资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形.若，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．③和④相似
2．如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于（ ）
A．100sin35°米 B．100sin55°米 C．100tan35°米 D．100tan55°米
3．对于反比例函数，如果当≤≤时有最大值，则当≥8时，有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值= D．最小值=
4．将以点为位似中心放大为原来的2倍，得到，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点A在反比例函数y=(x＞0)的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，点C在y轴上，则△ABC的面积为( )
A．3 B．2 C． D．1
6．下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．
如图，已知与相切于点，点在上.求证：.
证明：连接并延长，交于点，连接．
∵与相切于点，
∴，
∴．
∵@是的直径，
∴（直径所对的圆周角是90°），
∴，
∴◎.
∵，
∴▲（同弧所对的※相等），
∴．
下列选项中，回答正确的是（ ）
A．@代表 B．◎代表 C．▲代表 D．※代表圆心角
7．如图，AB切⊙O于点B，C为⊙O上一点，且OC⊥OA，CB与OA交于点D，若∠OCB＝15°，AB＝2，则⊙O的半径为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
8．关于x的一元二次方程(m－2)x2＋(2m＋1)x＋m－2＝0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是( )
A．m＞ B．m＞且m≠2 C．－≤m≤2 D．＜m＜2
9．下图是用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，对其对称性表述，正确的是（ ）
A．轴对称图形 B．中心对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形 D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形
10．如图，AD是半圆的直径，点C是弧BD的中点，∠BAD=70°，则∠ADC等于（ ）
A．50° B．55° C．65° D．70°
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径等于_____cm．
12．菱形边长为4，，点为边的中点，点为上一动点，连接、，并将沿翻折得，连接，取的中点为，连接，则的最小值为_____．
13．某校开展“节约每滴水”活动，为了了解开展活动一个月以来节约用水情况，从九年级的400名同学中选取20名同学统计了各自家庭一个月节约用水情况，如下表：
节水量（）
0.2
0.25
0.3
0.4
家庭数（个）
4
6
3
7
请你估计这400名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是_________．
14．二次函数的图象与y轴的交点坐标是__．
15．将方程化成一般形式是______________．
16．某化肥厂一月份生产化肥500吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产化肥1750吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可列方程为_______．
17．直角三角形ABC中，∠B＝90°，若cosA＝，AB＝12，则直角边BC长为___．
18．如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD．若AC＝2，则cosD＝________.
三、解答题(共66分)
19．（10分）已知：如图，四边形ABCD是矩形，过点D作DF∥AC交BA的延长线于点F．
（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；
（2）若AB＝3，DF＝5，求△AEC的面积．
20．（6分）如图，在直角三角形△ABC中，∠BAC＝90°，点E是斜边BC的中点，圆O经过A、C、E三点，F是弧EC上的一个点，且∠AFC＝36°，则∠B＝______.
21．（6分）若关于x的方程有两个相等的实数根
（1）求b的值；
（2）当b取正数时，求此时方程的根，
22．（8分）一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回，搅匀，大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于0.2，求n的值；
（2）若，小明两次摸球（摸出一球后，不放回，再摸出一球），请用树状图画出小明摸球的所有结果，并求出两次摸出不同颜色球的概率．
23．（8分）如图，某居民楼的前面有一围墙，在点处测得楼顶的仰角为，在处测得楼顶的仰角为，且的高度为2米，之间的距离为20米（，，在同一条直线上）.
（1）求居民楼的高度.
（2）请你求出、两点之间的距离.（参考数据：，，，结果保留整数）
24．（8分）如图:在平面直角坐标系中，点.
(1)尺规作图:求作过三点的圆;
(2)设过三点的圆的圆心为M，利用网格，求点M的坐标;
(3)若直线与相交，直接写出的取值范围.
25．（10分）用适当的方法解方程
（1）4（x-1）2=9
（2）
26．（10分）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为15m的住房墙，另外三边用27m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长，宽分别为多少米时，猪舍面积为96m2？
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【解析】由题图可知，，由，可得 即可得出
【详解】由题图可知，，结合，可得.
故选B.
当题中所给条件中有两个三角形的两边成比例时，通常考虑利用“两边成比例且夹角相等”的判定方法判定两个三角形相似一定要记准相等的角是两边的“夹角”，否则，结论不成立（类似判定三角形全等的方法“SAS"）.
2、C
【分析】根据正切函数可求小河宽PA的长度．
【详解】∵PA⊥PB，PC=100米，∠PCA=35°，
∴小河宽PA=PCtan∠PCA=100tan35°米．
故选C．
考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
3、D
【解析】解：由当时有最大值，得时，，，
反比例函数解析式为，
当时，图象位于第四象限，随的增大而增大，
当时，最小值为
故选D．
4、C
【分析】根据位似图形都是相似图形，再直接利用相似图形的性质：面积比等于相似比的平方计算可得．
【详解】）∵将△OAB放大到原来的2倍后得到△OA′B′，
∴S△OAB：S△OA′B′=1：4.
故选：C.
本题考查位似图形的性质，解题关键是首先掌握位似图形都是相似图形 ．
5、C
【分析】连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB=S△CAB，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△OAB=|k|，便可求得结果．
【详解】解：连结OA，如图，
∵AB⊥x轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB=S△CAB，
而S△OAB=|k|=，
∴S△CAB=，
故选C．
本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
6、B
【分析】根据圆周角定理和切线的性质以及余角的性质判定即可．
【详解】解：由证明过程可知：
A：@代表AE，故选项错误；
B：由同角的余角相等可知：◎代表，故选项正确；
C和D：由同弧所对的圆周角相等可得▲代表∠E，※代表圆周角，故选项错误；
故选B.
本题考查了切线的性质，圆周角定理，余角的性质等知识点，熟记知识点是解题的关键．
7、B
【分析】连接OB，由切线的性质可得∠OBA=90°，结合已知条件可求出∠A=30°，因为AB的长已知，所以⊙O的半径可求出．
【详解】连接OB，
∵AB切⊙O于点B，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
∵OC⊥OA，∠OCB＝15°，
∴∠CDO＝∠ADO＝75°，
∵OC＝OB，
∴∠C＝∠OBD＝15°，
∴∠ABD＝75°，
∴∠ADB＝∠ABD＝75°，
∴∠A＝30°，
∴BO＝AO，
∵AB＝2，
∴BO2+AB2＝4OB2，
∴BO＝2，
∴⊙O的半径为2，
故选：B．
本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，求出∠A=30°，是解题的关键．
8、D
【解析】试题分析：根据题意得且△=，解得且，
设方程的两根为a、b，则=，，而，∴，即，∴m的取值范围为．故选D．
考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．
9、B
【分析】根据轴对称和中心对称图形的概念判断即可．
【详解】“赵爽弦图”是中心对称图形，但不是轴对称图形，
故选：B．
本题主要考查轴对称和中心对称，会判断轴对称图形和中心对称图形是解题的关键．
10、B
【解析】连接BD，根据直径所对的圆周角为直角可得∠ABD=90°，即可求得∠ADB=20°，再由圆内接四边形的对角互补可得∠C=110°，因，即可得BC=DC，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠BDC=∠DBC=35°，由此即可得∠ADC=∠ADB+∠BDC=55°．
【详解】解：连接BD，
∵AD是半圆O的直径，
∴∠ABD=90°，
∵∠BAD=70°，
∴∠C=110°，∠ADB=20°，
∵ ，
∴BC=DC，
∴∠BDC=∠DBC=35°，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=55°．
故选B．
本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的对角互补、等腰三角形的性质及三角形的内角和定理等知识，熟练运用相关知识是解决问题的关键.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1．
【分析】把扇形的弧长和圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
【详解】设此圆锥的底面半径为r．
根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得：
2πr，
解得：r=1．
故答案为1．
本题考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
12、
【分析】取BC的中点为H，在HC上取一点I使，相似比为，由相似三角形的性质可得，即当点D、G、I三点共线时，最小，由点D作BC的垂线交BC延长线于点P，由锐角三角函数和勾股定理求得DI的长度，即可根据求解．
【详解】取BC的中点为H，在HC上取一点I使，相似比为
∵G为的中点
∴
∵且相似比为
，
得
当点D、G、I三点共线时，最小
由点D作BC的垂线交BC延长线于点P
即
由勾股定理得
故答案为：．
本题考查了线段长度的最值问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理、锐角三角函数、勾股定理是解题的关键．
13、1
【分析】先计算这20名同学各自家庭一个月的节水量的平均数，即样本平均数，然后乘以总数400即可解答．
【详解】解：20名同学各自家庭一个月平均节约用水是：
（0.2×4+0.25×6+0.3×3+0.4×7）÷20=0.3（m3），
因此这400名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是：
400×0.3=1（m3），
故答案为：1．
本题考查了通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可，关键是求出样本的平均数．
14、（0，3）
【分析】令x=0即可得到图像与y轴的交点坐标.
【详解】当x=0时，y=3，∴图象与y轴的交点坐标是（0，3）
故答案为：（0，3）.
此题考查二次函数图像与坐标轴的交点坐标，图像与y轴交点的横坐标等于0，与x轴交点的纵坐标等于0，依此列方程求解即可.
15、
【分析】先将括号乘开，再进行合并即可得出答案.
【详解】x2-6x+4+x+1=0，
.
故答案为：.
本题考查了一次二次方程的化简，注意变号是解决本题的关键.
16、500+500（1+x）+500（1+x）2＝1
【解析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），根据二、三月份平均每月的增长为x，则二月份的产量是500（1+x）吨，三月份的产量是500（1+x）（1+x）=500（1+x）2，再根据第一季度共生产钢铁1吨列方程即可．
【详解】依题意得二月份的产量是500（1+x），
三月份的产量是500（1+x）（1+x）=500（1+x）2，
∴500+500（1+x）+500（1+x）2=1．
故答案为：500+500（1+x）+500（1+x）2=1．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，能够根据增长率分别表示出各月的产量，这里注意已知的是一季度的产量，即三个月的产量之和．
17、1
【分析】先利用三角函数解直角三角形，求得AC＝20，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵在直角三角形ABC中，∠B＝90°，cosA＝，AB＝12，
∴cosA＝＝＝，
∴AC＝20，
∴BC＝＝＝1．
故答案是：1．
此题主要考查勾股定理、锐角三角函数的定义，正确理解锐角三角函数的定义是解题关键．
18、
【解析】试题分析：连接BC，∴∠D=∠A，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AB=3×2=6，AC=2，∴cosD=cosA===．故答案为．
考点：1．圆周角定理；2．解直角三角形．
三、解答题(共66分)
19、（1）见解析；（2）1
【分析】(1)根据矩形ABCD的性质得出DC∥BF,又由DF∥AC即可得出四边形ACDF是平行四边形;
(2)根据(1)中的证明可得AC=DF,AE=ED,利用勾股定理解出BC,从而得出AE,再代入三角形面积公式求出即可．
【详解】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥BF，
∵DF∥AC，
∴四边形ACDF是平行四边形；
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝1，∠B＝90°，
由(1)得：四边形ACDF是平行四边形，
∴AC＝DF＝5，AE＝ED＝AD，
∴BC＝AD＝，
∴AE＝×4＝2，
∴S△AEC＝AE•CD＝×2×1＝1．
本题考查平行四边形的判定和性质、三角形面积的计算,关键在于熟练掌握基础知识并灵活运用．
20、18°
【分析】连接，根据圆周角定理可得出的度数，再由直角三角形的性质得，根据三角形外角的性质即可得出结论.
【详解】解：连接，
点是斜边的中点
是的外角
故答案为：.
本题考查的是圆周角定理，根据题意作辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．
21、（1）b=2或b=；（2）x1=x2=2；
【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案．
（2）由（1）可知b=2，根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【详解】解：（1）由题意可知：△=（b+2）2-4（6-b）=0，
∴
解得：b=2或b=．
（2）当b=2时，
此时x2-4x+4=0，
∴，
∴x1=x2=2；
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
22、（1）；（2）
【分析】（1）利用频率估计概率，则摸到绿球的概率为0.2，然后利用概率公式列方程即可；
（2）画出树状图，然后根据概率公式求概率即可.
【详解】解：（1）∵经过大量实验，摸到绿球的频率稳定于0.2，
∴摸到绿球的概率为0.2
∴
解得：，经检验是原方程的解.
（2）树状图如下图所示：
由树状图可知：共有12种等可能的结果，其中两次摸出不同颜色球的结果共有10种，
故两次摸出不同颜色球的概率为：
此题考查的是利用频率估计概率、画树状图及概率公式，掌握画树状图分析结果和利用概率公式求概率是解决此题的关键.
23、（1）居民楼的高约为22米；（2）、之间的距离约为48米
【分析】（1）过点作，垂足为，设为在中及中，根据三角函数即可求得答案；
（2）方法一：在中，根据，即可求得AE的值．
方法二：在中，根据，即可求得AE的值．
【详解】（1）如图，过点作，垂足为，
∴四边形为矩形，
∴，.
设为.
在中，，
∴，
∴.
在中，，，
∵，
∴，
∴.
答：居民楼的高约为22米.
（2）方法一：由（1）可得.
在中，，
∴，
∴，
即、之间的距离约为46米.
方法二：由（1）得.
在中，，
∴，
∴，
即、之间的距离约为48米.
（注：此题学生算到46或48都算正确）
本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形，得出三角函数的关系是解题的关键.
24、（1）见解析；（2）M(1,3)；（3）
【分析】(1) 作OA和OB的垂直平分线，交点即为圆心，据此作圆即可；
(2)AB的中点即为圆心M，由此可解；
(3)求出半径，即可知直线与相切时a的值，由此可得相交时的取值范围.
【详解】解：(1) 如图即为所要求作的过三点的圆；
作OA和OB的垂直平分线，交点即为圆心，作圆即可.
(2) 由图可知， ∠AOB=，所以AB是所求作圆的直径，
因为AB中点的坐标为(1,3),
即所求圆心M的坐标是(1,3).
（3）由圆心M和圆上任意点可求出半径r=AM=BM=，
∴当a=1-或1+时，直线与相切，
∴当 时，直线与相交.
本题考查了网格作图，圆的有关性质，直线与圆的位置关系，掌握切线时的有关计算是解题的关键.
25、（1），；（2），
【分析】（1）先在方程的两边同时除以4，再直接开方即可；
（2）将常数项移到等式的右边，再两边配上一次项系数的一半可得．
【详解】（1）解：
∴，，
（2）解：
∴，．
本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键．
26、所围矩形猪舍的长为1m、宽为8m
【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为(27﹣2x+1)m．根据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了．
【详解】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为(27﹣2x+1)m，由题意得
x(27﹣2x+1)＝96，
解得：x1＝6，x2＝8，
当x＝6时，27﹣2x+1＝16＞15(舍去)，当x＝8时，27﹣2x+1＝1．
答：所围矩形猪舍的长为1m、宽为8m．
本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键．
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