资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．已知=3，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
2．若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（ ）
A． B． C． D．
3．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．3x2＋＝0 B．（3x－1）（3x＋1）＝3
C．（x－3）（x－2）＝x2 D．2x－3y＋1＝0
4．如图，点P在△ABC的边AC上，下列条件中不能判断△ABP∽△ACB的是（ ）
A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．AB2＝AP•AC D．CB2＝CP•CA
5．如图，点A、B、C在⊙O上，∠A＝50°，则∠BOC的度数为（ ）
A．130° B．50° C．65° D．100°
6．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB，AC于点D，E，若AD：DB＝1：2，则△ADE与△ABC的面积之比是（ ）
A．1：3 B．1：4 C．1：9 D．1：16
7．已知k1＜0＜k2，则函数y=k1x和的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
8．己知点都在反比例函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
9．小张同学制作了四张材质和外观完全一样的书签，每个书签上写着一本书的名称或一个作者姓名，分别是：《西游记》、施耐庵、《安徒生童话》、安徒生，从这四张书签中随机抽取两张，则抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的概率是( )
A． B． C． D．
10．若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是( )
A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60°
C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．在测量旗杆高度的活动课中，某小组学生于同一时刻在阳光下对一根直立于平地的竹竿及其影长和旗杆的影长进行了测量，得到的数据如图所示，根据这些数据计算出旗杆的高度为_________m．
12．如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数y＝(k≠0，x＞0)的图象经过顶点C、D，若点C的横坐标为5，BE＝3DE，则k的值为______．
13．如图，两个同心圆，大圆半径，，则图中阴影部分的面积是__________．
14．小刚和小亮用图中的转盘做“配紫色”游戏：分别转动两个转盘各一次，若其中的一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，则可配成紫色，此时小刚赢，否则小亮赢．若用P1表示小刚赢的概率，用P2 表示小亮赢概率，则两人赢的概率P1________P2（填写>，=或<）
15．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（4，0），则点E的坐标是_____．
16．两个相似三角形的面积比为，其中较大的三角形的周长为，则较小的三角形的周长为__________．
17．某商场四月份的营业额是200万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长率相同，都为，六月份的营业额为万元，那么关于的函数解式是______．
18．已知矩形ABCD，AB=3,AD=5,以点A为圆心，4为半径作圆，则点C与圆A的位置关系为 __________.
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，且B点的坐标为(3，0)，经过A点的直线交抛物线于点D (2， 3).
（1）求抛物线的解析式和直线AD的解析式；
（2）过x轴上的点E (a，0) 作直线EF∥AD，交抛物线于点F，是否存在实数a，使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由.
20．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，点P从点A出发以lcm/s的速度沿折线AC﹣CB运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，当点P不与点A、B重合时，以线段PQ为边向右作正方形PQRS，设正方形PQRS与△ABC的重叠部分面积为S，点P的运动时间为t（s）．
（1）用含t的代数式表示CP的长度；
（2）当点S落在BC边上时，求t的值；
（3）当正方形PQRS与△ABC的重叠部分不是五边形时，求S与t之间的函数关系式；
（4）连结CS，当直线CS分△ABC两部分的面积比为1：2时，直接写出t的值．
21．（6分）如图,点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，连接，的面积为1．点的坐标为．若一次函数的图象经过点，交双曲线的另一支于点，交轴点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(1)若为轴上的一个动点，且的面积为5，请求出点的坐标．
22．（8分）如图，是的直径，切于点，交于点，平分，连接.
（1）求证:；
（2）若，，求的半径.
23．（8分）某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每周的课外阅读时间（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）求扇形统计图中的值和“E”组对应的圆心角度数；
（3）请估计该校2000名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数．
24．（8分）在的方格纸中，的三个顶点都在格点上．
在图1中画出线段BD，使，其中D是格点；
在图2中画出线段BE，使，其中E是格点．
25．（10分）已知的半径为，点到直线的距离为，且直线与相切，若，分别是方程的两个根，求的值．
26．（10分）如图，已知抛物线y1＝﹣x2+x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线l是抛物线的对称轴，一次函数y2＝kx+b经过B、C两点，连接AC．
（1）△ABC是 三角形；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）结合图象，写出满足y1＞y2时，x的取值范围 ．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】由得出，即，整体代入原式，计算可得.
【详解】 ，
，
，
则原式.
故选：.
本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式加减运算法则和整体代入思想的运用.
2、C
【分析】根据弧长公式计算即可．
【详解】解：该扇形的弧长＝.
故选C．
本题考查了弧长的计算：弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．
3、B
【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不能等于0，未知数最高次数是2的整式方程，即可得到答案.
【详解】解：A、不是整式方程，故本项错误；
B、化简得到，是一元二次方程，故本项正确；
C、化简得到，是一元一次方程，故本项错误；
D、是二元一次方程，故本项错误；
故选择：B.
本题考查了一元二次方程的定义，熟记定义是解题的关键.
4、D
【分析】观察图形可得, 与已经有一组角∠重合,根据三角形相似的判定定理,可以再找另一组对应角相等,或者∠的两条边对应成比例. 注意答案中的、两项需要按照比例的基本性质转化为比例式再确定.
【详解】解: 项, ∠=∠,可以判定;
项, ∠=∠,可以判定;
项, ,,可以判定;
项, ,,不能判定.
本题主要考查了相似三角形的判定定理,结合图形,按照定理找到条件是解答关键.
5、D
【解析】根据圆周角定理求解即可．
【详解】解：∵∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°．
故选D．
考查了圆周角定理的运用．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
6、C
【分析】根据DE∥BC，即可证得△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求解．
【详解】解：∵AD：DB＝1：2，
∴AD：AB＝1：3，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝．
故选：C．
此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是熟知相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
7、D
【解析】试题分析：：∵k1＜0＜k2，
∴直线过二、四象限，并且经过原点；双曲线位于一、三象限．
故选D．
考点：1.反比例函数的图象；2.正比例函数的图象．
8、D
【解析】试题解析：∵点A（1，y1）、B（1，y1）、C（-3，y3）都在反比例函数y=的图象上，
∴y1=-；y1=-1；y3=，
∵＞-＞-1，
∴y3＞y1＞y1．
故选D．
9、D
【解析】根据题意先画出树状图得出所有等情况数和到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：根据题意画图如下：
共有12种等情况数，抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的有2种情况，
则抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的概率是＝；
故选D．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
10、B
【详解】∵α是锐角，
∴cosα>0，
∵cosα<，
∴0<cosα<，
又∵cos90°=0,cos45°=，
∴45°<α<90°；
∵α是锐角，
∴tanα>0，
∵tanα<，
∴0<tanα<，
又∵tan0°=0,tan60°=，
0<α<60°；
故45°<α<60°.
故选B.
本题主要考查了余弦函数、正切函数的增减性与特殊角的余弦函数、正切函数值，熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、12
【分析】根据某物体的实际高度：影长=被测物体的实际高度：被测物体的影长即可得出答案.
【详解】设旗杆的高度为x m,
∵
∴
故答案为12
本题主要考查相似三角形的应用，掌握某物体的实际高度：影长=被测物体的实际高度：被测物体的影长是解题的关键.
12、
【解析】过点D作DF⊥BC于点F，由菱形的性质可得BC＝CD，AD∥BC，可证四边形DEBF是矩形，可得DF＝BE，DE＝BF，在Rt△DFC中，由勾股定理可求DE＝1，DF＝3，由反比例函数的性质可求k的值．
【详解】如图，过点D作DF⊥BC于点F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，AD∥BC，
∵∠DEB＝90°，AD∥BC，
∴∠EBC＝90°，且∠DEB＝90°，DF⊥BC，
∴四边形DEBF是矩形，
∴DF＝BE，DE＝BF，
∵点C的横坐标为5，BE＝3DE，
∴BC＝CD＝5，DF＝3DE，CF＝5﹣DE，
∵CD2＝DF2+CF2，
∴25＝9DE2+(5﹣DE)2，
∴DE＝1，
∴DF＝BE＝3，
设点C(5，m)，点D(1，m+3)，
∵反比例函数y＝图象过点C，D，
∴5m＝1×(m+3)，
∴m＝，
∴点C(5，)，
∴k＝5×＝，
故答案为：
本题考查了反比例函数图象点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，求出DE的长度是本题的关键．
13、
【分析】根据题意可知，阴影部分的面积等于半径为4cm，圆心角为60°的扇形面积.
【详解】∵，，
∴阴影部分的面积为扇形OBC的面积：，
故答案为：.
本题主要考查了阴影部分面积的求法，熟练掌握扇形的面积公式是解决本题的关键.
14、<
【分析】由于第二个转盘红色所占的圆心角为120°，则蓝色部分为红色部分的两倍，即相当于分成三个相等的扇形（红、蓝、蓝），再列出表，根据概率公式计算出小刚赢的概率和小亮赢的概率，即可得出结论．
【详解】解：用列表法将所有可能出现的结果表示如下：
红
蓝
蓝
蓝
（红，蓝）
（蓝，蓝）
（蓝，蓝）
黄
（红，黄）
（蓝，黄）
（蓝，黄）
黄
（红，黄）
（蓝，黄）
（蓝，黄）
红
（红，红）
（蓝，红）
（蓝，红）
上面等可能出现的12种结果中，有3种情况可以得到紫色，
所以小刚赢的概率是；则小亮赢的概率是
所以；
故答案为：<
本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
15、（6，6）．
【分析】利用位似变换的概念和相似三角形的性质进行解答即可.
【详解】解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，
∴，即
解得，OD＝6，OF＝6，
则点E的坐标为（6，6），
故答案为：（6，6）．
本题考查了相似三角形、正方形的性质以及位似变换的概念，掌握位似和相似的区别与联系是解答本题的关键.
16、1
【分析】根据面积之比得出相似比，然后利用周长之比等于相似比即可得出答案．
【详解】∵两个相似三角形的面积比为
∴两个相似三角形的相似比为
∴两个相似三角形的周长也比为
∵较大的三角形的周长为
∴较小的三角形的周长为
故答案为：1．
本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
17、或
【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），本题可先用x表示出五月份的营业额，再根据题意表示出六月份的营业额，即可列出方程求解．
【详解】解：设增长率为x，则
五月份的营业额为：，
六月份的营业额为：；
故答案为：或.
本题考查了一元二次方程的应用中增长率问题，若原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x，经过第一次调整，就调整到a×（1±x），再经过第二次调整就是a×（1±x）（1±x）=a（1±x）1．增长用“+”，下降用“”．
18、点C在圆外
【分析】由r和CA，AB、DA的大小关系即可判断各点与⊙A的位置关系．
【详解】解：∵AB＝3厘米，AD＝5厘米，
∴AC＝厘米，
∵半径为4厘米，
∴点C在圆A外
本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
三、解答题(共66分)
19、（1） y=-x2+2x+3；y=x+1；（2）a的值为-3或．
【分析】（1）把点B和D的坐标代入抛物线y=-x2+bx+c得出方程组，解方程组即可；由抛物线解析式求出点A的坐标，设直线AD的解析式为y=kx+a，把A和D的坐标代入得出方程组，解方程组即可；
（2）分两种情况：①当a＜-1时，DF∥AE且DF=AE，得出F（0，3），由AE=-1-a=2，求出a的值；
②当a＞-1时，显然F应在x轴下方，EF∥AD且EF=AD，设F （a-3，-3），代入抛物线解析式，即可得出结果．
【详解】解：（1）把点B和D的坐标代入抛物线y=-x2+bx+c得：
解得：b=2，c=3，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；
当y=0时，-x2+2x+3=0，
解得：x=3，或x=-1，
∵B（3，0），
∴A（-1，0）；
设直线AD的解析式为y=kx+a，
把A和D的坐标代入得：
解得：k=1，a=1，
∴直线AD的解析式为y=x+1；
（2）分两种情况：①当a＜-1时，DF∥AE且DF=AE，
则F点即为（0，3），
∵AE=-1-a=2，
∴a=-3；
②当a＞-1时，显然F应在x轴下方，EF∥AD且EF=AD，
设F （a-3，-3），
由-（a-3）2+2（a-3）+3=-3，
解得：a=；
综上所述，满足条件的a的值为-3或．
本题考查抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式及平行四边形的判定，综合性较强．
20、（1）当0＜t＜4时，CP＝4﹣t，当4≤t＜8时，CP＝t﹣4；（1）；（3）S＝；（4）或
【分析】（1）分两种情形分别求解即可．
（1）根据PA+PC＝4，构建方程即可解决问题．
（3）分两种情形：如图1中，当0＜t≤时，重叠部分是正方形PQRS，当4＜t＜8时，重叠部分是△PQB，分别求解即可．
（4）设直线CS交AB于E．分两种情形：如图4﹣1中，当AE＝AB＝时，满足条件．如图4﹣1中，当AE＝AB时，满足条件．分别求解即可解决问题．
【详解】解：（1）当0＜t＜4时，∵AC＝4，AP＝t，
∴PC＝AC﹣AP＝4﹣t；
当4≤t＜8时，CP＝t﹣4；
（1）如图1中，点S落在BC边上，
∵PA＝t，AQ＝QP，∠AQP＝90°，
∴AQ＝PQ＝PS＝t，
∵CP＝CS，∠C＝90°，
∴PC＝CS＝t，
∵AP+PC＝BC＝4，
∴t+t＝4，
解得t＝．
（3）如图1中，当0＜t≤时，重叠部分是正方形PQRS，S＝（t）1＝t1．
当4＜t＜8时，重叠部分是△PQB，S＝（8﹣t）1．
综上所述，S＝．
（4）设直线CS交AB于E．
如图4﹣1中，当AE＝AB＝时，满足条件，
∵PS∥AE，
∴，
∴，
解得t＝．
如图4﹣1中，当AE＝AB时，满足条件．
同法可得：，
解得t＝，
综上所述，满足条件的t的值为或．
此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
21、 (1) ，；(1)P(0，5)或(0，1) ．
【分析】（1）根据“点A是反比例函数图象上的一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，△AOB的面积为1”即可求得k的值，从而得到反比例函数的解析式，分别将点A和点D的坐标代入反比例函数的解析式，即可求得点A和点D的坐标，用待定系数法求出a和b的值，即能求得一次函数的解析式，
（1）△PAC可以分成△PAD和△PCD，分别求出点A和点C到y轴的距离，根据“△PAC的面积为5”，求出PD的长度，结合点D的坐标，求出点P的坐标即可．
【详解】解：（1）根据题意得：
k=-1×1=-4，
即反比例函数的解析式为，解得：
m=4，n=-1，
即点A（-1，4），点C（4，-1），
把点A（-1，4），C（4，-1）代入y=ax+b得：，
解得：，
即一次函数的解析式为：y=-x+3，
（1）把x=0代入y=-x+3得：y=3，
即点D（0，3），
点A到y轴的距离为1，点C到y轴的距离为4，
S△PAD=×PD×1=PD，
S△PCD=×PD×4=1PD，
S△PAC=S△PAD+S△PCD=PD=5，
PD=1，
∵点D（0，3），
∴点P的坐标为（0，1）或（0，5）．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意和图示找出正确的等量关系式解决本题的关键．
22、（1）见解析；（2）.
【分析】（1）连接OC，则，由角平分线的性质和，得到，即可得到结论成立；
（2）由AB是直径，得到∠AEB=90°，则四边形DEFC是矩形，由三角形中位线定理，得到BE=2CD=8，由勾股定理，即可求出答案.
【详解】（1）证明：连接，交于，由是切线得；
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即.
（2）解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴；
∴的半径为.
本题考查了圆的切线的性质，矩形的判定和性质，角平分线性质，三角形的中位线定理，以及勾股定理，解题的关键是掌握所学知识进行求解，正确得到AB的长度.
23、（1）补全频数分布直方图，见解析； （2） “E”组对应的圆心角度数为14.4°；（3）该校2000名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数为580人．
【分析】（1）根据第二组频数为21，所占百分比为21%，求出数据总数，再用数据总数减去其余各组频数得到第四组频数，进而补全频数分布直方图；
（2）用第三组频数除以数据总数，再乘以100，得到m的值；先求出“E”组所占百分比，再乘以360°即可求出对应的圆心角度数；
（3）用2000乘以每周课外阅读时间不小于6小时的学生所占百分比即可．
【详解】解：（1）数据总数为：21÷21%＝100，
第四组频数为：100－10－21－40－4＝25，
频数分布直方图补充如下：
（2）m＝40÷100×100＝40；
“E”组对应的圆心角度数为；
（3）该校2000名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数为（人）．
此题主要考查了频数分布直方图、扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了利用样本估计总体．
24、（1）画图见解析；（2）画图见解析.
【解析】将线段AC沿着AB方向平移2个单位，即可得到线段BD；
利用的长方形的对角线，即可得到线段．
【详解】如图所示，线段BD即为所求；
如图所示，线段BE即为所求．
【点睛】本题考查了作图以及平行四边形的性质，理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图是关键．
25、
【分析】根据直线与圆相切的条件得，再根据一元二次方程根的判别式列出方程即得．
【详解】∵由题意可知．
∴方程的两根相等
∴
解得：．
本题考查了直线与圆相切的条件及一元二次方程根的判别式，解题关键是熟知直线与圆相切的条件是圆心到直线的距离等于圆的半径，判别式时，一元二次方程有两个相等实数根．
26、（1）直角;（2）P（，）;（3）0＜x＜1.
【分析】（1）求出点A、B、C的坐标分别为：（-1，0）、（1，0）、（0，2），则AB2=25，AC2=5，BC2=20，即可求解；
（2）点A关于函数对称轴的对称点为点B，则直线BC与对称轴的交点即为点P，即可求解；
（3）由图象可得：y1＞y2时，x的取值范围为：0＜x＜1．
【详解】解：（1）当x=0时，
y1＝0+0+2=2，
当y=0时，
﹣x2+x+2=0，
解得
x1=-1，x2=1，
∴点A、B、C的坐标分别为：(﹣1，0)、(1，0)、(0，2)，
则AB2＝25，AC2＝5，BC2＝20，
故AB2＝AC2+BC2，
故答案为：直角；
（2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：
，
解得
，
∴直线BC的表达式为：y＝﹣x+2，
抛物线的对称轴为直线：x＝，
点A关于函数对称轴的对称点为点B，则直线BC与对称轴的交点即为点P，
当x＝时，y＝×+2＝，
故点P(，)；
（3）由图象可得：y1＞y2时，x的取值范围为：0＜x＜1，
故答案为：0＜x＜1．
本题考查了二次函数与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，轴对称最短的性质，勾股定理及其逆定理，以及利用图像解不等式等知识，本题难度不大．
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