资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，点A在反比例函数y=(x＞0)的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，点C在y轴上，则△ABC的面积为( )
A．3 B．2 C． D．1
2．已知一元二次方程，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．用小立方块搭成的几何体，从正面看和从上面看的形状图如下，则组成这样的几何体需要的立方块个数为( )
A．最多需要8块，最少需要6块 B．最多需要9块，最少需要6块
C．最多需要8块，最少需要7块 D．最多需要9块，最少需要7块
4．二次函数y=x2-2x+3的最小值是（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
5．如图，、是的两条弦，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．二次函数中与的部分对应值如下表所示，则下列结论错误的是（ ）
-1
0
1
3
-1
3
5
3
A． B．当时，的值随值的增大而减小
C．当时， D．3是方程的一个根
7．全等图形是相似比为1的相似图形，因此全等是特殊的相似，我们可以由研究全等三角形的思路，提出相似三角形的问题和研究方法．这种其中主要利用的数学方法是（ ）
A．代入法 B．列举法 C．从特殊到一般 D．反证法
8．如图，⊙O的半径为2，点A的坐标为，直线AB为⊙O的切线，B为切点，则B点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．已知⊙O的半径为1,点P到圆心的距离为d，若关于x的方程x-2x+d=0有实数根,则点P ( )
A．在⊙O的内部 B．在⊙O的外部 C．在⊙O上 D．在⊙O上或⊙O内部
10．如图所示，在边长为1的小正方形网格中，两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（ ）
A．点O B．点P C．点M D．点N
11．已知下列命题：①等弧所对的圆心角相等；②90°的圆周角所对的弦是直径；③关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则ac< 0；④若二次函数y= 的图象上有两点（－1，y1）、（2，y2），则>；其中真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．在下列函数图象上任取不同两点，，一定能使成立的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O在格点上，则∠AED的正切值为_____．
14．在平面直角坐标系中，已知，，，若线段与互相平分，则点的坐标为______.
15．抛掷一枚质地均匀的硬币2次，2次抛掷的结果都是正面朝上的概率是____．
16．如图，⊙A过点O(0，0)，C(，0)，D(0，1)，点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO、BD，则∠OBD的度数是_____．
17．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__________．
18．经过点（1，﹣4）的反比例函数的解析式是_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，为正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点.
（1）求证：与相切.
（2）若正方形的边长为1，求半径的长.
20．（8分）一个不透明的口袋里装着分别标有数字，，0，2的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验时把小球搅匀.
（1）从中任取一球，求所抽取的数字恰好为负数的概率；
（2）从中任取一球，将球上的数字记为，然后把小球放回；再任取一球，将球上的数字记为，试用画树状图（或列表法）表示出点所有可能的结果，并求点在直线上的概率.
21．（8分）抛物线经过点O（0，0）与点A（4，0），顶点为点P，且最小值为-1．
（1）求抛物线的表达式；
（1）过点O作PA的平行线交抛物线对称轴于点M，交抛物线于另一点N，求ON的长；
（3）抛物线上是否存在一个点E，过点E作x轴的垂线，垂足为点F，使得△EFO∽△AMN，若存在，试求出点E的坐标；若不存在请说明理由．
22．（10分）某市计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为米3，某运输公司承办了这项工程运送土石方的任务．
（1）完成运送任务所需的时间（单位：天）与运输公司平均每天的工作量（单位：米3/天）之间具有怎样的函数关系？
（2）已知这个运输公司现有50辆卡车，每天最多可运送土石方米3，则该公司完成全部运输任务最快需要多长时间？
（3）运输公司连续工作30天后，天气预报说两周后会有大暴雨，公司决定10日内把剩余的土石方运完，平均每天至少增加多少辆卡车？
23．（10分）成都市某景区经营一种新上市的纪念品，进价为20元/件，试营销阶段发现；当销售单价是30元时，每天的销售量为200件；销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少10件.这种纪念品的销售单价为x（元）.
（1）试确定日销售量y（台）与销售单价为x（元）之间的函数关系式；
（2）若要求每天的销售量不少于15件，且每件纪念品的利润至少为30元，则当销售单价定为多少时，该纪念品每天的销售利润最大，最大利润为多少？
24．（10分）如图，在中，直径垂直于弦，垂足为，连结，将沿翻转得到，直线与直线相交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若为的中点，，求的半径长；
（3）①求证：；
②若的面积为，，求的长．
25．（12分）把二次函数表达式化为的形式.
26．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过等边三角形的顶点，，点在反比例函数图象上，连接.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若四边形的面积是，求点的坐标.
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB=S△CAB，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△OAB=|k|，便可求得结果．
【详解】解：连结OA，如图，
∵AB⊥x轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB=S△CAB，
而S△OAB=|k|=，
∴S△CAB=，
故选C．
本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
2、B
【分析】根据题干可以明确得到p,q是方程的两根,再利用韦达定理即可求解.
【详解】解：由题可知p,q是方程的两根,
∴p+q=,
故选B.
本题考查了一元二次方程的概念,韦达定理的应用,熟悉韦达定理的内容是解题关键.
3、C
【分析】易得这个几何体共有3层，由俯视图可知第一层正方体的个数为4，由主视图可知第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3块，第三层只有一块，相加即可.
【详解】由主视图可得：这个几何体共有3层，
由俯视图可知第一层正方体的个数为4，
由主视图可知第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3块，
第三层只有一块，
故：最多为3+4+1=8个
最少为2+4+1=7个
故选C
本题考查由三视图判断几何体，熟练掌握立体图形的三视图是解题关键.
4、B
【解析】试题解析：因为原式=x1-1x+1+1=（x-1）11，
所以原式有最小值，最小值是1．
故选B．
5、C
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出结论．
【详解】解：∵
∴∠BOC=2∠A=60°
故选C．
此题考查的是圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解决此题的关键．
6、C
【分析】根据表格中的数值计算出函数表达式，从而可判断A选项，利用对称轴公式可计算出对称轴，从而判断其增减性，再根据函数图象及表格中y=3时对应的x，可判断C选项，把对应参数值代入即可判断D选项.
【详解】把(－1，－1)，(0，3)，(1，5)代入得，解得，
∴，
A.，故本选项正确；
B.该函数对称轴为直线，且，函数图象开口向下，所以当时，y随x的增大而减小，故本选项正确；
C.由表格可知，当x=0或x=3时，y=3，且函数图象开口向下，所以当y<3时，x<0或x>3，故本选项错误；
D.方程为，把x=3代入得－9+6+3=0，所以本选项正确.
故选：C.
本题考查了二次函数表达式求法，二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质等知识， “待定系数法”是求函数表达式的常用方法，需熟练掌握.
7、C
【分析】根据全等是特殊的相似，即可得到“提出相似三角形的问题和研究方法”是从特殊到一般．
【详解】∵全等图形是相似比为1的相似图形，全等是特殊的相似，
∴由研究全等三角形的思路，提出相似三角形的问题和研究方法，是从特殊到一般的数学方法．
故选C．
本题主要考查研究相似三角形的数学方法，理解相似三角形和全等三角形的联系，是解题的关键．
8、D
【解析】过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
∵⊙O的半径为2，点A的坐标为，即OC=2.
∴AC是圆的切线.
∵OA=4，OC=2，
∴∠AOC=60°.
又∵直线AB为⊙O的切线，
∴∠AOB=∠AOC=60°.
∴∠BOD=180°－∠AOB-∠AOC=60°.
又∵OB=2，∴OD=1，BD=，即B点的坐标为.故选D.
9、D
【分析】先根据条件x 2 -2x+d=0有实根得出判别式大于或等于0，求出d的范围，进而得出d与r的数量关系，即可判断点P和⊙O的关系..
【详解】解：∵关于x的方程x 2 -2x+d=0有实根，
∴根的判别式△=（-2） 2 -4×d≥0，
解得d≤1，
∵⊙O的半径为r=1,
∴d≤r
∴点P在圆内或在圆上.
故选：D.
本题考查了点和圆的位置关系，由点到圆心的距离和半径的数量关系对点和圆的位置关系作出判断是解答此题的重要途径，即当d>r时，点在圆外，当d=r时，点在圆上，当d<r时，点在圆内.
10、B
【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上．
【详解】解：位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，所以位似中心(如图)在M、N所在的直线上，点P在直线MN上，所以点P为位似中心．
故选：B．
此题主要考查了位似变换的性质，利用位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，得出位似中心在M、N所在的直线上是解题关键．
11、B
【分析】利用圆周角定理、一元二次方程根的判别式及二次函数的增减性分别判断正误后即可得到正确的选项．
【详解】解：①等弧所对的圆心角也相等，正确，是真命题；
②90°的圆周角所对的弦是直径，正确，是真命题；
③关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，
则b2－ac＞0，但不能够说明ac< 0，所以原命题错误，是假命题；
④若二次函数的图象上有两点（－1，y1）（2，y2），则y1＞y2，不确定，因为a 的正负性不确定，所以原命题错误，是假命题；
其中真命题的个数是2，
故选：B．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆周角定理、一元二次方程根的判别式及二次函数的增减性，难度不大．
12、B
【分析】根据各函数的增减性依次进行判断即可．
【详解】A.∵k=3>0
∴y随x的增大而增大,即当x ₂﹥ x ₁时,必有y ₂﹥ y ₁.
∴当x≤0时,﹥0
故A选项不符合;
B. ∵抛物线开口向下,对称轴为直线x=1 ，
∴当x≥1时y随x的增大而减小,即当x ₂﹥ x ₁时,必有y ₂﹤ y ₁
∴当x≥1时,＜0
故B选项符合;
C. 当x>0时,y随x的增大而增大,即当x ₂﹥ x ₁时,必有y ₂﹥ y ₁.
此时﹥0
故C选项不符合;
D. ∵抛物线的开口向上,对称轴为直线x=2,
当0﹤x﹤2时y随x的增大而减小,此时当x ₂﹥ x ₁时,必有y ₂﹤ y ₁，
∴当0﹤x﹤2时,＜0
当x≥2时,y随x的增大而增大,即当x ₂﹥ x ₁时,必有y ₂﹥ y ₁，
此时﹥0
所以当x﹥0时D选项不符合．
故选: B
本题考查的是一次函数、反比例函数、二次函数的增减性,增减区间的划分是正确解题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、．
【详解】解：根据圆周角定理可得∠AED=∠ABC，所以tan∠AED=tan∠ABC=．
故答案为：．
本题考查圆周角定理；锐角三角函数．
14、
【分析】根据题意画出图形，利用平行四边形的性质得出D点坐标．
【详解】解：如图所示：
∵A（2，3），B（0，1），C（3，1），线段AC与BD互相平分，
∴D点坐标为：（5，3），
故答案为：（5，3）．
此题考查了平行四边形的性质，图形与坐标，正确画出图形是解题关键．
15、
【解析】试题分析：列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．共有正反，正正，反正，反反4种可能，则2次抛掷的结果都是正面朝上的概率为.
故答案为.
考点：概率公式．
16、30°
【解析】根据点的坐标得到OD，OC的长度，利用勾股定理求出CD的长度，由此求出∠OCD的度数；由于∠OBD和∠OCD是弧OD所对的圆周角，根据“同弧所对的圆周角相等”求出∠OBD的度数.
【详解】连接CD.
由题意得∠COD=90°，
∴CD是⊙A的直径.
∵D（0，1），C（，0），
∴OD=1，OC=，
∴CD==2，
∴∠OCD=30°，
∴∠OBD=∠OCD=30°.（同弧或等弧所对的圆周角相等）
故答案为30°.
本题考查圆周角定理以及推论，可以结合圆周角进行解答.
17、k＞﹣1且k≠1．
【解析】由关于x的一元二次方程kx2-2x-1=1有两个不相等的实数根，即可得判别式△＞1且k≠1，则可求得k的取值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝1有两个不相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞1，
∴k＞﹣1，
∵x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝1
∴k≠1，
∴k的取值范围是：k＞﹣1且k≠1．
故答案为：k＞﹣1且k≠1．
此题考查了一元二次方程根的判别式的应用．此题比较简单，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞1⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=1⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜1⇔方程没有实数根．
18、﹣
【分析】直接利用反比例函数的性质得出解析式．
【详解】∵反比例函数经过点（1，﹣4），
∴xy＝﹣4，
∴反比例函数的解析式是：y＝﹣．
故答案为：y＝﹣．
本题考查的是反比例函数的性质，是近几年中考的热点问题，要熟练掌握.
三、解答题（共78分）
19、（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据正方形的性质可知，AC是角平分线，再根据角平分线的性质进行证明即可；
（2）根据正方形的边长求出AC的长，再根据等腰直角三角形的性质得出
即可求出.
【详解】解：（1）如图，连接，过点作于点，
∵与相切，∴
∵四边形是正方形，
∴平分，∴，
∴与相切.
（2）∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
∴.
又，
∴，解得.
本题主要考查了正方形的性质和圆的切线的性质和判定，还运用了数量关系来证明圆的切线的方法.
20、（1）所抽取的数字恰好为负数的概率是；（2）点（x，y）在直线y＝﹣x﹣1上的概率是．
【分析】（1）四个数字中负数有2个，根据概率公式即可得出答案；
（2）根据题意列表得出所有等可能的情况数，找出点（x，y）落在直线y=-x-1上的情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】（1）∵共有4个数字，分别是﹣3，﹣1，0，2，其中是负数的有﹣3，﹣1，
∴所抽取的数字恰好为负数的概率是＝；
（2）根据题意列表如下：
﹣3
﹣1
0
2
﹣3
（﹣3，﹣3）
（﹣1，﹣3）
（0，﹣3）
（2，﹣3）
﹣1
（﹣3，﹣1）
（﹣1，﹣1）
（0，﹣1）
（2，﹣1）
0
（﹣3，0）
（﹣1，0）
（0，0）
（2，0）
2
（﹣3，2）
（﹣1，2）
（0，2）
（2，2）
所有等可能的情况有16种，其中点（x，y）在直线y＝﹣x﹣1上的情况有4种，
则点（x，y）在直线y＝﹣x﹣1上的概率是＝．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21、（1）抛物线的表达式为，（或）；（1）；（3）抛物线上存在点E，使得△EFO∽△AMN，这样的点共有1个，分别是（，）和（，）．
【分析】（1）由点O（0，0）与点A（4，0）的纵坐标相等，可知点O、A是抛物线上的一对对称点，所以对称轴为直线x=1，又因为最小值是-1，所以顶点为（1，-1），利用顶点式即可用待定系数法求解；
（1）设抛物线对称轴交轴于点D、N（,），先求出=45°，由ON∥PA，依据平行线的性质得到=45°，依据等腰直角三角形两直角边的关系可得到=，解出即可得到点N的坐标，再运用勾股定理求出ON的长度；
（3）先运用勾股定理求出AM和OM，再用ON-OM得MN，运用相似三角形的性质得到EF：FO的值，设E（，），分点E在第一象限、第二或四象限讨论，依据EF：FO=1
:1列出关于m的方程解出即可.
【详解】解：（1）∵抛物线经过点O（0，0）与点A（4，0），
∴对称轴为直线x=1，
又∵顶点为点P，且最小值为-1,，
∴顶点P（1，-1）,
∴设抛物线的表达式为
将O（0，0）坐标代入，解得
∴抛物线的表达式为，即；
（1）设抛物线对称轴交轴于点D，
∵顶点P坐标为（1，-1），
∴点D坐标为（1，0）
又∵A（4，0），
∴△ADP是以为直角的等腰直角三角形，=45°
又∵ON∥PA ，
∴=45°
∴若设点N的坐标为（,）则=
解得，
∴点N的坐标为（，）
∴
（3）抛物线上存在一个点E，使得△EFO∽△AMN，理由如下：
连接PO、AM，
∵=45°，=90°,
∴，
又∵由点D坐标为（1，0），得OD=1，
∴，
又∵=90°,由A（4，0），D（1，0）得AD=1，
∴,
同理可得,
∴,
∴AM：MN=： =1：1
∵△EFO∽△AMN
∴EF：FO=AM：MN=1：1
设点E的坐标为（，）（其中），
①当点E在第一象限时，，
解得，此时点E的坐标为（，），
②当点E在第二象限或第四象限时，，
解得，此时点E的坐标为（，）
综上所述，抛物线上存在一个点E，使得△EFO∽△AMN，这样的点共有1个，分别是（，）和（，）．
本题是二次函数综合题，考查了运用待定系数法求解析式，运用勾股定理求线段长度，二次函数中相似的存在性问题，解题的关键是用点的坐标求出线段长度，并根据线段之间的关系，建立方程解出得到点的坐标.
22、（1）；（2）该公司完成全部运输任务最快需要50天；（3）每天至少增加50辆卡车．
【分析】（1）根据“平均每天的工作量×工作时间=工作总量”即可得出结论；
（2）根据“工作总量÷平均每天的工作量=工作时间” 即可得出结论；
（3）先求出30天后剩余的工作量，然后利用剩余10天每天的工作量÷每辆汽车每天的工作量即可求出需要多少辆汽车，从而求出结论．
【详解】解：（1）由题意得：，
变形，得；
（2）当时，，
答：该公司完成全部运输任务最快需要50天．
（3）
辆，
辆
答：每天至少增加50辆卡车．
此题考查的是反比例函数的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．
23、（1）；（2）当销售单价定为50元时，该纪念品每天的销售利润最大，最大利润为3000元.
【分析】（1）利用“实际销售量=原销售量-10×”可得日销售量y（台）与销售单价为x（元）之间的函数关系式；
（2））设每天的销售利润为w元，按照每件的利润乘以实际销量可得w与x之间的函数关系式，根据每天的销售量不少于15件，且每件纪念品的利润至少为30元求出x的取值范围，利用二次函数的性质可得答案；
【详解】（1）；
（2）设每天的销售利润为w元.
则
，
∵，
∴，
∵且对称轴为：直线，
∴抛物线开口向下，在对称轴的右侧，w随着x的增大而减小，
∴当时，w取最大值为3000元.
答：当销售单价定为50元时，该纪念品每天的销售利润最大，最大利润为3000元.
本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，以及一元一次不等式组的应用，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键.
24、（1）见解析；（2）的半径为2；（3）①见解析；②．
【分析】（1）连接OC，由OA=OC得，根据折叠的性质得∠1=∠3，∠F=∠AEC=90°，则∠2=∠3，于是可判断OC∥AF，根据平行线的性质得，然后根据切线的性质得直线FC与⊙O相切；
（2）首先证明△OBC是等边三角形，在Rt△OCE中，根据OC2=OE2+CE2，构建方程即可解决问题；
（3）①根据等角的余角相等证明即可；
②利用圆的面积公式求出OB，由△GCB∽△GAC，可得，由此构建方程即可解决问题；
【详解】解：（1）证明：连结，则，
，
，
，
又，
即直线垂直于半径，且过的外端点，
是的切线；
（2）点是斜边的中点，
，
是等边三角形，且是的高，
在中，
，即
解得，即的半径为2；
（3）①∵OC=OB，
∴，
，，
．
②，
，
由①知：，
，即，
，
解得：．
本题属于圆综合题，考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．
25、
【分析】本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式即可．
【详解】解：
=x2-4x+4-4+c
=（x-2）2+c-4，
故答案为．
本题考查了二次函数解析式的三种形式：
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y=a（x-h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y=a（x-x1）（x-x2）．
26、（1）（2）
【解析】（1）先求出B的坐标，根据系数k的几何意义即可求得k=，从而求得反比例函数的表达式；
（2）根据题意可，求出，再设，求出t，即可解答
【详解】（1），
反比例函数的表达式为
（2）
设
此题考查了反比例函数解析式，不规则图形面积.，解题关键在于求出B的坐标
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