资源描述
2022-2023学年八下数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．班上数学兴趣小组的同学在元旦时，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了90张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为( )
A．x(x－1)＝90 B．x(x－1)＝2×90 C．x(x－1)＝90÷2 D．x(x＋1)＝90
2．点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．（1，－2） B．（－1，2） C．（-1，－2） D．（2，－1）
3．已知一组数据为2，3，5，7，8，则这组数据的方差为（ ）
A．3 B．4.5 C．5.2 D．6
4．如果一个三角形的两边长分别为2、x、13，x是整数，则这样的三角形有（ ）
A．2个 B．3个 C．5个 D．13个
5．如图，点在上，且，若要使≌，可补充的条件不能是（ ）
A． B．平分 C． D．
6．设正比例函数的图象经过点，且的值随x值的增大而减小，则（ ）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的高，若∠B＝20°，则∠DAC＝（ ）
A．90° B．20° C．45° D．70°
8．学校开展为贫困地区捐书活动，以下是5名同学捐书的册数：2，2，x，4，1．已知这组数据的平均数是4，则这组数据的中位数和众数分别是( )
A．2和2 B．4和2 C．2和3 D．3和2
9．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边在同一条直线上，则图中∠的度数是（ ）
A．75° B．65° C．55° D．45°
10．若一组数据2，0，3，4，6，x的众数为4，则这组数据中位数是( )
A．0 B．2 C．3 D．3.5
11．已知，现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒在两射线上，从开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中为第1根小棒，且，若只能摆放9根小棒，则的度数可以是（ ）
A．6° B．7° C．8° D．9°
12．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=40，CB=9，M、N在AB上且AM=AC，BN=BC，则MN的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、填空题（每题4分，共24分）
13．的相反数是_________.
14．直线与直线平行，且经过点（﹣2，3），则= ．
15．若，，则的值为_________．
16．如图1，在中，．动点从的顶点出发，以的速度沿匀速运动回到点．图2是点运动过程中，线段的长度随时间变化的图象．其中点为曲线部分的最低点．
请从下面A、B两题中任选一作答，我选择________题.
A．的面积是______，B．图2中的值是______．
17．如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形（ab）,将剩下的阴影部分沿图中的虚线剪开，拼接后得到图2，这种变化可以用含字母a，b的等式表示为_________________．
18．商家花费760元购进某种水果80千克，销售中有5%的水果正常损耗，为了避免亏本，售价至少应定为_______元/千克．
三、解答题（共78分）
19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣1）x+k﹣2＝0
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根为正数，求实数k的取值范围．
20．（8分）已知，如图，中，，，，以斜边为底边作等腰三角形，腰刚好满足，并作腰上的高．
（1）求证：；
（2）求等腰三角形的腰长．
21．（8分）2018中国重庆开州汉丰湖国际摩托艇公开赛第二年举办.邻近区县一旅行社去年组团观看比赛，全团共花费9600元.今年赛事宣传工作得力，该旅行社继续组团前来观看比赛，人数比去年增加了，总费用增加了3900元，人均费用反而下降了20元.
（1）求该旅行社今年有多少人前来观看赛事？
（2）今年该旅行社本次费用中，其它费用不低于交通费的2倍，求人均交通费最多为多少元？
22．（10分）如图1，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE⊥BC于点E．
（1）若∠C=80°，∠B=40°，求∠DAE的度数；
（2）若∠C＞∠B，试说明∠DAE=(∠C-∠B)；
（3）如图2，若将点A在AD上移动到A′处，A′E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA′E，请直接回答：（2）中的结论还正确吗？
23．（10分）如图，，，于点．求证：．
24．（10分）甲、乙两人分别从丙、丁两地同时出发，匀速相向而行.甲的速度大于乙的速度，甲到达丁地后，乙继续前行．设出发后，两人相距，图中折线表示从两人出发至乙到达丙地的过程中与之间的函数关系.根据图中信息，求：
（1）点的坐标，并说明它的实际意义；
（2）甲、乙两人的速度．
25．（12分）如图1，两个不全等的等腰直角三角形和叠放在一起，并且有公共的直角顶点.
（1）在图1中，你发现线段的数量关系是______．直线相交成_____度角．
（2）将图1中绕点顺时针旋转90°，连接得到图2，这时（1）中的两个结论是否成立？请作出判断说明理由．
26．如图，AB＝AC，AD＝AE.求证：∠B＝∠C．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【分析】如果设数学兴趣小组人数为x人，每名学生送了（x﹣1）张，共有x人，则一共送了x（x﹣1）张，再根据“共互送了1张贺年卡”，可得出方程为x（x﹣1）＝1．
【详解】设数学兴趣小组人数为x人，每名学生送了（x﹣1）张，共有x人，根据“共互送了1张贺年卡”，可得出方程为x（x﹣1）＝1．
故选A．
本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键是读清题意，找准数量关系，列出方程．
2、A
【分析】利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，-y），进而求出即可．
【详解】点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为：（1，-2）．
故选：A．
此题考查关于x轴对称的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
3、C
【分析】先求出这组数据的平均数，再根据方差公式分别进行计算即可．
【详解】解：这组数据的平均数是：（1+3+5+7+8）÷5＝5，
则方差＝ [（1﹣5）1+（3﹣5）1+（5﹣5）1+（7﹣5）1+（8﹣5）1]＝5.1．
故选C．
此题考查方差，掌握方差公式是解题关键．
4、B
【分析】先根据三角形的三边关系求出x的取值范围，再求出符合条件的x的值即可．
【详解】由题意可得，，
解得，11＜＜15，
∵是整数，
∴为12、13、14；
则这样的三角形有3个，
故选：B．
本题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边；牢记三角形的三边关系定理是解答的关键．
5、D
【分析】根据全等三角形的判定方法即可依次判断．
【详解】A、∵，,
∴∠CAB＝∠DAB，
又AB=AB，
根据AAS即可推出≌，正确，故本选项错误；
B、平分，
∴∠CAB＝∠DAB，
又AB=AB，
根据AAS即可推出≌，正确，故本选项错误；
C、∵∠1＝∠2，1＋∠ABC＝180，∠2＋∠ABD＝180，
∴∠ABC＝∠ABD，
又、AB=AB，
根据SAS即可推出≌，正确，故本选项错误；
D、根据和AB=AB，∠ABC＝∠ABD不能推出≌，错误，故本选项正确；
故选：D．
本题考查了全等三角形的判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
6、B
【分析】先把点带入得，解得m=，再根据正比例函数的增减性判断m的值．
【详解】因为的值随x值的增大而减小，所以m<0即m=-1．
故选B．
考点：曲线上的点与方程、正比例函数的性质．
7、B
【分析】先根据高线和三角形的内角和定理得：，再由余角的性质可得结论．
【详解】
∵AD是△ABC的高
故选：B．
本题考查了直角三角形两锐角互余、三角形的内角和定理等知识点，熟记三角形的相关概念是解题关键．
8、D
【解析】试题分析：根据平均数的含义得：=4，所以x=3；
将这组数据从小到大的顺序排列（2，2，3，4，1），处于中间位置的数是3，那么这组数据的中位数是3；
在这一组数据中2是出现次数最多的，故众数是2．
故选D．
考点：中位数；算术平均数；众数
9、A
【分析】根据三角形的内角和定理、对顶角相等和三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】解:如下图所示
∠1=180°－90°－45°=45°
∴∠2=∠1=45°
∴∠=∠2＋30°=75°
故选A．
此题考查的是三角形的内角和定理、三角形外角的性质和对顶角的性质，掌握三角形的内角和定理、三角形外角的性质和对顶角相等是解决此题的关键．
10、D
【分析】众数为一组数据中出现次数最多的数，由此可确定x的值，再根据中位数是将这组数据按从小到大的顺序排列后最中间的一个数（奇数个数据）或最中间两个数的平均数（偶数个数据）确定这组数据的中位数即可.
【详解】解：这组数据的众数是4，因此x=4，将这组数据从小到大排序后为0,2,3,4,4,6，处在最中间的两个数的平均数为，因此中位数是3.1．
故选：D．
本题考查了中位数和众数，会求一组数据的中位数和众数是解题的关键.
11、D
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质可得∠A2A1A3=2θ，∠A3A2A4=3θ，……，以此类推，可得摆放第9根小棒后，∠A9A8A10=9θ，，由于只能放9根，则且，求得的取值范围即可得出答案．
【详解】∵，
∴∠AA2A1=∠BAC=θ，
∴∠A2A1A3=2θ，
同理可得∠A3A2A4=3θ，……
以此类推，摆放第9根小棒后，∠A9A8A10=9θ，，
∵只能放9根，
∴即，
解得，
故选：D．
本题考查了等腰三角形的性质与三角形的外角性质，熟练掌握等边对等角，以及三角形的外角等于不相邻的两个内角之和，是解题的关键．
12、C
【分析】首先根据Rt△ABC的勾股定理得出AB的长度，根据AM=AC得出BM的长度，然后根据BN=BC得出BN的长度，从而根据MN=BN－BM得出答案．
【详解】∠ACB=90°，AC=40，CB=9
AB===41
又AM=AC，BN=BC
AM=40，BN=9
BM=AB-AM=41-40=1
MN=BN-BM=9-1=8
故选C
考点：勾股定理
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】根据相反数的意义，可得答案．
【详解】− 的相反数是，
故答案为.
本题考查相反数，掌握相反数的定义是关键.
14、1．
【分析】根据两直线平行可得k值相等，进一步求得b的值即可得解.
【详解】∵直线与直线平行，
∴k=﹣1，
∴直线，
把点（﹣1，3）代入得：4+b=3，
∴b=﹣1，
∴kb=1．
故答案为1．
考点：两条直线相交或平行问题．
15、24
【分析】根据同底数幂的乘法逆运算即可求解．
【详解】
故答案为：24
本题考查了同底数幂乘法运算法则，底数不变，指数相加．
16、A． B．
【解析】由图形与函数图像的关系可知Q点为AQ⊥BC时的点，则AQ=4cm,再求出AB=×3s=6cm，利用勾股定理及可求出BQ，从而求出BC，即可求出的面积；再求出的周长，根据速度即可求出m．
【详解】如图，当AQ⊥BC时，AP的长度最短为4，即AQ=4，
AB=×3s=6cm，
∴BQ=
∵
∴BC=2BQ=4
∴的面积为=；
的周长为6+6+4=12+4
∴m=（12+4）÷2=
故答案为： A；或B；．
此题主要考查函数与几何综合，解题的关键是熟知等腰三角形的性质及函数图像的性质．
17、
【解析】图(1)中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为a2−b2；
图(2)中阴影部分为梯形，其上底为2b，下底为2a，高为（a-b）则其面积为(a+b)(a−b)，
∵前后两个图形中阴影部分的面积，
∴.
故答案为.
18、1．
【详解】解：设售价至少应定为x元/千克，
依题可得方程x（1-5%）×80≥760，
解得x≥1
故答案为1．
本题考查一元一次不等式的应用．
三、解答题（共78分）
19、（1）见解析；（1）k＜1．
【分析】（1）先求出△的值，再根据△的意义即可得到结论；
（1）利用求根公式求得，然后根据方程有一根为正数列出关于k的不等式并解答．
【详解】（1）△＝（k﹣1）1﹣4（k﹣1）＝k1﹣1k+1﹣4k+8＝（k﹣3）1
∵（k﹣3）1≥0，
∴方程总有两个实数根．
（1）∵，
∴x1＝﹣1，x1＝1﹣k．
∵方程有一个根为正数，
∴1﹣k＞0，
k＜1．
考查了根的判别式．体现了数学转化思想，属于中档题目．
20、（1）见解析；（2）
【分析】（1）由等腰三角形的性质得出，由平行线的性质得出，得出，由证明，得出；
（2）由（1）得：，，设，则，，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
又，
，
，
在和中，，
，
；
（2）解：由（1）得：，，
设，则，，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
即．
此题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解题的关键．
21、（1）该旅行社今年的有45人前来观看赛事；（2）故人均交通费最多为100元.
【分析】（1）设该旅行社去年有x人前来观看赛事，根据“人数比去年增加了，总费用增加了3900元，人均费用反而下降了20元”列方程，求解即可；
（2）设今年该旅行社本次费用中，人均交通费为x元，根据“其它费用不低于交通费的2倍”，列不等式求解即可．
【详解】（1）设该旅行社去年有人前来观看赛事，根据题意，得：
解得：．
经检验：是原方程的解．
所以，原方程的解为，故：．
答：该旅行社今年的有45人前来观看赛事；
（2）设今年该旅行社本次费用中，人均交通费为元，由题意得：
解得：．
故人均交通费最多为100元．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用．找准相等关系或不等关系是解答本题的关键．
22、（1）∠DAE=15°；（2）见解析；（3）正确．
【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得∠BAD的度数，在△ABE中，利用直角三角形的性质求出∠BAE的度数，从而可得∠DAE的度数．
（2）结合第（1）小题的计算过程进行证明即可．
（3）利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和先用∠B和∠C表示出∠A′DE，再根据三角形的内角和定理可证明∠DA′E=(∠C-∠B)．
【详解】（1）∵∠C=80°，∠B=40°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C =180°-40°-80°=60°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=30°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴∠BAE=50°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD =20°；
（2）理由：∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=(180°-∠B-∠C)= 90°-∠B-∠C，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴∠BAE=90°-∠B，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD
=(90°-∠B) -(90°-∠B-∠C )
=∠C-∠B
=(∠C-∠B)；
（3）（2）中的结论仍正确．
∵∠A′DE=∠B+∠BAD=∠B+∠BAC=∠B+(180°-∠B-∠C) = 90°+∠B-∠C；
在△DA′E中，
∠DA′E=180°-∠A′ED-∠A′DE
=180°-90°-(90°+∠B-∠C)
=(∠C-∠B)．
本题考查了三角形的角平分线和高，三角形的内角和定理，三角形的外角性质等知识，注意综合运用三角形的有关概念是解题关键．
23、证明见解析．
【分析】首先由BE⊥FD，得∠1和∠D互余，再由已知，∠C＝∠1，，所以得∠C＝∠2，从而证得AB∥CD．
【详解】证明：∵BE⊥FD，
∴∠EGD＝90°，
∴∠1＋∠D＝90°，
∵∠2＋∠D＝90°，
∴∠1＝∠2，
已知，
∴∠C＝∠2，
∴AB∥CD．
本题考查的是平行线的判定，解题关键是由BE⊥FD及三角形内角和定理得出∠1和∠D互余．
24、（1）B（1，0），点B的实际意义是甲、乙两人经过1小时相遇；（2）6km/h，4km/h.
【分析】(1)两人相向而行，当相遇时y=0本题可解；
(2)分析图象，可知两人从出发到相遇用1小时，甲由相遇点到丁地只用小时，乙走这段路程要用1小时，依此可列方程．
【详解】(1)设AB解析式为
把已知点P(0，10)，(，)，
代入得，
解得：
∴，
当时，，
∴点B的坐标为(1，0)，
点B的意义是：
甲、乙两人分别从丙、丁两地同时出发后，经过1个小时两人相遇．
(2)设甲的速度为，乙的速度为，
由已知第小时时，甲到丁地，则乙走1小时路程，甲只需要小时，
∴，
∴，
∴甲、乙的速度分别为、．
本题考查一次函数图象性质，解答问题时要注意函数意义．同时，要分析出各个阶段的路程关系，并列出方程．
25、 (1)AC=BD，直线相交成90°；(2)结论成立,详见解析.
【分析】(1)由图可知线段AC，BD相等，且直线AC，BD相交成90°角.
(2)以上关系仍成立.延长CA交BD于点E，根据勾股定理可证得AC=BD，即可证明△AOC≌△BOD，根据两全等三角形对应角的关系，即可证明CE⊥BD.
【详解】(1)因为∆和△是等腰直角三角形,
所以OC=OD,OA=OB,∠O=90°
所以OC-OA=OD-OB,
所以AC=BD，直线相交成90°；
(2)(1)中的两个结论仍然成立，理由如下：
∵∆和∆OCD都是等腰直角三角形
∴OA=OB,OC=OD，∠COD=∠AOB=90°
∴△AOC≌△BOD
∴AC=BD,∠ACO=∠BDO
延长CA交BD于点E.
∵∠DBO+∠BDO=90°
∴∠DBO+∠ACO=90°
∴∠CEB=90°
即：直线AC，BD相交成90度角.
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，涉及到等腰直角三角形的性质、旋转的相关知识点，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
26、证明见解析.
【分析】欲证明∠B＝∠C，只要证明△AEB≌△ADC.
【详解】证明：在△AEB和△ADC中，
，
∴△AEB≌△ADC(SAS)
∴∠B＝∠C.
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件
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