资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝2，CD＝1，则△ABC的边长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．关于的一元一次方程的解为，则的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．一元二次方程x2+4x＝﹣3用配方法变形正确的是（ ）
A．（x﹣2）＝1 B．（x+2）＝1 C．（x﹣2）＝﹣1 D．（x+2）＝﹣1
4．如图，在矩形ABCD中(AD＞AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是( )
A．△AFD≌△DCE B．AF＝AD
C．AB＝AF D．BE＝AD﹣DF
5．某天的体育课上，老师测量了班级同学的身高，恰巧小明今日请假没来，经过计算得知，除了小明外，该班其他同学身高的平均数为172，方差为，第二天，小明来到学校，老师帮他补测了身高，发现他的身高也是172，此时全班同学身高的方差为，那么与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法判断
6．如图，在矩形中，，垂足为，设，且，则的长为（ ）
A．3 B． C． D．
7．关于抛物线y＝x2+6x﹣8，下列选项结论正确的是（ ）
A．开口向下 B．抛物线过点(0，8)
C．抛物线与x轴有两个交点 D．对称轴是直线x＝3
8．已知点C为线段AB延长线上的一点，以A为圆心，AC长为半径作⊙A，则点B与⊙A的位置关系为（ ）
A．点B在⊙A上 B．点B在⊙A外 C．点B在⊙A内 D．不能确定
9．下列成语所描述的事件是不可能事件的是（ ）
A．日行千里 B．守株待兔 C．水涨船高 D．水中捞月
10．已知是一元二次方程的一个解，则m的值是
A．1 B． C．2 D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知线段a，b，c，d成比例线段，其中a=3cm，b=4cm，c=6cm，则d=_____cm；
12．抛物线y=ax2-4ax+4(a≠0)与y轴交于点A．过点B(0,3)作y轴的垂线l，若抛物线y=ax2-4ax+4(a≠0)与直线l有两个交点，设其中靠近y轴的交点的横坐标为m，且│m│<1，则a的取值范围是______．
13．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是 ．
14．一元二次方程x2=x的解为 ．
15．如图，原点O为平行四边形A．BCD的对角线A．C的中点，顶点A，B，C，D的坐标分别为(4，2)，(，b)，(m，n)，(－3，2)．则（m+n）（+b）=__________．
16．把多项式分解因式的结果是__________．
17．设分别为一元二次方程的两个实数根，则______．
18．一个4米高的电线杆的影长是6米，它临近的一个建筑物的影长是36米．则这个建筑的高度是_____m．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，一次函数y1＝k1x+b（k1、b为常数，k1≠0）的图象与反比例函数y2＝（k2≠0）的图象交于点A（m，1）与点B（﹣1，﹣4）．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象说明，当x为何值时，k1x+b﹣＜0；
（3）若动点P是第一象限内双曲线上的点（不与点A重合），连接OP，过点P作y轴的平行线交直线AB于点C，连接OC，若△POC的面积为3，求点P的坐标．
20．（6分）国庆期间，某风景区推出两种旅游观光活动付费方式：若人数不超过20人，人均缴费500元；若人数超过20人，则每增加一位旅客，人均收费降低10元，但是人均收费不低于350元．现在某单位在国庆期间组织一批贡献突出的职工到该景区旅游观光，支付了12000元观光费，请问：该单位一共组织了多少位职工参加旅游观光活动？
21．（6分）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，a=2. 求b和c.
22．（8分）用合适的方法解方程：
（1）；
（2）．
23．（8分）计算：
（1）sin30°-（5- tan75°）0 ； （2） 3 tan230°-sin45°＋sin60°．
24．（8分）如图，某市有一块长为（3a+b）米、宽为（2a+b）米的长方形地，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为（a+b）米的正方形雕像．
（1）试用含a、b的式子表示绿化部分的面积（结果要化简）．
（2）若a=3，b=2，请求出绿化部分的面积．
25．（10分）如图，抛物线与坐标轴分别交于，，三点，连接，．
（1）直接写出，，三点的坐标；
（2）点是线段上一点（不与，重合），过点作轴的垂线交抛物线于点，连接．若点关于直线的对称点恰好在轴上，求出点的坐标；
（3）在平面内是否存在一点，使关于点的对称（点，，分别是点，，的对称点）恰好有两个顶点落在该抛物线上？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
26．（10分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，点两点，交轴于点.
(1)求、的值.
(2)请根据图象直接写出不等式的解集.
(3)轴上是否存在一点，使得以、、三点为顶点的三角形是为腰的等腰三角形，若存在，请直接写出符合条件的点的坐标，若不存在，请说明理由.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】根据等边三角形性质求出AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，推出∠BAP＝∠DPC，即可证得△ABP∽△PCD，据此解答即可，．
【详解】∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，
∴∠BAP+∠APB＝180°﹣60°＝120°，
∵∠APD＝60°，
∴∠APB+∠DPC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BAP＝∠DPC，
即∠B＝∠C，∠BAP＝∠DPC，
∴△ABP∽△PCD；
∴
∵BP＝2，CD＝1，
∴
∴AB＝1，
∴△ABC的边长为1．
故选：B．
本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△ABP∽△PCD，主要考查了学生的推理能力和计算能力.
2、D
【分析】满足题意的有两点，一是此方程为一元一次方程，即未知数x的次数为1；二是方程的解为x=1,即1使等式成立，根据两点列式求解.
【详解】解：根据题意得，
a-1=1,2+m=2,
解得，a=2,m=0,
∴a-m=2.
故选：D.
本题考查一元一次方程的定义及方程解的定义，对定义的理解是解答此题的关键.
3、B
【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案．
【详解】解：∵x2+4x＝﹣3，
∴x2+4x+4＝1，
∴（x+2）2＝1，
故选：B．
本题考查解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
4、B
【解析】A．由矩形ABCD，AF⊥DE可得∠C=∠AFD=90°，AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC．
又∵DE=AD，∴△AFD≌△DCE（AAS），故A正确；
B．∵∠ADF不一定等于30°，∴直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故B错误；
C．由△AFD≌△DCE，可得AF=CD，由矩形ABCD，可得AB=CD，∴AB=AF，故C正确；
D．由△AFD≌△DCE，可得CE=DF，由矩形ABCD，可得BC=AD，又∵BE=BC﹣EC，∴BE=AD﹣DF，故D正确；
故选B．
5、B
【分析】设该班的人数有n人，除小明外，其他人的身高为x1，x2……xn-1，根据平均数的定义可知：算上小明后，平均身高仍为172cm，然后根据方差公式比较大小即可．
【详解】解：设该班的人数有n人，除小明外，其他人的身高为x1，x2……xn-1，
根据平均数的定义可知：算上小明后，平均身高仍为172cm
根据方差公式：
∵
∴即
故选B．
此题考查的是比较方差的大小，掌握方差公式是解决此题的关键．
6、C
【分析】根据同角的余角相等求出∠ADE=∠ACD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ACD，然后求出AC．
【详解】解：∵DE⊥AC，
∴∠ADE+∠CAD=90°，
∵∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠ACD=∠ADE=α，
∵矩形ABCD的对边AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∵cosα=，，
∴AC=．
故选：C．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质，熟记各性质并求出BC是解题的关键．
7、C
【分析】根据△的符号，可判断图像与x轴的交点情况，根据二次项系数可判断开口方向，令函数式中x＝0，可求图像与y轴的交点坐标，利用配方法可求图像的顶点坐标．
【详解】解：A、抛物线y＝x2+6x﹣8中a＝1＞0，则抛物线开口方向向上，故本选项不符合题意．
B、x＝0时，y＝﹣8，抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣8），故本选项不符合题意．
C、△＝62﹣4×1×(-8)＞0，抛物线与x轴有两个交点，本选项符合题意．
D、抛物线y＝x2+6x﹣8＝（x+3）2﹣17，则该抛物线的对称轴是直线x＝﹣3，故本选项不符合题意．
故选：C．
本题主要考查的是二次函数的开口，与y轴x轴的交点，对称轴等基本性质，掌握二次函数的基本性质是解题的关键.
8、C
【分析】根据题意确定AC＞AB，从而确定点与圆的位置关系即可．
【详解】解：∵点C为线段AB延长线上的一点，
∴AC＞AB，
∴以A为圆心，AC长为半径作⊙A，则点B与⊙A的位置关系为点B在⊙A内，
故选：C．
本题考查的知识点是点与圆的位置关系，根据题意确定出AC＞AB是解此题的关键．
9、D
【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
【详解】解：A、日行千里是随机事件，故本选项错误；
B、守株待兔是随机事件，故本选项错误；
C、水涨船高是必然事件，故本选项错误；
D、水中捞月是不可能事件，故本选项正确．
故选：D．
此题考查是不可能事件的判断,掌握不可能事件的定义是解决此题的关键．
10、A
【解析】把x=1代入方程x2+mx﹣2=0得到关于m的一元一次方程，解之即可．
【详解】把x=1代入方程x2+mx﹣2=0得：1+m﹣2=0，解得：m=1．
故选A．
本题考查了一元二次方程的解，正确掌握一元二次方程的解的概念是解题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、3．
【详解】根据题意得：a：b=c：d，
∵a=3cm，b=4cm，c=6cm，
∴3：4=6：d，
∴d=3cm．
考点：3．比例线段；3．比例的性质．
12、a>或a<.
【分析】先确定抛物线的对称轴，根据开口的大小与a的关系，即开口向上时，a>0,且a越大开口越小，开口向下时，a<0,且a越大，开口越大，从而确定a的范围.
【详解】解：如图，观察图形
抛物线y=ax2-4ax+4的对称轴为直线 ,
设抛物线与直线l交点（靠近y轴）为(m,3)，
∵│m│<1，
∴-1<m<1.
当a>0时，若抛物线经过点（1，3）时，开口最大，此时a值最小，
将点（1，3）代入y=ax2-4ax+4，
得，3=a-4a+4
解得a= ,
∴a>;
当a<0时，若抛物线经过点（-1，3）时，开口最大，此时a值最大，
将点（-1，3）代入y=ax2-4ax+4，
得，3=a+4a+4
解得a= ,
∴a<.
a的取值范围是a>或a<.
故答案为：a>或a<.
本题考查抛物线的性质，首先明确a值与开口的大小关系，观察图形，即数形结合的思想是解答此题的关键.
13、24或．
【解析】试题分析：由x2-16x+60=0，可解得x的值为6或10，然后分别从x=6时，是等腰三角形；与x=10时，是直角三角形去分析求解即可求得答案．
考点：一元二次方程的解法；等腰三角形的性质；直角三角形的性质．勾股定理．
14、x1=0，x2=1．
【解析】试题分析：首先把x移项，再把方程的左面分解因式，即可得到答案．
解：x2=x，
移项得：x2﹣x=0，
∴x（x﹣1）=0，
x=0或x﹣1=0，
∴x1=0，x2=1．
故答案为x1=0，x2=1．
考点：解一元二次方程-因式分解法．
15、-6
【分析】易知点A与点C关于原点O中心对称，由平行四边形的性质可知点B和点D关于原点O对称，根据关于原点对称横纵坐标都互为相反数可得点B、点C坐标，求解即可.
【详解】解：根据题意得点A与点C关于原点O中心对称，点B和点D关于原点O对称
故答案为：
本题考查了平面直角坐标系中的中心对称，正确理解题意是解题的关键.
16、
【分析】先提取公因数y，再利用完全平方公式化简即可．
【详解】
故答案为：．
本题考查了多项式的因式分解问题，掌握完全平方公式的性质是解题的关键．
17、1
【分析】先根据m是的一个实数根得出 ，利用一元二次方程根与系数的关系得出 ，然后对原式进行变形后整体代入即可得出答案．
【详解】∵m是一元二次方程的一个实数根，
∴，
即．
由一元二次方程根与系数的关系得出，
∴．
故答案为：1．
本题主要考查一元二次方程的根及根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
18、24米．
【分析】先设建筑物的高为h米，再根据同一时刻物高与影长成正比列出关系式求出h的值即可．
【详解】设建筑物的高为h米，由题意可得：
则4：6=h：36，
解得：h=24（米）．
故答案为24米．
本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）y1＝x﹣3；；（2）x＜﹣1或0＜x＜4；（3）点P的坐标为或（1，4）或（2，2）
【分析】（1）把B点坐标代入反比例函数解析式可求得k2的值，把点A（m，1）代入求得的反比例函数的解析式求得m，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）直接由A、B的坐标根据图象可求得答案；
（3）设点P的坐标为，则C（m，m﹣3），由△POC的面积为3，得到△POC的面积，求得m的值，即可求得P点的坐标．
【详解】解：（1）将B（﹣1，﹣4）代入得：k2＝4
∴反比例函数的解析式为，
将点A（m，1）代入y2得，解得m＝4，
∴A（4，1）
将A（4，1）、B（﹣1，﹣4）代入一次函数y1＝k1x+b得
解得k1＝1，b＝﹣3
∴一次函数的解析式为y1＝x﹣3；
（2）由图象可知：x＜﹣1或0＜x＜4时，k1x+b﹣＜0；
（3）如图：设点P的坐标为，则C（m，m﹣3）
∴，点O到直线PC的距离为m
∴△POC的面积＝，
解得：m＝5或﹣2或1或2，
又∵m＞0
∴m＝5或1或2，
∴点P的坐标为或（1，4）或（2，2）．
本题考查了一次函数和反比例函数的交点，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
20、30
【分析】设该单位一共组织了x位职工参加旅游观光活动，求出当人数为20时的总费用及人均收费10元时的人数，即可得出20＜x＜1，再利用总费用＝人数×人均收费，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】解：设该单位一共组织了x位职工参加旅游观光活动，
∵500×20＝10000（元），10000＜12000，（500﹣10）＝15（人），12000÷10＝34（人），34不为整数，
∴20＜x＜20+15，即20＜x＜1．
依题意，得：x[500﹣10（x﹣20）]＝12000，
整理，得：x2﹣70x+1200＝0，
解得：x1＝30，x2＝40（不合题意，舍去）．
答：该单位一共组织了30位职工参加旅游观光活动．
本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意，找准题中等量关系列出方程是解题的关键.
21、
【分析】根据题意画出图形，结合锐角三角函数的定义选择合适的函数即可。
【详解】∵∠B=60°，a=2
本题考查解直角三角形，根据已知条件选择合适的三角函数是解题的关键。
22、（1）；（2），．
【分析】（1）把方程整理后左边进行因式分解，求方程的解即可；
（2）方程整理配方后，开方即可求出解；
【详解】(1) ，
移项整理得：，
提公因式得：，
∴或，
解得：；
(2) ，
方程移项得：，
二次项系数化成1得：，
配方得：，
即，
开方得：，
解得：．
本题主要考查了解一元二次方程－配方法、因式分解法，熟练掌握一元二次方程的各种解法是解题的关键．
23、（1）﹣（2）
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值和非零的数的零次幂，即可求解；
（2）根据特殊角的三角函数值，即可求解．
【详解】（1）sin30°-（5- tan75°）0=－1=﹣；
（2） 3 tan230°-sin45°＋sin60°
=3×（）2－×＋×
=1－1＋
=．
本题主要考查特殊角的三角函数值和非零的数的零次幂，掌握特殊角的三角函数值，是解题的关键．
24、（1）5a2+3ab；（2）63.
【分析】（1）由长方形面积减去正方形面积表示出绿化面积即可；
（2）将a与b的值代入计算即可求出值．
【详解】解：（1）根据题意得：
（3a+b）（2a+b）-（a+b）2
=6a2+5ab+b2-a2-2ab-b2
=5a2+3ab；
（2）当a=3，b=2时，
原式=.
本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式混合运算的法则是解本题的关键．
25、（1）,,；（2）；（3）存在点或，使关于点的对称恰好有两个顶点落在该抛物线上．
【分析】（1）分别令y=0，x=0，代入，即可得到答案；
（2）由点与点关于直线对称，且点在y轴上，轴，得，易得直线的解析式为：，设点的横坐标为，则，，列出关于t的方程，即可求解；
（3）根据题意，平行于轴，平行于轴，，，点在点的右边，点在点的下方，设点的横坐标为，则的横坐标为，点的横坐标为，分三种情况讨论：①若、在抛物线上，②若、在抛物线上，③，不可能同时在抛物线上，即可得到答案．
【详解】（1）令y=0，代入，得，解得：，
令x=0，代入 ，得: y=3，
∴,,；
（2）∵点与点关于直线对称，且点在y轴上，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，
把,，代入，得：，
∴，
∴直线的解析式为：，
设点的横坐标为，则，，
∴，，
∴，解得：，（舍去），
∴；
（3）根据题意，平行于轴，平行于轴，，，点在点的右边，点在点的下方，设点的横坐标为，则的横坐标为，点的横坐标为．
①若、在抛物线上，则
∴
∴
∵点O与O′关于点P中心对称，即点P 是OO′的中点，
∴；
②若、在抛物线上，则，
解得：，
∴
同①可得：；
③，不可能同时在抛物线上，
综上所述存在点或，使关于点的对称恰好有两个顶点落在该抛物线上．
本题主要考查二次函数，一次函数与几何图形的综合，掌握几何图形的特征与二次函数的性质，是解题的关键．
26、 (1)，；(2)或；(3）存在，点的坐标是或或.
【分析】（1）先把点A(4，3)代入求出m的值，再把A(-2，n)代入求出n即可；
（2）利用图象法即可解决问题，写出直线的图象在反比例函数的图象上方的自变量的取值范围即可；
（3）先求出直线AB的解析式，然后分两种情况求解即可：①当AC=AD时，②当CD=CA时，其中又分为点D在点C的左边和右边两种情况.
【详解】解：（1）∵反比例函数过点点A(4，3)，
∴，
∴，，
把代入得，
∴；
（2）由图像可知，不等式的解集为或；
（3）设直线AB的解析式为y=kx+b，把A(4，3)，B(-2，-6)，代入得
，
解得
，
∴，
当y=0时，，
解得
x=2，
∴C(2，0)，
当AC=AD时，作AH⊥x轴于点H，则CH=4-2=2，
∴CD1=2CH=4，
∴OD1=2+4=6，
∴D1(6，0)，
当CD=CA时，
∵AC==，
∴D2(2+，0)，D3(2-，0)，
综上可知，点的坐标是(6，0)或(2+，0)或(2-，0).
本题考查了待定系数法求反比例函数和一次函数解析式，利用函数图象解不等式，等腰三角形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，以及分类讨论的数学思想.熟练掌握待定系数法和分类讨论的数学思想是解答本题的关键.
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