资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图,直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G,且AB∥CD,若BO=6cm,OC=8cm 则BE+CG的长等于( )
A．13 B．12 C．11 D．10
2．将二次函数化为的形式，结果为( )
A． B．
C． D．
3．如图，抛物线＝与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：
① ； ② ；
③ ＞0； ④当时，随的增大而增大；
⑤ ≤（m为实数），其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．已知点(﹣4，y1)、(4，y2)都在函数y＝x2﹣4x+5的图象上，则y1、y2的大小关系为（ ）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．无法确定
5．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列关系中错误的是（ ）
A．b＝c•cosB B．b＝a•tanB C．b＝c•sinB D．a＝b•tanA
6．下面哪个图形不是正方体的平面展开图（ ）
A． B．
C． D．
7．下列运算中，正确的是（ ）．
A．2x - x = 2 B．x2 y ¸ y = x2 C．x × x4 = 2x D．(-2x)3 = -6x3
8．如图，已知梯形ABCO的底边AO在轴上，BC∥AO，AB⊥AO，过点C的双曲线交OB于D，且OD：DB=1:2，若△OBC的面积等于3，则k的值（）
A．等于2 B．等于 C．等于 D．无法确定
9．27的立方根是（ ）
A．±3 B．±3 C．3 D．3
10．若一个矩形对折后所得矩形与原矩形相似，则此矩形的长边与短边的比是（ ）．
A． B． C． D．
11．从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为，，则满足的概率为( )
A． B． C． D．
12．从﹣1，0，1三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，则该点在坐标轴上的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．已知，且，则的值为__________．
14．一元二次方程的根是_____．
15．如图，矩形中，，连接，将线段分别绕点顺时针旋转90°至，线段与弧交于点，连接，则图中阴影部分面积为____．
16．如图一次函数的图象分别交x轴、y轴于A、B，P为AB上一点且PC为△AOB的中位线，PC的延长线交反比例函数的图象于Q，，则Q点的坐标为_____________
17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°,若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为___________．
18．如图，在半径为5的中，弦，，垂足为点，则的长为__________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）某商场以每件20元购进一批衬衫，若以每件40元出售，则每天可售出60件，经调查发现，如果每件衬衫每涨价1元，商场平均每天可少售出2件，若设每件衬衫涨价元，回答下列问题：
（1）该商场每天售出衬衫 件（用含的代数式表示）；
（2）求的值为多少时，商场平均每天获利1050元？
（3）该商场平均每天获利 （填“能”或“不能”）达到1250元？
20．（8分）在下列网格图中，每个小正方形的边长均为个单位中, , 且三点均在格点上．
(1)画出绕顺时针方向旋转后的图形;
(2)求点运动路径的长(结果保留) ．
21．（8分）已知关于x的一元二次方程有两个实数根x1，x1．
（1）求实数k的取值范围；
（1）是否存在实数k使得成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
22．（10分）某童装店购进一批20元/件的童装，由销售经验知，每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在如图的一次函数关系．
（1）求y与x之间的函数关系；
（2）当销售单价定为多少时，每天可获得最大利润，最大利润是多少？
23．（10分）某校网络学习平台开通以后，王老师在平台上创建了教育工作室和同学们交流学习．随机抽查了20天通过访问王老师工作室学习的学生人数记录，统计如下：（单位：人次）
20 20 28 15 20 25 30 20 12 13
30 25 15 20 10 10 20 17 24 26
“希望腾飞”学习小组根据以上数据绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分如图：
频数分布表
分组
频数（单位：天）
10≤x＜15
4
15≤x＜20
3
20≤x＜25
a
25≤x＜30
b
30≤x＜35
2
合计
20
请根据以上信息回答下列问题：
（1）在频数分布表中，a的值为 ，b的值为 ，并将频数分布直方图补充完整；
（2）求这20天访问王老师工作室的访问人次的平均数．
24．（10分）某校初二年级模拟开展“中国诗词大赛”比赛，对全年级同学成绩进行统计后分为“优秀”、“良好”、“一般”、“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：
（1）扇形统计图中“优秀”所对应的扇形的圆心角为 度，并将条形统计图补充完整．
（2）此次比赛有三名同学得满分，分别是甲、乙、丙，现从这三名同学中挑选两名同学参加学校举行的“中国诗词大赛”比赛，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丙的概率．
25．（12分）定义：在平面直角坐标系中，抛物线（）与直线交于点、（点在点右边），将抛物线沿直线翻折，翻折前后两抛物线的顶点分别为点、，我们将两抛物线之间形成的封闭图形称为惊喜线，四边形称为惊喜四边形，对角线与之比称为惊喜度（Degree of surprise），记作.
（1）如图（1）抛物线沿直线翻折后得到惊喜线.则点坐标 ，点坐标 ，惊喜四边形属于所学过的哪种特殊平行四边形？ ，为 .
（2）如果抛物线（）沿直线翻折后所得惊喜线的惊喜度为1，求的值.
（3）如果抛物线沿直线翻折后所得的惊喜线在时，其最高点的纵坐标为16，求的值并直接写出惊喜度.
26．反比例函数与一次函数的图象都过.
(1)求点坐标；
(2)求反比例函数解析式.
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【解析】根据切线长定理得：BE=BF，CF=CG，∠OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG；
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠OBF+∠OCF=90°，
∴∠BOC=90°，
∵OB=6cm，OC=8cm，
∴BC=10cm，
∴BE+CG=BC=10cm，
故选D.
【点睛】本题主要考查了切线长定理，涉及到平行线的性质、勾股定理等，求得BC的长是解题的关键.
2、D
【分析】化
，再根据完全平方公式分解因式即可.
【详解】∵
∴
故选D.
解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式：，注意当二次项系数为1时，常数项等于一次项系数一半的平方.
3、B
【分析】根据题意和函数图象中的数据，利用二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（-3，0），其对称轴为直线，
∴抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（-3，0）和（2，0），且=，
∴a=b，
由图象知：a<0，c>0，b<0，
∴abc>0，故结论①正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（-3，0），
∴9a-3b+c=0，
∵a=b，
∴c=-6a，
∴3a+c=-3a>0，故结论②正确；
∵当时，y=>0，
∴＜0，故结论③错误；
当x＜时，y随x的增大而增大，当<x<0时，y随x的增大而减小，故结论④错误；
∵a=b，
∴≤可换成≤，
∵a＜0，
∴可得≥-1，
即4m2+4m+1≥0
（2m+1）2≥0，故结论⑤正确；
综上：正确的结论有①②⑤，
故选：B．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，掌握知识点是解题关键．
4、B
【分析】首先根据二次函数解析式确定抛物线的对称轴为x＝2，再根据抛物线的增减性以及对称性可得y1，y2的大小关系．
【详解】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴对称轴为x＝2，
∵a＞0，
∴x＞2时，y随x增大而增大，
点（﹣4，y1）关于抛物线的对称轴x＝2对称的点是（8，y1），8＞4，
∴y1＞y2，
故选：B．
本题主要考查的是二次函数的增减性，从对称轴分开，二次函数左右两边的增减性不相同结合题意即可解出此题.
5、A
【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
则tanA＝，tanB＝，cosB＝，sinB＝；
因而b＝c•sinB＝a•tanB，a＝b•tanA，
错误的是b＝c•cosB．
故选：A．
本题考查三角函数的定义,熟记定义是解题的关键.
6、A
【分析】根据正方体展开图的11种形式，对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、不是正方体展开图，符合题意；
B、是正方体展开图，不符合题意；
C、是正方体展开图，不符合题意；
D、是正方体展开图，不符合题意．
故选：A．
本题主要考查了正方体的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
7、B
【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．
【详解】A. 2x - x = x,故本选项错误，
B. x2 y ¸ y = x2 ,故本选项正确，
C. ,故本选项错误，
D. ,故本选项错误.
故选B.
此题考查幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的除法，解题关键在于掌握运算法则.
8、B
【解析】如图分别过D作DE⊥Y轴于E,过C作CF⊥Y轴于F,则△ODE∽△OBF,∵OD：DB=1:2∴相似比= 1:3∴面积比= OD：DB=1:9即又∴∴解得K=故选B
9、C
【分析】由题意根据如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，据此定义进行分析求解即可．
【详解】解：∵1的立方等于27，
∴27的立方根等于1．
故选：C．
本题主要考查求一个数的立方根，解题时先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．
10、C
【分析】根据相似图形对应边成比例列出关系式即可求解.
【详解】如图，矩形ABCD对折后所得矩形与原矩形相似，则矩形ABCD∽矩形BFEA，
设矩形的长边长是a，短边长是b，则AB=CD=EF=b，AD=BC=a，BF=AE=，
根据相似多边形对应边成比例得：，即
∴
∴
故选C.
本题考查相似多边形的性质，根据相似多边形对应边成比例建立方程是关键.
11、C
【分析】根据题意列出树状图，得到所有a、c的组合再找到满足的数对即可．
【详解】如图：符合的共有6种情况，
而a、c的组合共有12种，
故这两人有“心灵感应”的概率为．
故选：C．
此题考查了利用树状图法求概率，要做到勿漏、勿多，同时要适时利用概率公式解答．
12、C
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出刚好在坐标轴上的点个数，即可求出所求的概率．
【详解】解：根据题意列表如下：
﹣1
1
0
﹣1
﹣﹣﹣
（1，﹣1）
（0，﹣1）
1
（﹣1，1）
﹣﹣﹣
（0，1）
0
（﹣1，0）
（1，0）
﹣﹣﹣
所有等可能的情况有6种，其中该点刚好在坐标轴上的情况有4种，
所以该点在坐标轴上的概率＝；
故选：C．
本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了点的坐标特征．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【解析】分析：直接利用已知比例式假设出a，b，c的值，进而利用a+b-2c=6，得出答案．
详解：∵，
∴设a=6x，b=5x，c=4x，
∵a+b-2c=6，
∴6x+5x-8x=6，
解得：x=2，
故a=1．
故答案为1．
点睛：此题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键．
14、
【分析】利用因式分解法把方程化为x-3=0或x-2=0，然后解两个一次方程即可．
【详解】解：或，
所以．
故答案为．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
15、
【分析】根据勾股定理得到、由三角函数的定义得到、根据旋转的性质得到、求得，然后根据图形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：∵四边形是矩形
∴
∵，
∴，
∴
∵线段分别绕点顺时针旋转至
∴
∴
∴
．
故答案是：
本题考查了矩形的性质、勾股定理、锐角三角函数、直角三角形的面积、扇形的面积、将求不规则图形面积问题转化为求规则图形面积相加减问题，解题的关键在于面积问题的转化．
16、 (2,)
【解析】因为三角形OQC的面积是Q点的横纵坐标乘积的一半，所以可求出k的值，PC为中位线，可求出C的横坐标，也是Q的横坐标，代入反比例函数可求出纵坐标
【详解】解：设A点的坐标为（a，0），B点坐标为（0，b），
分别代入，
解方程得a=4，b=-2，
∴A（4，0），B（0，-2）
∵PC是△AOB的中位线，
∴PC⊥x轴，即QC⊥OC，
又Q在反比例函数的图象上，
∴2S△OQC=k，
∴k＝2×＝3，
∵PC是△AOB的中位线，
∴C（2，0），
可设Q（2，q）
∵Q在反比例函数的图象上，
∴q＝，
∴点Q的坐标为(2 ， )．
点睛：本题考查反比例函数的综合运用，关键是知道函数上面取点后所得的三角函数的面积和点的坐标之间的关系．
17、.
【解析】⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°，；因为OB、OC是⊙O的半径，所以OB=OC，所以=，在中，若⊙O的半径OC为2，OB=OC=2，在中，BC="2"=
本题考查圆周角与圆心角、弦心距，要求考生熟悉圆周角与圆心角的关系，会求弦心距和弦长
18、4
【分析】连接OA，根据垂径定理得到AP＝AB，利用勾股定理得到答案．
【详解】连接OA，
∵AB⊥OP，
∴AP＝AB＝×6＝3，∠APO＝90°，又OA＝5，
∴OP＝＝＝4，
故答案为：4.
本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）；（2）当时，商场平均每天获利1050元；（3）能
【分析】(1)根据题意写出答案即可.
(2)根据题意列出方程,解出答案即可.
(3)令利润代数式为1250,解出即可判断.
【详解】（1）根据题意：每天可售出60件，如果每件衬衫每涨价1元，商场平均每天可少售出2件，则商场每天售出衬衫：
（2）
解得，（不符合题意，舍去）.
答：当时，商场平均每天获利1050元.
（3）根据题意可得：
解得：x=5
所以，商场平均每天获利能达到1250元
本题考查一元二次方程的应用,关键在于理解题意找出等量关系.
20、（1）见解析；（2）
【解析】(1)利用网格特点和旋转的性质画图；
(2)点C的运动路径是弧形，找到半径，圆心角即可求解.
【详解】解：如图所示，即为所求;
,
∴点C的运动路径是以A为圆心，AC长为半径的弧，
点的运动路径的长为:
本题考查了网格中图形的旋转及旋转轨迹，还考查了弧长公式的运算.
21、（1）（1）不存在
【分析】（1）由题意可得△≥0，即[﹣（1k+1）]1﹣4（k1+1k）≥0，通过解该不等式即可求得k的取值范围；
（1）假设存在实数k使得x1·x1-x11-x11≥0成立．由根与系数的关系可得x1+x1=1k+1,x1·x1=k1+1k，然后利用完全平方公式可以把x1·x1-x11-x11≥0转化为3x1·x1-（x1+x1）1≥0的形式，通过解不等式可以求得k的值．
【详解】（1）∵原方程有两个实数根，
∴△≥0
即[﹣（1k+1）]1﹣4（k1+1k）≥0，
∴4k1+4k+1﹣4k1﹣8k≥0 ，
∴1﹣4k≥0，
∴k≤，
∴当k≤时，原方程有两个实数根；
（1）假设存在实数k使得x1·x1-x11-x11≥0成立，
∵x1，x1是原方程的两根，
∴x1+x1=1k+1,x1·x1=k1+1k，
由x1·x1-x11-x11≥0，
得3x1·x1-（x1+x1）1≥0
∴3（k1+1k）﹣（1k+1）1≥0，
整理得：﹣（k﹣1）1≥0，
∴只有当k=1时，上式才能成立；
又∵由（1）知k≤，
∴不存在实数k使得x1·x1-x11-x11≥0成立.
22、（1）y＝﹣10x+700；（2）销售单价为45元时，每天可获得最大利润，最大利润为1元
【分析】（1）由一次函数的图象可知过(30，400)和(40，300)，利用待定系数法可求得y与x的关系式；
（2）利用x可表示出p，再利用二次函数的性质可求得p的最大值．
【详解】（1）设一次函数解析式为y=kx+b(k≠0)，
由图象可知一次函数的过(30，400)和(40，300)，
代入解析式可得，
解得：，
∴y与x的函数关系式为y=﹣10x+700；
（2）设利润为p元，由（1）可知每天的销售量为y千克，
∴p=y(x﹣20)=(﹣10x+700)(x﹣20)=﹣10x2+900x﹣14000=﹣10(x﹣45)2+1．
∵﹣10＜0，
∴p=﹣10(x﹣45)2+1是开口向下的抛物线，
∴当x=45时，p有最大值，最大值为1元，
即销售单价为45元时，每天可获得最大利润，最大利润为1元．
本题考查了二次函数的应用，求得每天的销售量y与x的函数关系式是解答本题的关键，注意二次函数最值的求法．
23、（1）7、1,直方图见解析；（2）20人次．
【分析】（1）根据题目所给数据即可得出a、b的值，从而补全直方图；
（2）根据平均数的概念列式求解可得．
【详解】解：（1）由题意知20≤x＜25的天数a＝7，25≤x＜30的天数b＝1，
补全直方图如下：
故答案为：7、1．
（2）这20天访问王老师工作室的访问人次的平均数为：
答：这20天访问王老师工作室的访问人次的平均数为20人次．
此题考查了频数（率）分布直方图，平均数，正确识别统计图及统计表中的数据是解本题的关键．
24、（1）72，图详见解析；（2）．
【分析】（1）先画出条形统计图，再求出圆心角即可；
（2）先画出树状图，再求出概率即可．
【详解】（1）条形统计图为；
；
扇形统计图中“优秀”所对应的扇形的圆心角是（1﹣15%﹣25%﹣40%）×360°＝72°，
故答案为：72；
（2）画树状图：
由树状图可知：所有等可能的结果有6种，其中符合条件的有2种，
所有P（甲、丙）＝＝，
即选中的两名同学恰好是甲、丙的概率是．
本题考查了树状图、条形统计图和扇形统计图等知识点，能画出条形图和树状图是解此题的关键．
25、（1）；；菱形；2；（2）；（3），或，.
【分析】（1）当y=0时可求出点A坐标为，B坐标为，AB=4，根据四边形四边相等可知该四边形为菱形，由可知抛物线顶点坐标为（1，-4），所以B，AB=8，即可得到为2；
（2）惊喜度为1即，利用抛物线解析式分别求出各点坐标，从而得到AC和BD的长，计算即可求出m；
（3）先求出顶点坐标，对称轴为直线，讨论对称轴直线是否在这个范围内，分3中情况分别求出最大值为16是m的值.
【详解】解：（1）在抛物线上，
当y=0时，，
解得，，，
∵点在点右边，
∴A点的坐标为，B点的坐标为；
∴AB=4，
∵
∴顶点B的坐标为，
由于BD关于x轴对称，
∴D的坐标为，
∴BD=8，
通过抛物线的对称性得到AB=BC，
又由于翻折，得到AB=BC=AD=CD，
∴惊喜四边形为菱形；
；
（2）由题意得：
的顶点坐标，
解得：，∴
∴，
（3）抛物线的顶点为，对称轴为直线：
①即时，，得
∴
②即时，时，对应惊喜线上最高点的函数值
，∴（舍去）；
∴
③即时形成不了惊喜线，故不存在
综上所述，，或，
本题主要考查了二次函数的综合问题，需要熟练掌握二次函数的基础内容：顶点坐标、对称轴以及各交点的坐标求法.
26、 (1)点的坐标为；(2)反比例函数解析式为.
【分析】（1）把点A（m，2）代入一次函数y=2x-4求出m的值即可得出A点的坐标；
（2）再把点A的坐标代入反比例函数求出k的值，即可解析式．
【详解】解：（1）将点代入，
得：，
解得：，
∴点的坐标为；
（2）将点代入得：，
∴反比例函数解析式为.
本题考查的是一次函数及反比例函数图象上点的坐标特点，解答此题的关键是熟知函数图象的交点坐标即为函数解析式组成的方程组的解．
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