资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．若二次函数的图像与轴有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知一个扇形的半径为60cm，圆心角为180°，若用它做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A．15cm B．20cm C．25cm D．30cm
3．一元二次方程3x2＝8x化成一般形式后，其中二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．3，8 B．3，0 C．3，－8 D．－3，－8
4．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，若旋转角为20°，则∠1为（ ）
A．110° B．120° C．150° D．160°
5．二次三项式配方的结果是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
7．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．2x+y＝1 B．x2+3xy＝6 C．x+＝4 D．x2＝3x﹣2
8．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：3，坡高BC＝20，则坡面AB的长度（ ）
A．60 B．100 C．50 D．20
9．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则线段CD的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
10．把二次函数，用配方法化为的形式为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．关于x的方程x2﹣3x﹣m＝0的两实数根为x1，x2，且，则m的值为_____．
12．如图，将沿方向平移得到，与重叠部分（即图中阴影部分）的面积是面积的，若，则平移的距离是__________．
，
13．从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：
种子粒数
100
400
800
1 000
2 000
5 000
发芽种子粒数
85
318
652
793
1 604
4 005
发芽频率
0.850
0.795
0.815
0.793
0.802
0.801
根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率为___________（精确到0.1）．
14．将抛物线y=x2+x向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是 ．
15．关于的方程没有实数根，则的取值范围为____________
16．若点A(m，n)是双曲线与直线的交点，则_________．
17．如图，在等边△ABC中，AB=8cm，D为BC中点．将△ABD绕点A．逆时针旋转得到△ACE，则△ADE的周长为_________cm．
18．我市某公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元．该公司缴税的年平均增长率为 ．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝4，点E在边AB上（不与点A、B重合），过点D作DF⊥DE，交边BC的延长线于点F．
（1）求证：△DAE∽△DCF．
（2）设线段AE的长为x，线段BF的长为y，求y与x之间的函数关系式．
（3）当四边形EBFD为轴对称图形时，则cos∠AED的值为 ．
20．（6分）已知关于的一元二次方程的一个根是1，求它的另一个根及m的值．
21．（6分）如图，已知AB是⊙O的直径，过点O作弦BC的平行线，交过点A的切线AP于点P，连结AC．求证：△ABC∽△POA．
22．（8分）如图，反比例函数y=的图象与直线y=x+m在第一象限交于点P(6，2)，A、B为直线上的两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为1．D、C为反比例函数图象上的两点，且AD、BC平行于y轴．
(1) 求反比例函数y=与直线y=x+m的函数关系式
(2)求梯形ABCD的面积．
23．（8分）已知3是一元二次方程x2-2x+a=0的一个根，求a的值和方程的另一个根.
24．（8分）如图，在矩形中，，为边上一点，把沿直线折叠，顶点折叠到，连接与交于点，连接与交于点，若．
（1）求证：；
（2）当时，，求的长；
（3）连接，直接写出四边形的形状： ．当时，并求的值．
25．（10分）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1和2；乙袋中有3个完全相同的小球，分别标有数字1，2和3，小明从甲袋中随机取出1个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机取出1个小球，记录标有的数字为y，这样确定了点M的坐标(x，y)．
（1）写出点M所有可能的坐标；
（2）求点M在直线上的概率．
26．（10分）已知：、是圆中的两条弦，连接交于点，点在上，连接，．
（1）如图1，若，求证：弧弧；
（2）如图2，连接，若，求证：；
（3）如图3，在第（2）问的条件下，延长交圆于点，点在上，连接，若，，，求线段的长．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【解析】由抛物线与x轴有两个交点可得出△=b2-4ac＞0，进而可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．
【详解】∵抛物线y=x2-2x+m与x轴有两个交点，
∴△=b2-4ac=（-2）2-4×1×m＞0，即4-4m＞0，
解得：m＜1．
故选D．
本题考查了抛物线与x轴的交点，牢记“当△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点”是解题的关键．
2、D
【分析】根据底面周长=展开图的弧长可得出结果．
【详解】解：设这个圆锥的底面半径为r，
根据题意得2πr=，
解得r=30（cm），
即这个圆锥的底面半径为30cm．
故选：D．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
3、C
【分析】要确定二次项系数，一次项系数，常数项，首先要把方程化成一般形式．
【详解】解：
∴二次项系数是，一次项系数是．
故选：C
本题考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
4、A
【解析】设C′D′与BC交于点E,如图所示：
∵旋转角为20°，
∴∠DAD′=20°，
∴∠BAD′=90°−∠DAD′=70°.
∵∠BAD′+∠B+∠BED′+∠D′=360°，
∴∠BED′=360°−70°−90°−90°=11°，
∴∠1=∠BED′=110°.
故选A.
5、B
【解析】试题分析：在本题中，若所给的式子要配成完全平方式，常数项应该是一次项系数-4的一半的平方；可将常数项3拆分为4和-1，然后再按完全平方公式进行计算．
解：x2-4x+3=x2-4x+4-1=（x-2）2-1．
故选B．
考点：配方法的应用．
6、B
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】∵a＜0，
∴抛物线的开口方向向下，
故第三个选项错误；
∵c＜0，
∴抛物线与y轴的交点为在y轴的负半轴上，
故第一个选项错误；
∵a＜0、b＞0，对称轴为x=＞0，
∴对称轴在y轴右侧，
故第四个选项错误．
故选B．
7、D
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．
【详解】解：A、原方程为二元一次方程，不符合题意；
B、原式方程为二元二次方程，不符合题意；
C、原式为分式方程，不符合题意；
D、原式为一元二次方程，符合题意，
故选：D．
此题主要考查一元二次方程的识别，解题的关键是熟知一元二次方程的定义.
8、D
【分析】在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．
【详解】Rt△ABC中，BC=20，tanA=1：3；∴AC=BC÷tanA=60，
∴AB20．
故选：D．
本题考查了学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．
9、D
【分析】直接利用A，B点坐标得出AB的长，再利用位似图形的性质得出CD的长．
【详解】解：∵A（6，6），B（8，2），
∴AB＝＝2，
∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，
∴线段CD的长为：×2＝．
故选：D．
本题考查了位似图形，解题的关键是熟悉位似图形的性质．
10、B
【分析】先提取二次项系数，再根据完全平方公式整理即可．
【详解】解：；
故选：B．
本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数的三种形式的转化，难点在于（3）判断出二次函数取最大值时的自变量x的值．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、-1．
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】由题意可知：x1+x2＝3，x1x2＝﹣m，
∵，
∴﹣3x1+x1+x2＝2x1x2，
∴m+3＝﹣2m，
∴m＝﹣1，
故答案为：﹣1
本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
12、
【分析】与相交于点，因为平移，
由此求出,从而求得
【详解】解：由沿方向平移得到
,
本题考查了平移的性质，以及相似三角形的性质.
13、1．2
【分析】仔细观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在1.2左右，从而得到结论．
【详解】∵观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在1.2左右，
∴该玉米种子发芽的概率为1.2，
故答案为1.2．
考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
14、y=x1+x﹣1．
【解析】根据平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加．上下平移只改变点的纵坐标，下减上加．因此，将抛物线y=x1+x向下平移1个单位，所得抛物线的表达式是y=x1+x﹣1．
15、
【分析】根据题意利用根的判别式进行分析计算，即可求出的取值范围.
【详解】解：∵关于的方程没有实数根，
∴，
解得.
故答案为：.
本题考查根的判别式相关，熟练掌握一元二次方程中，当时，方程没有实数根是解答此题的关键．
16、5
【分析】联立两函数解析式求出交点坐标，得出m，n的值，即可解决本题.
【详解】解：联立两函数解析式：，
解得：或，
当时，，
当时，，
综上，5，
故答案为5.
本题是对反比例函数和一次函数的综合考查，熟练掌握反比例函数及解一元二次方程知识是解决本题的关键.
17、12
【分析】由旋转可知，由全等的性质及等边三角形的性质可知是等边三角形，利用勾股定理求出AD长，可得△ADE的周长.
【详解】解：△ABC是等边三角形，
D为BC中点，AB=8
在中，根据勾股定理得
由旋转可知
是等边三角形
所以△ADE的周长为cm.
故答案为：
本题主要考查了等边三角形的判定和性质，灵活利用等边三角形的性质是解题的关键.
18、10%．
【解析】设该公司缴税的年平均增长率是x，
则去年缴税40(1＋x) 万元， 今年缴税40(1＋x) (1＋x) ＝40(1＋x)2万元．
据此列出方程：40(1＋x)2=48.4，解得x=0.1或x=－2.1（舍去）．
∴该公司缴税的年平均增长率为10%．
三、解答题(共66分)
19、（1）见解析；（2）y＝x+4；（3）．
【分析】（1）根据矩形的性质和余角的性质得到∠A=∠ADC=∠DCB=90°，∠ADE=∠CDF，最后运用相似三角形的判定定理证明即可；
（2）运用相似三角形的性质解答即可；
（3）根据轴对称图形的性质可得DE=BE，再运用勾股定理可求出AE，DE的长，最后用余弦的定义解答即可.
【详解】（1）证明∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AD＝BC＝4，AB＝CD＝6，
∴∠ADE+∠EDC＝90°，
∵DF⊥DE，
∴∠EDC+∠CDF＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，且∠A＝∠DCF＝90°，
∴△DAE∽△DCF；
（2）∵△DAE∽△DCF，
∴ ，
∴
∴y＝x+4；
（3）∵四边形EBFD为轴对称图形，
∴DE＝BE，
∵AD2+AE2＝DE2，
∴16+AE2＝（6﹣AE）2，
∴AE＝，
∴DE＝BE＝，
∴cos∠AED＝ ＝，
故答案为：．
本题属于相似形三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理、轴对称图形的性质等知识，灵活运用相似三角形的判定和性质是解答本题的关键.
20、另一根为-3，m=1
【分析】设方程的另一个根为a，由根与系数的关系得出a+1=﹣m，a×1=﹣3，解方程组即可．
【详解】设方程的另一个根为a，
则由根与系数的关系得：a+1=﹣m，a×1=﹣3，
解得：a=﹣3，m=1，
答：方程的另一根为﹣3，m=1．
本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系的内容是解答本题的关键．
21、证明见解析．
【解析】试题分析： 由BC∥OP可得∠AOP=∠B，根据直径所对的圆周角为直角可知∠C=90°，再根据切线的性质知∠OAP=90°，从而可证△ABC∽△POA．
试题解析：证明：∵BC∥OP，
∴∠AOP=∠B，
∵AB是直径，
∴∠C=90°，
∵PA是⊙O的切线，切点为A，
∴∠OAP=90°，
∴∠C=∠OAP，
∴△ABC∽△POA．
考点：1．切线的性质；2．相似三角形的判定．
22、（1）y=,y=x-4
（2）s=6.5
【解析】考点：反比例函数综合题．
分析：（1）由于反比例函数y=的图象与直线y=x+m在第一象限交于点P（6，2），则把A（6，2）分别代入两个解析式可求出k与b的值，从而确定反比例函数y=与直线y=x+m的函数关系式；
（2）先把点A的横坐标为2，点B的横坐标为1代入y=x-4中得到对应的纵坐标，则可确定A点坐标为（2，-2），点B的坐标为（1，-1），由AD、BC平行于y轴可得点D的横坐标为2，点C的横坐标为1，然后把它们分别代入y=中，可确定D点坐标为（2，6），点C的坐标为（1，4），然后根据梯形的面积公式计算即可．
解：（1）∵点P（6，2）在反比例函数y=的图象上，
∴k=6×2=12，
∴反比例函数的解析式为y=；
∵点P（6，2）在直线y=x+m上，
∴6+m=2，解得m=-4，
∴直线的解析式为y=x-4；
（2）∵点A、B在直线y=x-4上，
∴当x=2时，y=2-4=-2，当x=1时，y=1-4=-1，
∴A点坐标为（2，-2），点B的坐标为（1，-1），
又∵AD、BC平行于y轴，
∴点D的横坐标为2，点C的横坐标为1，
而点D、C为反比例函数y=的图象上，
∴当x=2，则y=6，当x=1，则y=4，
∴D点坐标为（2，6），点C的坐标为（1，4），
∴DA=6-（-2）=8，CB=4-（-1）=5，
∴梯形ABCD的面积=×（8+5）×1=．
23、a=-3；另一个根为-1.
【分析】根据一元二次方程的解的定义把x=3代入x2-2x+a=0可求出a的值，然后把a的值代入方程得到x2-2x-3=0，再利用因式分解法解方程即可得到方程的另一根．
【详解】解：设方程的另一个根为m，则
解得：
∴方程的另一个根为
∴a=-13=-3.
本题主要考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
24、（1）见解析；（2）；（3）菱形，24
【分析】（1）由题意可得∠AEB+∠CED=90°，且∠ECD+∠CED=90°，可得∠AEB=∠ECD，且∠A=∠D=90°，则可证△ABE∽△DEC；
（2）设AE=x，则DE=13-x，由相似三角形的性质可得，即：，可求x的值，即可得DE=9，根据勾股定理可求CE的长；
（3）由折叠的性质可得CP=C'P，CQ=C'Q，∠C'PQ=∠CPQ，∠BC'P=∠BCP=90°，由平行线的性质可得∠C'PQ=∠CQP=∠CPQ，即可得CQ=CP=C'Q=C'P，则四边形C'QCP是菱形，通过证△C'EQ∽△EDC，可得，即可求CE•EQ的值．
【详解】证明：（1）∵CE⊥BE，
∴∠BEC=90°，
∴∠AEB+∠CED=90°，
又∵∠ECD+∠CED=90°，
∴∠AEB=∠ECD，
又∵∠A=∠D=90°，
∴△ABE∽△DEC
（2）设AE=x，则DE=13-x，
由（1）知：△ABE∽△DEC，
∴，即：
∴x2-13x+36=0，
∴x1=4，x2=9，
又∵AE＜DE
∴AE=4，DE=9，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
（3）如图，
∵折叠，
∴CP=C'P，CQ=C'Q，∠C'PQ=∠CPQ，∠BC'P=∠BCP=90°，
∵CE⊥BC'，∠BC'P=90°，
∴CE∥C'P，
∴∠C'PQ=∠CQP，
∴∠CQP=∠CPQ，
∴CQ=CP，
∴CQ=CP=C'Q=C'P，
∴四边形C'QCP是菱形，
故答案为：菱形
∵四边形C'QCP是菱形，
∴C'Q∥CP，C'Q=CP，∠EQC'=∠ECD
又∵∠C'EQ=∠D=90°
∴△C'EQ∽△EDC
∴
即：CE•EQ=DC•C'Q=6×4=24
本题是相似形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
25、点M坐标总共有九种可能情况：（0,1），（0,2），（0,3），（1,1），（1,2），（1,3），（2,1），（2,2），（2,3）．（2）.
【解析】试题分析：（1）通过列表展示所有9种等可能的结果数；
（2）找出满足点落在函数的图象上的结果数，然后根据概率公式求解．
试题解析：(1)列表如下：
y
x
1
2
3
0
(0,1)
(0,2)
(0,3)
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
从表格中可知，点M坐标总共有九种可能情况：（0,1），（0,2），（0,3），（1,1），（1,2），（1,3），（2,1），（2,2），（2,3）．共有9种等可能的结果数；
（2）当x=0时，y=-0+3=3，
当x=1时，y=-1+3=2，
当x=2时，y=-2+3=1，
由（1）可得点M坐标总共有九种可能情况，点M落在直线上（记为事
件A）有3种情况．
26、（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）通过角度之间的关系，求得，得证，即可证明 ；
（2）通过证明≌，求得，，可得为等边三角形，可得，，即可证明；
（3）延长交于点，延长到点，使，连接，，设，先证明≌，可得，设，解得，，过点作，在中，解得，故在中， ，解得，即可求出线段BG的长度．
【详解】（1）证明：
∵，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
（2）证明：
∵，
∵
∴
在和中
∵ ，，
∴≌
∴，
∴
∴为等边三角形
∵，
∴
（3）证明：延长交于点，延长到点，使，连接，
设，
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
在和中
∵， ，
∴≌
∴
∵
∴
∴
设，
∴，，
在中，，，，
解得，
过点作，在中，
∵ ，
∴，，
在中， ，
本题考查了三角形和圆的综合问题，掌握圆心角定理、全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理、锐角三角函数是解题的关键．
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