同底等高的两个三角形面积相等，可得△AOC的面积=△ABC的面积=3，再根据反比例函数中k的几何意义，即可确定k的值，进而得出反比例函数的解析式．
【详解】解：如图，连接AO，
设反比例函数的解析式为y＝ ．
∵AC⊥y轴于点C，
∴AC∥BO，
∴△AOC的面积＝△ABC的面积＝3，
又∵△AOC的面积＝|k|，
∴|k|＝3，
∴k＝±2；
又∵反比例函数的图象的一支位于第二象限，
∴k＜1．
∴k＝﹣2．
∴这个反比例函数的解析式为y＝﹣ ．
故答案为y＝﹣ ．
本题考查待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数中k的几何意义．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
14、－6
【分析】把x=1代入原方程就可以得到一个关于k的方程，解这个方程即可求出k的值．
【详解】把代入方程得到，解得.
故答案为：−6.
本题考查了一元二次方程的解，将方程的根代入并求值是解题的关键.
15、1
【分析】根据题意当点C的横坐标取最小值时，抛物线的顶点与点A重合，进而可得抛物线的对称轴，则可求出此时点D的最小值，然后根据抛物线的平移可求解．
【详解】解：∵点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），
∴AB=3，
由抛物线y=a（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），可得：当点C的横坐标取最小值时，抛物线的顶点与点A重合，
∴抛物线的对称轴为：直线，
∵点，
∴点D的坐标为，
∵顶点在线段AB上移动，
∴点D的横坐标的最大值为：5+3=1；
故答案为1．
本题主要考查二次函数的平移及性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
16、
【分析】连接BC，根据圆周角定理求出BC是⊙O的直径，BC=12cm，根据勾股定理求出AB，再根据弧长公式求出半径r.
【详解】连接BC，
由题意知∠BAC=90°，
∴BC是⊙O的直径，BC=12cm，
∵AB=AC，
∴,
∴（cm），
设这个圆锥的底面圆的半径是rcm，
∵，
∴，
∴r=（cm），
故答案为：.
此题考查圆周角定理，弧长公式，勾股定理，连接BC得到BC是圆的直径是解题的关键.
17、4千米．
【分析】根据题意在图中作出直角三角形，由题中给出的方向角和距离，先求出的长，再根据等腰三角形的性质即可求得.
【详解】过B作BD⊥AC于点D．
在Rt△ABD中，BD＝ABsin∠BAD＝8×＝4（千米），
∵△BCD中，∠CBD＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴CD＝BD＝4（千米），
∴BC＝，BD＝4（千米）．
故答案为：4千米．
本题考查特殊角的三角函数值和利用三角函数解三角形，属基础题.
18、30°或180°或210°
【分析】根据等边三角形的性质，双曲线的轴对称性和中心对称性即可求解．
【详解】根据反比例函数的轴对称性，A点关于直线y=x对称，
∵△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴AO与直线y=x的夹角是15°，
∴a=2×15°=30°时点A落在双曲线上， 根据反比例函数的中心对称性，
∴点A旋转到直线OA上时，点A落在双曲线上，
∴此时a=180°，
根据反比例函数的轴对称性，继续旋转30°时，点A落在双曲线上，
∴此时a=210°；
故答案为：30°或180°或210°．
考点：(1)、反比例函数图象上点的坐标特征；(2)、等边三角形的性质；(3)、坐标与图形变化-旋转．
三、解答题(共66分)
19、（1）①；②(1，4)；③；（2）当时，S最大值=；（3）(2，3)
【分析】（1）①把点A、点B的坐标代入，求出，b即可；②根据顶点坐标公式求解；③设直线BD的解析式为，将点B、点D的坐标代入即可；
（2）求出点C坐标，利用直角梯形的面积公式可得四边形PQOC的面积s与m的关系式，可求得面积的最大值；
（3）要使四边形MNAC是平行四边形只要即可，所以点M与点C的纵坐标相同，由此可求得点M坐标.
【详解】解：（1）①把A（－1，0），B（3，0）代入，得
解得
∴
②当时，
所以顶点坐标为（1，4）
③设直线BD的解析式为，将点B（3，0）、点D（1，4）的坐标代入得
，解得
所以直线BD的解析式为
（2）∵点P的横坐标为m，则点P的纵坐标为．
当时，
∴C（0，3）．
由题意可知：
OC=3，OQ=m，PQ=．
∴s=
=
=.
∵－1＜0，1＜＜3，
∴当时，s最大值=
如图，MN∥AC，要使四边形MNAC是平行四边形只要即可.
设点M的坐标为，
由可知点
解得或0（不合题意，舍去）
当点M的坐标为（2，3）时，四边形MNAC是平行四边形．
本题考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数的解析式及顶点、一次函数的解析式、二次函数在三角形和平行四边形中的应用，将二次函数的解析式与几何图形相结合是解题的关键.
20、（1）见解析；（2）
【分析】（1）过O点作OE⊥CD于E点，证四边形OEBC为正方形，可得OE为半径，问题即可得证.
（2）连接BE，S阴影=S△BED+（S扇形OBE-S△BOE），代入数值求解即可.
【详解】（1）过O点作OE⊥CD于E点，则∠OEC=90°
∵四边形ABCD为矩形
∴∠ABC=∠BCE=90°
∴四边形OECB为矩形
又AB=2BC，AB=2OB
∴OB=BC
∴四边形OBCE为正方形
∴OE=OB
又OE⊥CD
故CD为O的切线.
（2）连接BE,
由（1）可得：四边形OBCE为正方形
∴OB=OE=EC=OB=3，DC=AB=6，DE=3
∴S阴影=S△BED+（S扇形OBE-S△BOE）=
本题考查的是圆的切线及扇形的面积计算，掌握圆的切线的证明方法及扇形的面积计算公式是关键.
21、（1）；；；()n；1 - ()n ；（2）+()2+()3+…+()n = 1-()n，推导过程见解析；（3）=
【分析】（1）根据有理数的混合运算计算前几项结果，并观察得出规律即可得解
（2）根据材料中的计算求和的方法即可求解；
（3）根据（2）的化简结果，结合极限思想即可比较大小．
【详解】解：（1）S阴影2＝1－－()2=1-==，
S阴影3＝1－－()2－()3=1-==，
S阴影4＝1－－()2－()3－()4==，
⋯
S阴影n＝1－－()2－()3－…－()n=()n，
于是归纳得到：+()2+()3+…+()n =1 - ()n
故答案为：；；；()n；1 - ()n
（2）解：设S = +()2+()3+…+()n， ①
将①×得：S = ()2+()3 +)4 …+()n + ()n+1 ，②
①－②得：S = - ()n+1 ，③
将③×2得：S = 1-()n
即得+()2+()3+…+()n = 1-()n
（3）=，理由如下：
∵＋＋＋……=1-()n ，当n越来越大时，()n越来越小，越来越接近零，由极限的思想可知：当n趋于无穷时，()n就等于0，故1-()n就等于1，
故答案为：=
本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算，解决的本题的关键是寻找规律并利用规律．
22、（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】（1）根据旋转的性质作图；（2）由旋转的性质可得，然后根据全等三角形的性质得出，，从而使问题得证.
【详解】解：（1）如图：
（2）证明：∵绕点顺时针旋转得到，
∴，，.
∵，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形.
本题考查旋转的性质，全等的判定和性质，平行四边形的判定，比较基础，掌握判定定理及其性质正确推理论证是本题的解题关键.
23、①,证明详见解析；②，证明详见解析.
【分析】（1）根据旋转角的定义即可得到，即可证得与的位置关系.
（2）过点作，交于点，证明四边形为平行四边形即可解决问题.
【详解】①.
证明:由旋转的性质，知.
又，
.
②.
证明:过点作，交于点.
.
又由旋转的性质知，
.
.
.
又
四边形为平行四边形.
.
本题考查旋转变换，掌握旋转的性质及平行四边形的判定和性质是解题的关键．
24、（1）见解析；（2）BD长为1．
【分析】（1）连接OD，AD，根据等腰三角形三线合一得BD=CD，根据三角形的中位线可得OD∥AC，所以得OD⊥EF，从而得结论；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质证得∠BAD=∠BAC=30°，由30°的直角三角形的性质即可求得BD．
【详解】（1）证明：连接OD，AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵OA＝OB，
∴OD是△BAC的中位线，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠BAC＝30°，
∴BD＝AB＝×10＝1,
即BD 长为1．
本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆周角定理、等腰三角形的性质，圆的切线的判定，30°的直角三角形的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
25、（1）；（2）4.
【分析】（1）将点A（﹣2，a）代入直线y=-x得A坐标，再将点A代入双曲线即可得到k值，由AB关于原点对称得到B点坐标，由BC⊥x轴，垂足为C，确定出点C坐标，将A、C代入一次函数解析式即可求解；
（2）由三角形面积公式即可求解.
【详解】将点A（﹣2，a）代入直线y=-x得a=-2，
所以A（-2,2），
将A（-2,2）代入双曲线，
得k=-4，
∴，
∵
，
，
，，
解得，
∴；
（2）
此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
26、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.
【分析】可以从特殊四边形着手考虑，平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，等腰梯形是轴对称图形但不是中心对称图形，正方形既是轴对称图形又是中心对称图形
【详解】解：如图：
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