资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，点D是△ABC的边BC上一点，∠BAD＝∠C，AC＝2AD，如果△ACD的面积为15，那么△ABD的面积为（ ）
A．15 B．10 C．7.5 D．5
2．当压力F（N）一定时，物体所受的压强p（Pa）与受力面积S（m2）的函数关系式为P＝（S≠0），这个函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．若函数y＝(m2－3m＋2)x|m|－3是反比例函数，则m的值是( )
A．1 B．－2 C．±2 D．2
4．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点(1,3)，则的值可以为
A． B． C． D．
5．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝130°，则∠AOB的度数为（ ）
A．50° B．80° C．100° D．110°
6．如果5x=6y，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且DE∥AB，若S△CDE ：S△BDE＝1：3，则S△CDE：S△ABE ＝（ ）
A．1：9 B．1：12
C．1：16 D．1：20
8．从一组数据1，2，2，3中任意取走一个数，剩下三个数不变的是（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
9．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣2
10．已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
11．某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG=1米，AE=AF=x米，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为( )
A．10 B．9 C．8 D．7
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，在矩形中，点为的中点，交于点，连接，下列结论：
①；
②；
③；
④若，则.
其中正确的结论是______________.(填写所有正确结论的序号)
14．如图，四边形是的内接四边形，且，点在的延长线上，若，则的半径_________________．
15．如图，个全等的等腰三角形的底边在同一条直线上，底角顶点依次重合．连接第一个三角形的底角顶点和第个三角形的顶角顶点交于点，则_________．
16．已知中，，，，，垂足为点，以点为圆心作，使得点在外，且点在内，设的半径为，那么的取值范围是______.
17．将抛物线y＝﹣x2﹣4x（﹣4≤x≤0）沿y轴折叠后得另一条抛物线，若直线y＝x+b与这两条抛物线共有3个公共点，则b的取值范围为_____．
18．将抛物线y＝2x2的图象向上平移1个单位长度后，所得抛物线的解析式为_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，.
(1)将以原点为旋转中心旋转得到，画出旋转后的.
(2)平移，使点的对应点坐标为，画出平移后的
(3)若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标.
20．（8分）如图，点的坐标为，把点绕坐标原点逆时针旋转后得到点．
（1）求点经过的弧长；（结果保留）
（2）写出点的坐标是________．
21．（8分）（1）如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：；
（2） 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．
①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；
②如图3，求证MN2=DM·EN．
22．（10分）如图，以40m/s的速度将小球沿与地面30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一段抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位:m）与飞行时间t（单位:s）之间的函数关系式为h=20t－(t≥0)． 回答问题:
(1)小球的飞行高度能否达到19.5m；
(2) 小球从最高点到落地需要多少时间?
23．（10分）如图，在电线杆上的点处引同样长度的拉线，固定电线杆，在离电线杆6米处安置测角仪（其中点、、、在同一条直线上），在处测得电线杆上点处的仰角为，测角仪的高为米．
（1）求电线杆上点离地面的距离；
（2）若拉线，的长度之和为18米，求固定点和之间的距离．
24．（10分）近期江苏省各地均发布“雾霾”黄色预警，我市某口罩厂商生产一种新型口罩产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系满足下表．
销售单价x（元/件）
…
20
25
30
40
…
每月销售量y（万件）
…
60
50
40
20
…
(1)请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数三个模型中确定哪种函数能比较恰当地表示y与x的变化规律，并直接写出y与x之间的函数关系式为__________；
(2)当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润为440万元？
(3)如果厂商每月的制造成本不超过540万元，那么当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？
25．（12分）某教师为了对学生零花钱的使用进行教育指导,对全班50名学生每人一周内的零花钱数额进行统计调查，并绘制了统计表及统计图，如图所示.
(1)这50名学生每人一周内的零花钱数额的平均数是_______元/人；
(2)如果把全班50名学生每人一周内的零花钱按照不同数额人数绘制成扇形统计图，则一周内的零花钱数额为5元的人数所占的圆心角度数是_____度；
(3)一周内的零花钱数额为20元的有5人，其中有2名是女生， 3名是男生，现从这5人中选2名进行个别教育指导，请用画树状图或列表法求出刚好选中2名是一男一女的概率.
26．已知：关于x的方程，
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a=1，两个边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】首先证明△BAD∽△BCA，由相似三角形的性质可得：△BAD的面积：△BCA的面积为1：4，得出△BAD的面积：△ACD的面积＝1：3，即可求出△ABD的面积．
【详解】解：∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，
∴△BAD∽△BCA，
∵AC＝2AD，
∴，
∴，
∵△ACD的面积为15，
∴△ABD的面积＝×15＝5，
故选：D．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.
2、C
【分析】根据实际意义以及函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断．
【详解】解：当F一定时，P与S之间成反比例函数，则函数图象是双曲线，同时自变量是正数．
故选：C．
此题主要考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
3、B
【解析】根据反比例函数的定义,列出方程求解即可．
【详解】解：由题意得，|m|-3=-1，
解得m=±1，
当m=1时，m1-3m+1=11-3×1+1=2，
当m=-1时，m1-3m+1=（-1）1-3×（-1）+1=4+6+1=11，
∴m的值是-1．
故选：B．
本题考查了反比例函数的定义，熟记一般式y=（k≠2）是解题的关键，要注意比例系数不等于2．
4、B
【分析】把点(1,3)代入中即可求得k值.
【详解】解：把x=1，y=3代入中得
，
∴k=3.
故选：B.
本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，能理解把已知点的坐标代入解析式是解题关键.
5、C
【分析】根据圆内接四边形的性质和圆周角定理即可得到结论．
【详解】在优弧AB上任意找一点D，连接AD，BD．
∵∠D=180°﹣∠ACB=50°，
∴∠AOB=2∠D=100°，
故选：C．
本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
6、A
【解析】试题解析：A， 可以得出：
故选A.
7、B
【分析】由S△CDE ：S△BDE＝1：3得CD：BD＝1：3，进而得到CD：BC＝1：4，然后根据DE∥AB可得△CDE∽△CAB，利用相似三角形的性质得到，然后根据面积和差可求得答案.
【详解】解：过点H作EH⊥BC交BC于点H，
∵S△CDE ：S△BDE＝1：3，
∴CD：BD＝1：3，
∴CD：BC＝1：4，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴，
∵S△ABC＝S△CDE＋S△BDE＋S△ABE，
∴S△CDE：S△ABE ＝1：12，
故选：B．
本题综合考查相似三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，解题关键是掌握相似三角形的判定与性质．
8、C
【分析】根据中位数的定义求解可得．
【详解】原来这组数据的中位数为＝2，
无论去掉哪个数据，剩余三个数的中位数仍然是2，
故选：C．
此题考查数据平均数、众数、中位数方差的计算方法，掌握正确的计算方法才能解答.
9、B
【分析】根据二次根式有意义的条件可得 ，再解不等式即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故选：B．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
10、C
【分析】根据根与系数的关系即可求出的值．
【详解】解：∵、是一元二次方程的两个实数根
∴
故选C．
此题考查的是根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和=是解决此题的关键．
11、A
【解析】试题分析：S△AEF=AE×AF=，S△DEG=DG×DE=×1×（3﹣x）=，S五边形EFBCG=S正方形ABCD﹣S△AEF﹣S△DEG==，则y=4×（）=，∵AE＜AD，∴x＜3，综上可得：（0＜x＜3）．故选A．
考点：动点问题的函数图象；动点型．
12、D
【解析】分析：先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．
详解：∵五边形的内角和为（5﹣2）•180°=540°，∴正五边形的每一个内角为540°÷5=18°，如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1=360°﹣18°×3=360°﹣324°=36°，360°÷36°=1．∵已经有3个五边形，∴1﹣3=7，即完成这一圆环还需7个五边形．
故选D．
点睛：本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的3个正五边形．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、①③④
【分析】根据矩形的性质和余角的性质可判断①；延长CB，FE交于点G，根据ASA可证明△AEF≌△BEG，可得AF=BG，EF=EG，进一步即可求得AF、BC与CF的关系，S△CEF与S△EAF+S△CBE的关系，进而可判断②与③；由，结合已知和锐角三角函数的知识可得，进一步即可根据AAS证明结论④；问题即得解决．
【详解】解：∵，，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∴，
，所以①正确；
延长CB，FE交于点G，如图，
在△AEF和△BEG中，∵∠FAE=∠GBE=90°，AE=BE，∠AEF=∠BEG，
∴△AEF≌△BEG（ASA），∴AF=BG，EF=EG，∴S△CEG=S△CEF，
∵CE⊥EG，∴CG=CF，∴AF+BC=BG+BC=CG=CF，所以②错误；
∴S△CEF=S△CEG=S△BEG+S△CBE=S△EAF+S△CBE，所以③正确；
若，则，，，
在和中，∵∠CEF=∠D=90°，，CF=CF，≌，所以④正确．
综上所述，正确的结论是①③④．
故答案为：①③④．
本题考查了矩形的性质、余角的性质、全等三角形的判定和性质以及锐角三角函数等知识，综合性较强，属于常考题型，正确添加辅助线、熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
14、
【分析】根据圆内接四边形的性质，证得是等边三角形，再利用三角函数即可求得答案.
【详解】如图，连接BD，过点O作OF⊥BD于F，
∵四边形是的内接四边形，且AB=AD=8，∠DCE=60，
∴∠DCE=∠A=60，∠BOD=2∠A=120，
∴是等边三角形，AB=AD=BD= 8，
∵OB=OD，OF⊥BD，
∴∠BOF=BF=，
∴.
故答案为：.
本题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形函数的应用等知识，运用“圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角”证得∠A=60是解题的关键.
15、n
【分析】连接A1An,根据全等三角形的性质得到∠AB1B2=∠A2B2B3，根据平行线的判定得到A1B1∥A2B2，又根据A1B1=A2B2，得到四边形A1B1B2A2是平行四边形，从而得到A1A2∥B1B2，从而得出A1An∥B1B2，然后根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：连接A1An,根据全等三角形的性质得到∠AB1B2=∠A2B2B3，
∴A1B1∥A2B2，
又A1B1=A2B2，
∴四边形A1B1B2A2是平行四边形.
∴A1A2∥B1B2，A1A2=B1B2=A2A3,
同理可得，A2A3=A3A4 =A4A5=…= An-1An.
根据全等易知A1，A2，A3，…,An共线，
∴A1An∥B1B2，
∴PnB1B2∽△PnAnA1，
,
又A1Pn+PnB2=A1B2，
∴.
故答案为：n.
本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
16、
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，进而得出CD的长，再求出AD,BD的长，由点与圆的位置关系即可得出结论．
【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=3，BC=，
∴AB==1．
∵CD⊥AB，∴CD=．
∵AD•BD=CD2，
设AD=x，BD=1-x，得x(1-x)=,
又AD＞BD,解得x1=(舍去),x2=.
∴AD=,BD=.
∵点A在圆外，点B在圆内，
∴BD＜r＜AD,
∴r的范围是，
故答案为：．
本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．
17、0＜b＜
【分析】画出图象，利用图象法解决即可．
【详解】解：将抛物线y＝﹣x2﹣4x（﹣4≤x≤0）沿y轴折叠后得另一条抛物线为y＝﹣x2+4x（0≤x≤4）
画出函数如图，
由图象可知，
当直线y＝x+b经过原点时有两个公共点，此时b＝0，
解，整理得x2﹣3x+b＝0，
若直线y＝x+b与这两条抛物线共有3个公共点，
则△＝9﹣4b＞0，
解得
所以，当0＜b＜时，直线y＝x+b与这两条抛物线共有3个公共点，
故答案为．
本题考查了二次函数图像的折叠问题，解决本题的关键是能够根据题意画出二次函数折叠后的图像，掌握二次函数与一元二次方程的关系.
18、y＝2x2＋1．
【分析】根据左加右减，上加下减的规律，直接得出答案即可．
【详解】解：∵抛物线y＝2x2的图象向上平移1个单位，
∴平移后的抛物线的解析式为y＝2x2＋1．
故答案为：y＝2x2＋1．
考查二次函数的平移问题；用到的知识点为：上下平移只改变点的纵坐标，上加下减．
三、解答题（共78分）
19、 (1)见解析；(2)见解析；(3)旋转中心坐标为.
【分析】（1）依据旋转的性质确定出A1，B1，C1，然后用线段吮吸连接即可得到△A1B1C1；
（2）依据点A的对应点A2坐标为（3，-3），确定出平移的方式，然后根据平移的性质即可画出平移后的△A2B2C2；
（3）连接对应点的连线可发现旋转中心.
【详解】解：(1)如图所示：即为所求；
(2)如图所示：即为所示；
(3)如图，旋转中心坐标为.
本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形.本题也考查了平移作图.
20、（1）；（2）
【分析】（1）过点P作x轴的垂线，求出OP的长，由弧长公式可求出弧长；
（2）作PA⊥x轴于A，QB⊥x轴于B，由旋转的性质得：∠POQ=90°，OQ=OP，由AAS证明△OBQ≌△PAO，得出OB=PA，QB=OA，由点P的坐标为（1，3），得出OB=PA=3，QB=OA=4，即可得出点Q的坐标．
【详解】解：（1）过作轴于，
∵，
∴，
∴点经过的弧长为；
（2）把点绕坐标原点逆时针旋转后得到点，
分别过点、做轴的垂线，
∴，，
∴，
，
，
∴，，
则点的坐标是．
本题考查了坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质和弧长公式；熟练掌握坐标与图形性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
21、（1）证明见解析；（2）①；②证明见解析．
【分析】（1）易证明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，从而得出；
（2）①根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，求出BC边上的高，根据△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的边长．从而，由△AMN∽△AGF和△AMN的MN边上高，△AGF的GF边上高，GF=，根据 MN：GF等于高之比即可求出MN；
②可得出△BGD∽△EFC，则DG•EF=CF•BG；又DG=GF=EF，得GF2=CF•BG，再根据（1），从而得出结论．
【详解】解：（1）在△ABQ和△ADP中，
∵DP∥BQ，
∴△ADP∽△ABQ，
∴，
同理在△ACQ和△APE中，，
∴；
（2）①作AQ⊥BC于点Q．
∵BC边上的高AQ=，
∵DE=DG=GF=EF=BG=CF
∴DE：BC=1：3
又∵DE∥BC
∴AD：AB=1：3，
∴AD=，DE=，
∵DE边上的高为，MN：GF=：，
∴MN：=：，
∴MN=．
故答案为：．
②证明：∵∠B+∠C=90°∠CEF+∠C=90°，
∴∠B=∠CEF，
又∵∠BGD=∠EFC，
∴△BGD∽△EFC，
∴，
∴DG•EF=CF•BG，
又∵DG=GF=EF，
∴GF2=CF•BG，
由（1）得，
∴，
∴，
∵GF2=CF•BG，
∴MN2=DM•EN．
本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是一道综合题目，难度较大．
22、（1）19.5m；（2）2s
【分析】（1）根据抛物线解析式，先求出抛物线的定点，判断小球最高飞行高度，从而判断能否达到19.5m；
（2）根据定点坐标知道，小球飞从地面飞行至最高点需要2s，根据二次函数的对称性，可知从最高落在地面，也需要2s．
【详解】（1）h=20t－
由二次函数可知：抛物线开口向下，且顶点坐标为(2，20)，
可知小球的飞行高度为h=20m>19.5m
所以小球的飞行高度能否达到19.5m；
（2）根据抛物线的对称性可知，小球从最高点落到地面需要的时间与小球从地面上到最高点的时间相等．
因为由二次函数的顶点坐标可知当t=2s时小球达到最高点，
所以小球从最高点到落地需要2s．
本题考查二次函数的实际运用，解题关键是将二次函数转化为顶点式，得出顶点坐标，然后分析求解．
23、（1）米（2）米
【分析】（1）过点A作AH⊥CD于点H，可得四边形ABDH为矩形，根据A处测得电线杆上C处得仰角为30°，在△ACH中求出CH的长度，从而得出CD的长；
（2）然后在Rt△CDE中求出DE的长度，根据等腰三角形的性质，可得出DF=DE，从而得出EF的长．
【详解】解：（1）过作于，由条件知，为矩形，
∴，．
在中，，即，
∴．∴．
∴为米．
（2）∵，，∴，
在中，，，
∴，
∵，，∴，
∴，
∴、之间的距离为米．
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数解直角三角形．
24、（1）y=﹣2x+100；（2）当销售单价为28元或1元时，厂商每月获得的利润为41万元；（3）当销售单价为35元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为510万元．
【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）根据利润=销售量×（销售单价﹣成本），代入代数式求出函数关系式，令利润z=41，
求出x的值；
（3）根据厂商每月的制造成本不超过51万元，以及成本价18元，得出销售单价的取值范
围，进而得出最大利润．
【详解】解：（1）由表格中数据可得：y与x之间的函数关系式为：y=kx+b，
把（20，60），（25，50）代入得：
解得：
故y与x之间的函数关系式为：y=﹣2x+100；
（2）设总利润为z，由题意得，
z=y（x﹣18）
=（﹣2x+100）（x﹣18）
=﹣2x2+136x﹣1800；
当z=41时，
﹣2x2+136x﹣1800=41，
解得：x1=28，x2=1．
答：当销售单价为28元或1元时，厂商每月获得的利润为41万元；
（3）∵厂商每月的制造成本不超过51万元，每件制造成本为18元，
∴每月的生产量为：小于等于=30万件，
y=﹣2x+100≤30，
解得：x≥35，
∵z=﹣2x2+136x﹣1800=﹣2（x﹣34）2+512，
∴图象开口向下，对称轴右侧z随x的增大而减小，
∴x=35时，z最大为：510万元．
当销售单价为35元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为510万元．
本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是根据题意求出二次函数的解析式以及利用增减性求出最值．
25、 (1)12；(2)72；(3).
【分析】（1）根据加权平均数的计算公式计算即可；
（2）用样本中零花钱数额为5元的人数所占比例乘以360°即可；
（3）通过列表，求出所有情况及符合题意的情况有多少种，根据概率的计算公式得出答案即可．
【详解】解：（1）平均数是（元）；
故答案为：12；
（2）一周内的零花钱数额为5元的人数所占的圆心角度数为：；
故答案为：72；
（3）表格如下：
从这5人中选2名共20种情况，刚好选中2名是一男一女有12种情况，所以刚好选中2名是一男一女的概率为，
故答案为．
本题考查加权平均数、统计图表的应用以及树状图或列表法求概率，难度不大，解题的关键是将相关概念应用到实际问题中，解决问题．
26、（1）证明见解析；（2）△ABC的周长为1．
【分析】（1）根据一元二次方程根与判别式的关系即可得答案；
（2）分a为底边和a为腰两种情况，当a为底边时，b=c，可得方程的判别式△=0，可求出k值，解方程可求出b、c的值；当a为一腰时，则方程有一根为1，代入可求出k值，解方程可求出b、c的值，根据三角形的三边关系判断是否构成三角形，进而可求出周长．
【详解】（1）∵判别式△=[-(k+2)]²-4×2k=k²-4k+4=(k-2)²≥0，
∴无论k取任何实数值，方程总有实数根．
（2）当a=1为底边时，则b=c，
∴△=(k-2)²=0，
解得：k=2，
∴方程为x2-4x+4=0，
解得：x1=x2=2，即b=c=2，
∵1、2、2可以构成三角形，
∴△ABC的周长为：1+2+2=1．
当a=1为一腰时，则方程有一个根为1，
∴1-（k+2）+2k=0，
解得：k=1，
∴方程为x2-3x+2=0，
解得：x1=1，x2=2，
∵1+1=2，
∴1、1、2不能构成三角形，
综上所述：△ABC的周长为1．
本题考查一元二次方程根的判别式及三角形的三边关系．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；熟练掌握根与判别式的关系是解题关键．
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